01 случайные события / 07_вероятность суммы нескольких событий
.doc§7. Вероятность суммы нескольких событий
Здесь тоже,
прежде чем подсчитывать вероятность
суммы
нужно
сначала выяснить, совместные
эти события или нет
-
Попарно несовместные события:
(
19
)
Здесь по-прежнему, общая площадь
равна сумме всех площадей.
-
Совместные события:
Если и здесь сложить площади всех трех областей, то части площади, общие для A и B, A и C, B и C, попадут в эту сумму дважды, их нужно вычесть. Но после этого центральный участок, общий для всех трех событий, исчезает совсем, его площадь нужно вернуть, добавить.
(
20
)
Получилась громоздкая, неудобная для использования формула, и это только для трех событий. Если суммируются 4 и более совместные события, формула становится совершенно неприемлемой для использования.
Формулой
(18)
пользоваться
не рекомендуется
Нужно попытаться построить другую формулу, которая была бы проще и удобнее для использования. Вот к этому мы сейчас и перейдем.
Вернемся
к понятию
полной группы событий
и рассмотрим особо важный случай, когда
события, составляющие полную группу,
еще
и попарно
несовместны.
Геометрически эта теорема очень просто интерпретируется: сумма площадей всех областей равна площади квадрата и равна 1.
Противоположные события как раз образуют полную группу
и, кроме того, несовместны.
Геометрически: сумма площадей равна площади квадрата
и равна 1.
Теперь мы можем вернуться к
вероятности
суммы нескольких совместных событий
Воспользуемся полученным в параграфе «Геометрическое представление событий» результатом. Если событие – это появление хотя бы одного события, то противоположное событие – это не появление ни одного из них ( формула ( 16 ) ):
Теперь можно воспользоваться формулой ( 23 ) и подсчитать вероятности суммы нескольких совместных событий через противоположное событие,
(
24
)
Для суммы двух совместных
событий этой формулой тоже можно
пользоваться:
Но если число совместных
событий больше двух,
то вероятность суммы следует обязательно
подсчитывать только формулой
(24)
вместо формулы (20)
И
при таком подходе уже неважно,
сколько совместных
событий суммируются