Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

02_случайные величины / 03_ряд распределения

.doc
Скачиваний:
21
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
1.35 Mб
Скачать

§3. Ряд распределения

( используется только для дискретных случайных величин )

У дискретной случайной величины возможные ее значения можно выписать, указать персонально каждое из них. Точно так же можно поступить и с вероятностями каждого из значений.

О : Рядом распределения называется перечень ( список ) возможных значений случайной величины с указанием вероятности каждого из них.

Формы представления ряда распределения

А) таблица

Проще всего этот список представить в виде таблицы:

x i

x 1

x 2

x 3

. . .

x n

p i

p 1

p 2

p 3

. . .

p n

Верхний ряд этой таблицы - возможные значения случайной

величины. Нижний ряд - вероятности этих значений:

p i = P ( X = x i )

Пример 1 : Случайная величина Х - число очков на кубике.

Это число очков может меняться от 1 до 6 . Выписываем эти возможные значения в верхний ряд таблицы.

x i

1

2

3

4

5

6

p i

1 / 6

1 / 6

1 / 6

1 / 6

1 / 6

1 / 6

Вероятность выпадения единицы равна 1 / 6 . Как и любого другого числа очков. Вероятности записываем в нижнем ряду. Ряд распределения составлен.

Пример 2 :

Случайная величина Х - число гербов при бросании двух монет.

При бросании двух монет мы можем увидеть появление двух гербов, одного герба или ни одного. Вероятности каждого из этих значений подсчитаем по классическому определению. Для этого выпишем все возможные исходы и пересчитаем их:

1 = ( герб, герб );

n = 4

2 = ( герб; решка );

3 = ( решка, герб );

4 = ( решка; решка ).

Вероятности:

Записываем все это в таблицу и получаем ряд распределения:

x i

0

1

2

p i

1 / 4

2 / 4

1 / 4

Подсчитаем в обоих примерах сумму всех вероятностей. Она равна 1.

Пример 3 :

Фирма заключила две сделки. Вероятность того, что первая принесет высокую прибыль, равна 0,6. вторая – 0,8.

Случайная величина Х - число высоко прибыльных сделок.

Возможные значения случайной величины: 0, 1 или 2.

Для подсчета вероятностей этих значений нужно воспользоваться формулами сложения и умножения событий.

Описываем события, вероятности которых нам известны:

А - сделка № 1 принесет высокую прибыль. P(A) = 0,6;

B - сделка № 2 принесет высокую прибыль. P(B) = 0,8;

Подсчитываем вероятности каждого из возможных значений случайной величины:

(X = 0) – обе сделки не приносят высокой прибыли.

P (X = 0) = P ( AB ) = { независимы } = 0,40,2 = 0,08;

(X = 1) – одна прибыльная ( другая – нет ).

P (X = 1) = P ( AB + AB ) = { слагаемые несовместны,

сомножители независимы } = 0,40,8 + 0,60,2 = 0,44;

(X = 2) – обе высоко прибыльны.

P (X = 2) = P ( AB ) = { независимы } = 0,60,8 = 0,48;

Заносим все это в таблицу и получаем ряд распределения

x i

0

1

2

p i

0,08

0,44

0,48

сумма всех вероятностей и здесь равна 1.

  1. Аналитическая форма представления ряда распределения

И

ногда можно не выписывать отдельно каждую вероятность, а задать одну общую формулу, по которой подсчитываются вероятности для всех возможных значений случайной величины.

В этом случае все равно нужен список возможных значений случайной величины Х:

Х = { x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n } /

И к нему добавляется формула для подсчета вероятностей каждого из них:

p i = P ( X = x i ) = f ( i )

Тот же Пример 1 : Случайная величина Х - число очков на кубике.

Выписываем возможные значения Х = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } /

и вероятности: p i = 1 / 6

Ряд распределения задан.

  1. Графическая форма представления ряда распределения

К

аждое возможное значение случайной величины имеет свою вероятность появления. Т.е., характеризуется парой чисел

( x i , p i ) .

Пара чисел – это точка на плоскости. Нанеся все эти точки на график, получим графическое представление ряда распределения. Обычно его представляют в одном из двух видов и соответственно по-разному называют.

Этим способом представления ряда распределения пользуются, для того, чтобы получить наглядное представление, какие из возможных значений случайной величины появляются чаще, а какие реже.

Как узнать закон распределения для той случайной величины, с которой приходится работать?

Во многих случаях его удается построить из теоретических соображений, как это сделано в приведенных выше примерах.

Возможные значения случайной величины определяются исходя из условий опыта, из того, какая именно случайная величина рассматривается.

Вероятности подсчитываются по классическому определению или с использованием формул для суммы и произведения событий.

Если теоретически построить ряд распределения нельзя, то информацию о нем можно получить, проведя ряд наблюдений над случайной величиной и проведя обработку этих статистических данных. Как это делается, вы узнаете, изучая математическую статистику.

В рассмотренных выше примерах каждый раз отмечалось, что если сложить все вероятности в ряде распределения, то получаем 1.

Пусть

Пусть { x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n } – все возможные значения случайной величины. Запишем события:

( X = x 1 )

( X = x 2 )

( X = x 3 )

. . . .

( X = x n )

Мы перебрали все возможные варианты. Т.е., события образуют полную группу. Кроме того, они попарно несовместны (в одном опыте случайная величина принимает только одно значение). По доказанной ранее теореме, сумма всех вероятностей должна равняться 1.

А теперь выясним, как мы можем использовать ряд распределения, если он у нас есть.

Если ряд распределения задан, мы можем прогнозировать поведение случайной величины.

Так как она случайная, мы не знаем, какое значение она примет в очередном опыте.

Но мы можем рассчитать вероятность того, что она примет интересующее нас значение, попадет в интересующий нас интеграл.

Пример 5 :

Задан ряд распределения .

x i

2

5

7

11

p i

0,2

0,4

0,1

0,3

Подсчитать вероятность того, что случайная величина примет заданное значение:

это вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное (-4). Но она может принимать только значения, указанные в таблице : ( 2, 5, 7, 11 ). Значит событие (X= – 4) - невозможное, и его вероятность равна нулю :

.

Подсчитать вероятность того, что случайная величина попадет в заданный интервал:

это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее (-2). Таких значений у нее нет.

Это может произойти в случае, если она примет значение , равное (2). .

Это может произойти в случае, если она примет значения , равные (7) или (11). (только эти два возможных значения больше либо равны (6) ).

Таким образом, событие ( X 6 ) можно представить как сумму двух несовместных событий :

.

Соответственно и вероятность этого события равна:

Рассуждая каждый раз таким же образом, приходим к выводу, что для дискретной случайной величины вероятность попадания в какую-либо область равна сумме вероятностей тех из возможных значений, которые попадают в эту область:

Обобщая результаты этого примера, придем к следующему правилу