Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

01 случайные события / 08_вероятность произведения событий

.doc
Скачиваний:
24
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
365.57 Кб
Скачать

§7. Вероятность произведения событий.

Зависимые и независимые события.

Условные вероятности

С

начала рассмотрим пример:

В коробке лежат цветные шары:

Достаем из нее один за другим 2 шара (не возвращая).

Найти вероятность того, что первый шар красный.

Найти вероятность того, что второй шар красный.

Обозначим эти события: Апервый шар окажется красным;

Ввторой шар окажется красным.

Подсчитаем вероятности по классическому определению:

Для события А все очень просто: n = 20; m А = 7

Для события B : n = 19 (в коробке стало на 1 шар меньше);

А вот чему равно m ? Сколько сейчас в коробке красных шаров?

Все зависит теперь от того, каким был первый шар.

Если первый шар оказался красным, т.е.,

если событие А произошло, то m B = 6.

Е сли ;же первый шар оказался белым, т.е.,

если событие А не произошло, то m B = 7

О8 : Вероятность события B, найденная при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью события В..

Обозначение: PA ( B ), P ( B|A )

В рассмотренном примере: ;

Если изменить условия опыта и первый шар после извлечения возвращать обратно в коробку, то каким бы ни оказался первый шар, для второго шара n = 20 и m B = 7 :

В рассмотренном примере вероятность события В меняется в зависимости от того, каким оказался первый шар, от того, произошло событие А или нет. Событие В зависимо от события А.

Если доставать оба шара одновременно, то они становятся взаимозависимыми, вероятность того, что один из них красный, зависит от того, каким оказывается другой.

Если первый шар возвращать назад в коробку, прежде чем доставать второй, то события становятся независимыми.

Пример 2 :

Опыт – бросание двух кубиков.

События: А – выпадение шестерки на первом кубике;

B – выпадение суммы, большей чем 10.

Проверить, зависимы они или нет.

Элементарным исходом такого опыта является пара чисел:

i =( число; число);

На первом кубике 6 вариантов, на втором тоже. Общее число исходов:

n = 6 6 =36.

Подсчитаем и сравним вероятность события B в трех вариантах:

1

. При условии, что событие А уже произошло;

2. При условии, что А не произошло.

3. Без всяких условий.

  1. Пусть А уже произошло. Это значит, что реализовался какой то из исходов: 1 =( 6; 1); 2 =( 6; 2); 3 =( 6; 3);

4 =( 6; 4); 5 =( 6; 5); 6 =( 6; 6);

Т.е., теперь возможное число исходов для события B равно 6.

Из них сумму больше 10 дают два исхода: 5 и 6 . Число благоприятствующих исходов равно 2.

Вероятность:

  1. Пусть А не произошло. Это значит, что на первом кубике выпала любая из цифр, кроме 6 (5 вариантов) а на втором – что угодно (6 вариантов).

Возможное число исходов для события B равно 30.

Из них сумму больше 10 дает один исход: ( 5; 6) . Число благоприятствующих исходов равно 1.

Вероятность:

  1. Вероятность B без всяких условий:

Общее число возможных исходов 36.

Благоприятствующих три: ( 5; 6); ( 6; 5) и ( 6; 6).

Вероятность:

Все три числа отличаются друг от друга. События зависимы

Пример 3:

Два события А и B несовместны.

Проверить, зависимы они или нет.

У случайного события B есть некоторая вероятность P(B) ≠ 0.

Если же событие А уже произошло, то событие B в том же опыте произойти уже не может, они несовместны. Это значит, что PA(B) = 0.

Итак, появление события А изменяет вероятность события B:

Вывод: несовместные события зависимы

Теперь перейдем к вероятности произведения событий

Геометрически это отношение площади области AB к площади квадрата

Умножим и разделим это отношение на площадь области A.

Первый сомножитель – это вероятность события A. Второй – это условная вероятность события B при условии, что A произошло.

Таким образом, получаем обоснование формулы для вероятности произведения событий:

Если события независимы, тогда нет необходимости указывать, что одно из событий уже произошло:. .

Пример 4:

В ернемся к задаче, рассмотренной

в начале параграфа. Определим вероятность того, что оба шара окажутся черными.

Обозначаем события: Апервый шар окажется черным;

Ввторой шар окажется черным.

С – оба шара окажутся черными

Появление обоих событий вместе – это произведение событий:

С = А · В

Р(С) = Р(А · В) = {события зависимы} = Р(А) · РА(В) =

Эту задачу можно решить и с использованием классического определения, но только приходится использовать формулы комбинаторики. Когда из общего количества в 20 элементов извлекается 2 элемента – это сочетание из 20 по 2.

.

Пример 5:

Банк выдает кредит трем фирмам. Вероятность своевременного возврата кредита: для первой фирмы 0,95; для второй – 0,98; для третьей – 0,9.

Найти вероятность того, что все кредиты будут вовремя возвращены.

Замечание: Фирмы не связаны между собой производственными и финансовыми отношениями.

Описываем события:

А 1первая фирма возвратит кредит своевременно

А 1вторая фирма возвратит кредит своевременно

А 1третья фирма возвратит кредит своевременно

BB – все три кредита вернут вовремя.

Решение:

Появление всех трех событий – это произведение

B = А1 · А2 · А3

Н

ужно подсчитывать вероятность произведения. Для этого нужно сначала выяснить, зависимы события или нет.

По условию, фирмы не связаны между собой, и значит, коммерческий успех или неуспех одной из них не влияет на хозяйственную деятельность другой. Вероятность того, что одна из фирм вернет или не вернет вовремя кредит, не зависит от действий другой фирмы. События независимы.

Следовательно:

P(B) = P( А1 · А2 · А3 ) = {события независимы} =

= P1) · P(А2) · P(А3) = 0,95 · 0,98 · 0,9 = 0,8379 .

Обратите внимание: чем больше выдается кредитов, тем меньше вероятность того, что все они будут возвращены своевременно.

Второй момент: Если фирмы, которым выдается кредит, связаны между собой коммерческой деятельностью, то неудачные действия одной из них могут неблагоприятно отозваться на деятельности других, и вероятность несвоевременного возврата кредита у них возрастет. Таким образом, события в этом случае могут оказаться зависимыми, и интересующая нас в этой задача вероятность может резко уменьшиться.