Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті

Оқу-әдістемелік құралы

Басылым: үшінші

Функция. Сандар тізбегі

1. Жиындар. Логикалық символдар.

Белгілі бір ортақ қасиеттері бар элементтердің жиынтығын жиын деп атайды. Яғни, өзара бөлек заттар біріктіріліп, бір зат ретінде қарастырылады. Оның құрамындағы элементтердің (заттардың) әрқайсысын жиынның элементі деп атайды.

Жиынды үлкен әріптермен (А, В, С, . . . ), ал оның элементтерін кіші әріптермен (а, b, с, . . . ) белгілеу қабылданған. Жиынды, көп жағдайда А={х} символымен белгілейді, мұндағы х жиын элементтерінің белгіленуі. Мысалы, А = {а, b, с,...}, .

Егер А жиыны қандай да бір Р қасиетіне ие болатын элементтерден тұрса, онда ол арқылы жазылады. Мысалы,жазуы,теңсіздігін қанағаттандыратын х нақты сандар жиынын білдіреді. Бұл жиындытүрінде жазуға да болады.

Бірдей элементтерден тұратын жиындарды тең жиындар деп атайды. Егер А және В жиындар тең болса, оны А =В арқылы белгілейді.

Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса, онда В жиынын А жиынының жиыншасы деп атайды. Оны символымен белгілейді. Әр уақыттаболады.

Ешбір элементі жоқ жиынды бос жиын деп атап, символымен белгілейді. Бос жиын кез келген жиынның жиыншасы болып табылады. Сонымен, кез келген А жиынының әруақытта екі жиыншасы бар. Олар А және.

Сандық жиындарды келесідей белгілейді:

N – барлық натурал сандар жиыны; Z - барлық бүтін сандар жиыны;

Q - барлық рационал сандар жиыны; R - барлық нақты сандар жиыны;

С - барлық комплекс сандар жиыны.

А және В жиындары берілсін. Егер А жиынының әрбір элементіне В жиынының белгілі бір элементі сәйкес қойылса, және керісінше, В жиынының әрбір элементіне А жиынының белгілі бір элементі сәйкес қойылса, онда А және В жиындарын эквивалентті деп атайды, оны А ~ В символымен белгілейді.

Мысалы, барлық натурал сандар жиыны N және барлық жұп сандар жиыны М эквивалентті, яғни N ~ М. Шынында да, N және М жиындары арасында өзар бірмәнді сәйкестікті келесідей орнатуға болады: әрбір натурал санынасаны,және керісінше әрбір санына натуралсаны сәйкес қойылады.

Егер А ~ В және В ~ С болса, онда А ~ С екендігі айқын.

А жиынын ақырлы жиын деп атайды, егер n натурал саны табылып, А жиыны жиынымен эквивалентті болса. Бұл жағдайда А жиынын n элементтті жиын деп те атайды.

Егер А жиыны ақырлы болмаса, онда оны ақырсыз не шектеусіз, шексіз жиын деп атайды. Яғни, әрбір n натурал саны үшін А жиынында бір-бірінен өзге болатын (n+1) элемент бар.

N – барлық натурал сандар жиыны, R - барлық нақты сандар жиыны ақырсыз жиын.

N – барлық натурал сандар жиынына эквивалентті жиынды саналатын деп атайды. Яғни, А жиыны саналатын жиын, егер ол ақырсыз және оның элементтерін нөмірлеп шығуға болатын боса.

Мысалы,,саналатын жиындар.

А және В жиындарының қосындысы немесе бірігуі деп осы жиындардың кем дегенде біреуіне тиісті элементтерден тұратын жиынды атайды. Оны арқылы белгілейді. Сонымен, егер қандай да бір элементжиынына тиісті болса, онда ол не тек қана А жиынына, не тек қанаВ жиынына, не осы екі жиынға да тиісті болады.

А және В жиындарының қиылысуы деп осы жиындардың екеуіне де тиісті элементтерден тұратын жиынды атайды. Оны арқылы белгілейді. Сонымен, егер қандай да бір элементжиынына тиісті болса, онда ол А жиынына да, В жиынына да тиісті болады.

А және В жиындарының айырымы деп А жинының В жиынына тиісті емес элементтерінен тұратын жиынды атайды. Оны арқылы белгілейді.

Егер болса, ондаайырымын В жиынының А жиынына дейінгітолықтаушысы деп атайды.

А және В жиындарының симметриялы айырымы деп жәнежиындарының бірігуін атайды. Симметриялы айырымдысимволыменбелгілейді.

Логикалық символдар. Кванторлар

Математикалық сөйлемдерде (анықтамаларда, теоремаларда, талдауларда) қандай да бір қасиетке ие «элемент табылады» және «кез келген элемент» үшін қандай да бір қасиет орындалады деген сияқты сөйлемшелер жиі кездеседі. Жиі кездесетін сөйлемшелерді квантор деп аталатын символдармен белгілеу ыңғайлы.

1) «кез келген», «барлық», «әрбір», «қандай да болмасын» сөйлемшелер математикада бір мағынада қолданылады да, (ағылшын тіліндегі Any-кез-келген сөзінің бірінші әрпінің төңкеріліп жазылуы ) кванторымен;

2) «табылады», «белгілі бір» сөйлемшелер математикада бір мағынада қолданылады да, $ (ағылшын тіліндегі Existence-бар болу сөзінің бірінші әрпінің төңкеріліп жазылуы) кванторымен;

3) «шығады», «салдары» деген сөйлемшелер Þ кванторымен белгіленеді.

4) символы, белгінің екі жағындағы тұжырымдардың тепе-теңдігін, яғни тең мағыналылығын білдірді;

5) def белгісі, айтылған тұжырымның анықтама бойынша дұрыстығын білдіреді.

Мысалы, «А жиынының әрбір х элементі үшін Р қасиеті орындалады» деген түрінде, ал «В жиынынан Р қасиеті орындалатынэлементі табылады» дегентүрінде жазылады.

Абсолюттік шама

а нақты саны үшін

формуласы бойынша анықталған санды а - ның абсолюттік шамасы деп атайды.

Абсолюттік шаманың геометриялық мағынасы мынада – ол сандық өсте санын бейнелейтін нүкте менсанын бейнелейтін нүктенің ара қашықтығын көрсетеді.

Абсолюттік шама келесі қасиеттерге ие:

1) Әрбір саны үшінжәнетеңсіздіктері пара-пар;

2) ; 3); 4); 5) .

Шенелген және шенелмеген жиындар

Анықтама. сандар жиыны берілсін. Егер барлықүшінтеңсіздігі орындалатыннақты саны табылса, ондажиынын жоғарыдан шенелген деп, алсанынжиынының жоғарғы шекарасы деп атайды.

Яғни, .

Әрине, егер саныжиынының жоғарғы шекарасы болса, онда одан үлкен кез келгенсаны да сол жиынның жоғарғы шекарасы болады.

Анықтама. Егер барлық үшінтеңсіздігі орындалатын нақты саны табылса, онда жиынын төменнен шенелген деп, ал санын жиыныныңтөменгі шекарасы деп атайды.

Яғни, .

Егер жиыны жоғарыдан да, төменнен де шенелген болса, яғни шарты орындалса, онда -нішенелген не шектелген жиын деп атайды.

Анықтама бойынша әрбір нақты саны үшінболғандықтан, кез келген сандар жиыны үшінжоғары шекара, ал төменгі шекара деп айтуға болады.

Мысалдар. 1. жиыны ақырсыз, төменнен шенелген жиын. Оның төменгі шекарасысандары.

2. жиыны ақырсыз, жоғарыдан шенелген жиын. Оның жоғарғы шекарасы сандары.

2. Функция

Анықтама. жәнежиындары берілсін.жиынының әрбір элементінежиынының элементін сәйкес қоятын ереженіфункция деп атайды.

Бұл ережені тәртіп, заң, амал, сәйкестік, тәуелділік деп те атайды.

Жиындардың элементтерін белгілеу үшін символдар қолданылады. жиынының кез келген элементін бейнелейтін символдытәуелсіз айнымалы немесе функцияның аргументі деп атайды. Осыған орай, тәуелсіз айнымалыға немесе аргументке сәйкес элементті белгілейтін символды тәуелді айнымалы деп атайды.

символын «элементіне,ережесі қолданылған» деген сөйлемшенің қысқаша жазылуы деп түсіну керек. элементін функциясының нүктесінде қабылданған мәні деп атайды.

-ті функцияның анықталу жиыны, -ті функциямәндерінің жиыны деп атайды.

Күрделі функция: жәнеболса, онда әрбірүшінарқылы анықталғанфункциясынжәнефункцияларыныңкомпозициясы немесе күрделі функция деп атайды да, немесесимволдарыменбелгілейді.

Мысалы, ,болса, ондаал

Кері функция: функциясы берілсін және оның мәндерінің жиыныболсын.

Егер иньективті, яғниболса, ондажәнешарттарын қанағаттандыратынфункциясы бар болады.

функциясын кері функция деп атайды. Оны көбінесе символымен белгілейді.

Мысалы, функциясыаралығында иньективті болғандықтан, осы аралықтаболады.

Монотонды функциялар

Егер функциясының анықталу жиынындағы кез келгенсандары үшінболса, ондафункциясынөспелі (кемімейтін) деп атайды. Өспелі функцяны символымен белгілейді.

Егер кез келген үшінболса, ондафункцясынкемімелі (өспейтін) деп атайды. Кемімелі функцяны символыменбелгілейді.

функциясы жиынында өспелі немесе кемімелі болса, онда оныжиынындамонотонды дейді.

«функциясыжиынында монотонды емес» дегенжиынында белгілі бірсандары үшіннетеңсіздіктері орындалуымен пара-пар.

Егер өспелі болса, ондакері функциясы да өспелі, ал кемімелі функцияның кері функциясы да кемімелі болады.

Мысалы, функциясыаралығында иньективті (қатаң кемімелі) болғандықтан, осы аралықта оның кері функциясыбар.

Жұп және тақ функциялар

Егер нақты сандар жиынындапен бірге -саны да жатса, ондажиынын симметриялы жиын дейді.

Егер функциясының анықталу жиыны симметриялы болып, сол жиындағы әрбірүшінболса, онда- ті жұп функция деп атайды.

Егер функциясының анықталу жиыны симметриялы болып, сол жиындағы әрбірүшінболса, онда- ті тақ функция деп атайды.

Әрине, функция тақ та, жұп та болмауы мүмкін.

Периодты функциялар

Егер функциясыинтервалында анықталып, барлықжәне белгілі бірсаны үшін

(1)

болса, онда -ті периодты функция деп, алсанын-тің периоды деп атайды.

Егер саны-тің периоды болса, онда әрбір бүтін n үшінсандарының әрқайсысы да - тің периоды болады.

Егер (1) шартын қанағаттандыратын ең кіші Т оң саны бар болса, онда функциясын периодты деп атайды.

Элементар функциялар

Дәрежелік , көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялықжәне кері тригонометриялықфункцияларыннегізгі элементар функциялар деп атайды.

Негізгі элементар функцияларға төрт арифметикалық және күрделі функция құру амалдарын ақырлы рет қолданудың нәтжесінде пайда болатын функцияны элементар функция деп атайды.

Аталған амалдардың айқын түрде жазылуын формула деп атайды. Мысалы, ,- элементар функциялар.

Формула функцияны анықтау үшін, онда көрсетілген амалдарды кемінде бір нақты сан үшін орындау мүмкін болып, сол есептеулерді жүргізгенде тек қана нақты сан пайда болуыкерек.

Ньютон биномының формуласы

Кез келген оң бүтін саны мен кез келгенжәненақты сандары үшін

теңдігі орындалады.

Бұл – Ньютон биномының формуласы – (бином - қос мүшелік), дәрежесінің коэффициентінбиномдық коэффициент деп атайды да, символымен белгілейді.

- ны элементтенk бойынша теру деп оқиды.

Осыны ескерсек, Ньютон биномының формуласын келесідей жазуға болады:

.

Анықтама. Тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған функциясын атайды. функциясының оң бүтін санына сәйкес мәнін деп белгілейді, яғни

Тізбектің мәнін, яғни әрбір санын, тізбектің мүшесі дейді.

Ілгеріде ыңғайына қарай, тізбекті мына символдардың бірімен белгілейміз:

; ;.

Тізбек жалпы мүшесі арқылы да, бірнеше бастапқы мүшелері арқылы да берілуімүмкін.

Шенелген және шенелмеген тізбектер

, сандарынан құрылған сандар жиынын тізбегінің мәндерінің жиыны дейді.

Анықтама. Мәндерінің жиыны жоғарыдан шенелген жиын болатын тізбегін жоғарыдан шенелген, ал мәндерінің жиыны төменнен шенелген жиын болатын тізбегін төменнен шенелген деп атайды.

Яғни, тізбек жоғарыдан шенелген болса, белгілі бір нақты саны табылып, барлық нөмерлері үшін теңсіздігі, ал төменнен шенелген болса, белгілі бір нақты саны табылып, барлық нөмерлері үшін теңсіздігі орындалады.

Бұл анықтаманы кванторлар тілінде былай жазады:

, .

Жоғарыдан да, төменнен де шенелген тізбекті шенелген тізбек деп атайды.

Мысалы, тізбегі шенелген, себебі тізбектің барлық мүшелері үшін . Ал, тізбегі төменнен 1 санымен шенелген, ал жоғарыдан шенелмеген.

Анықтама (Тізбек шегінің анықтамасы). тізбегі берілсін. Егер кез келген саны бойыншасаны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегінің нақты мәнді шегі бар және ол санына тең деп атап, оны былай белгілейді:

.

Осы жағдайда тізбегін«санына жинақталатын тізбек», « санына ұмтылатын тізбек » деп те атайды.

Кванторлар тілінде тізбек шегінің анықтамасын келесідей жазады:

.

Маңайлар

Анықтама. нақты сан, ал болсын.

нақты санының - маңайы деп интервалын атайды және оны немесе арқылы белгілейді.

Демек, жиынысанының- маңайы, немесе.

Нақты сандар жиынында бұдан өзге бес түрлі маңай бар. Олар:

- нүктесінің оң жақтыe - маңайы,

- нүктесінің сол жақтыe - маңайы,

- - тіңe - маңайы,

- - тіңe - маңайы,

- - тің e - маңайы.

Сонымен, нақты сандар жиынында алты түрлі маңай бар.

Егер болса, онда ол нүктенің маңайы қысқаша ал, болса, онда арқылы белгіленеді.

Алғашқы үш маңайды ақырлы маңайлар, ал соңғы үш маңайларды ақырсыз маңайлар дейді. Осы маңайлармен байланысты тізбек шегі анықтамасының кейбір дербес жағдайларын қарастырайық.

Анықтама. Егер кез келген саны бойыншасаны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегі санына жоғарыдан (оң жақтан) ұмтылады деп атайды және оны келесідей белгілейді:

Анықтама. Егер кез келген саны бойыншасаны табылып, барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін (минус шексіздікке) ұмтылады деп атайдыжәне оны келесідей белгілейді:

Тізбек шегінің маңайлармен байланысты жоғарыдағы анықтамалары кванторлар тілінде келесідей жазылады:

Егер кез келген нақты саны үшінтізбегісанына ұмтылмаса, онда оның нақты мәнді шегі жоқ дейді.

тізбегінің нақты мәнді шегі жоқ.

Жинақталатын тізбектердің қасиеттері

1-теорема. Егер тізбек жинақталатын болса, онда:

1. ол тізбек шенелген;

2. тізбектің тек бір ғана шегі бар;

3. тізбектің шегі ноль емес нақты а саны болса, онда саны табылып, барлықнөмірлері үшінболады. Нақтырақ айтқанда, барлық үшін,егер болса, онда , ал егер болса, онда ;

4. Егер ,және белгілі бірнөмірінен бастапболса, онда;

5. , және тізбектері үшін келесі шарттар орындалса:

a) белгілі бір нөмірінен бастап ,b) және. Онда ;

Егер болса, онда

Ескерту. Тізбектің шенелгендігі оның жинақтылығының қажетті шарты. Жалпы жағдайда, тізбектің шенелгендігінен оның жинақтылығы шықпайды. Яғни, шенелген тізбек жинақталатын да, жинақталмайтын да болуы мүмкін. Мысалы, тізбегі шенелген бірақ шегі жоқ.

Тізбектерге қолданылатын арифметикалық амалдар

2-теорема. {х_n} және {у_n} тізбектері берілсін және болсын. Онда

1. ,

2. ,

3. , әрбір с нақты саны үшін,

4. ,

5. , егер болса.

Сонымен, екі жинақталатын тізбекке арифметикалық амалдар қолдану арқылы құрылған тізбектердің де шектері бар және алғашқы тізбектердің шектеріне сәйкес арифметикалық амалдар қолданғандағы нәтижесіне тең.