Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
02_случайные величины / 06_числовые характеристики распределений / 06_числовые характеристики распределений.doc
Скачиваний:
28
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
1.46 Mб
Скачать

§6. Числовые характеристики распределений

Закон распределения полностью определяет случайную величину и позволяет прогнозировать ее поведение. Если мы знаем закон распределения, то мы знаем о случайной величине все.

Но во многих случаях достаточно знать не весь закон распределения, а только несколько чисел, характеризующих этот закон. Это – числовые характеристики распределения.

Выделяют две основные группы таких чисел.

I. Характеристики положения:

  1. Математическое ожидание случайной величины;

  2. Мода;

  3. Медиана.

II. Характеристики рассеивания (разброса):

  1. Среднее абсолютное отклонение;

  2. Дисперсия;

  3. Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Кроме того, рассматриваются также (хотя и намного реже)

  1. Начальные и центральные моменты:

  2. Асимметрия

  3. Эксцесс.

Рассмотрим по очереди каждую из этих характеристик.

Характеристики положения.

  1. Математическое ожидание случайной величины М[X], mx ;

Пусть задана дискретная случайная величина.:

x i

2

5

8

p i

0,7

0,2

0,1

Найдем среднее из всех возможных значений. Обычно в таких случаях суммируют все усредняемые значения и делят на их количество, т.е., вычисляют

среднее арифметическое: .

Но эти значения не равноправны. Возможное значение 2 появляется в 7 раз чаще, чем значение 8. У них разная частота появления, разные вероятности, разный вес. И когда мы усредняем возможные значения, это обязательно нужно учитывать.

В математике для этого есть такое понятие как средневзвешенное. При таком усреднении каждое из значений умножается на его вес, на его долю, а затем все эти произведения складываются

2 0,7 + 5 0,2 +8 0,1 = 3,2.

Подсчитанное таким образом среднее значение случайной величины и называется математическим ожиданием.

Определение: математическим ожиданием случайной величины называется средневзвешенное ее возможных значений.

Процесс усреднения проводится следующим образом:

каждое из возможных значений умножается на его вероятность, и затем эти произведения суммируются.

Расчетные формулы:

для дискретной случайной величины :

;

для непрерывной случайной величины :

.

( 20 )

( 20 )

Для непрерывной случайной величины процедура усреднения производится точно так же: каждое возможное значение x умножается на его вероятность dP = f(x) dx и потом производится суммирование по всем возможным значениям, в общем случае от (–) до (+). Только для дискретной случайной величины суммирование производится по отдельным точкам и поэтому стоит символ суммы , а для непрерывной случайной величины сумма превращается в интеграл.

Д ля наглядности изобразим возможные значения случайной величины на числовой оси (на этот раз в масштабе) и кроме того, сами точки тоже будут иметь масштаб, соответствующий вероятности этих значений.

Оказывается, что математическое ожидание находится в центре тяжести этой системы.

С овершенно аналогично, для непрерывной случайной величины, которая задана плотностью распределения, математическое ожидание тоже связано с положением центра тяжести.

Точка на оси Ох, соответствующая центру тяжести графика плотности, это и есть математическое ожидание.

Замечание:

В теории вероятности вообще, процесс осреднения любых величин проводится точно так же, как это делается для математического ожидания.

Возможные значения величины, которая усредняется,

умножаются на вероятности этих значений,

и затем эти произведения суммируются.

Свойства математического ожидания:

  1. Математическое ожидание постоянной величины

M [C] = C.

(Если величина не случайная, то во всех опытах она принимает одно и то же значение, и поэтому среднее значение равно ей самой)

  1. Постоянный сомножитель выносится за знак математического ожидания

M [ C · X ] = C · M [ X ] .

  1. Математическое ожидание суммы

M [ X + Y ] = M [ X ] + M [ Y ].

(Равно сумме математических ожиданий).

  1. Математическое ожидание произведения

M [ X · Y ] = M [ X ] · M [ Y ].

Последнее свойство применимо только для независимых случайных величин.