Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УМКД СиС(кинематика).doc
Скачиваний:
28
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
1.43 Mб
Скачать

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті

Күні:28.08.2011 ж.

Басылым: екінші

Пәннің оқу-әдістемелік кешені

ЕҰ У ПОӘК

36-ден 35 бет,

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті

Кафедра

Механика

(кафедра атауы)

ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ

Теориялық механика (Кинематика)

(оқу жұмыс жоспарына сәйкес пәннің коды мен

пәні бойынша

толық атауы)

5B073200 – Стандартизация, метрология және сертификация

мамандығының студенттеріне

(мамандық атауы және шифрі)

арналған

Астана

2011

Дәріс-1. Кинематикаға кіріспе. Нүкте кинематикасы.

Кинематикаға кіріспе

Кинеметика деп – материялық денелер қозғалысының геометриялық сипаттамаларын (траекториясын, жылдамдығын, үдеуін), зерттейтін теориялық механика тарауын айтады. Кинематикада денелердің қозғалысы оған әсер ететін күштерге тәуелсіз, тек геометриялық тұрғыдан зерттеледі. Дененің қозғалысы деп оның басқа бір қозғалмайтын денеге қатысты орын ауыстыруын айтады. Осы қозғалмайтын денемен байланысқан координата жүйесін санақ жүйесі деп атайды.

Теориялық механикада уақыт үздіксіз өзгеріп отыратын шама болып есептеледі. Ол дене қозғалысына тәуелсіз, кез келген санақ жүйесінде және кеңістіктің кез келген нүктесінде бірдей, қайталанбайтын, оң таңбалы скаляр шама.

Жалпы жағдайда қозғалатын дененің нүктелері әртүрлі қозғалыс жасайды. Сондықтан алдымен нүкте қозғалысын қарастырамыз.

Нүкте кинемтикасы

Жүріп өткен жолымен салыстырғанда өлшемі әлдеқайда кіші денені кинематикада нүкте деп атайды. Нүкте қозғалысының негізгі кинематикалық сипаттамаларына оның траекториясы, жылдамдығы және үдеуі жатады. Нүкте кинематикасында мынадай екі негізгі мәселе қарастырылады:

1) Нүкте қозғалысының берілу тәсілдерін анықтау;

2) Берілу тәсілдеріне қарай нүктенің барлық кинемтикалық сипаттамаларын (траекториясын, жылдамдығы мен үдеуін) анықтау.

Нүкте қозғалысының берілу тәсілдері

Нүкте қозғалысын беру деп кез келген уақытта нүктенің кеңістіктегі орнын табуға мүмкіндік беретін тәсілді алуды айтады. Кинематикада нүкте қозғалысы үш түрде: векторлық, координаталық және табиғи тәсілдермен беріледі.

  1. Векторлық тәсіл. Бұл тәсілде нүктенің радиус-векторы уақытқа тәуелді функция ретінде беріледі, яғни

(1)

Нүктенің радиус-векторы координата жүйесінің бас нүктесі болатын бір О нүктесінен жүргізіледі, бірақ координата жүйесінің берілуі нақтыланбайды (1-сурет). (1) теңдеу нүктенің қозғалыс заңы деп аталады.

Уақыт өзгерген кездегі радиус-вектор ұшының кеңістіктегі геометриялық орындары нүктенің траекториясы немесе радиус-вектордың годографы деп аталады. Егер нүктенің траекториясы түзу болса оның қозғалысы түзу сызықты қозғалыс, ал қисық болса – қисық сызықты қозғалыс деп аталады.

  1. Координаталық тәсіл. Бұл тәсіл міндетті түрде координата жүйесінің берілуін талап етеді. жүйесіндегі кез келген М нүктенің орны оның координаталарымен анықталады. Нүкте қозғалған кезде оның координаталары өзгереді де уақытқа тәуелді функциялар болады (2-сурет):

. (2)

Бұл теңдеулер нүктенің декарттық координата жүйесіндегі қозғалыс теңдеулері деп аталады.

Нүктенің траекториясының теңдеуін координаталық түрде жазу үшін (2) теңдеулерінен уақытты жою қажет.

2-суреттен векторлық және координаталық тәсілдердің арасындағы байланысты аламыз:

. (3)

Егер қозғалыс сфералық немесе цилиндрлік координата жүйесінде қарастырылса, онда нүктенің сәйкес координаталары уақыт функциялары ретінде беріледі:

, (4)

. (5)

(4) теңдеулері нүктенің цилиндрлік координата жүйесіндегі, ал (5) теңдеулері – сфералық координата жүйесіндегі қозғалыс теңдеулері болады.

Нүкте бір жазықтықта қозғалған жағдайда оның қозғалысы полярлық координата жүйесінде берілуі мүмкін:

(6)

Бір жағынан цилиндрлік, сфералық, полярлық координата жүйелерінің арасында, ал екінші жағынан декарттық координата жүйесінің арасында белгілі байланыстар бар:

  1. Табиғи тәсіл. Табиғи тәсілде нүкте траекториясы алдын ала белгілі болған жағдайда пайдаланады. Бұл тәсілде нүктенің траекториясы, траектория бойындағы доғаның бастапқы орны, қозғалыстың оң бағыты мен доғалық координатасы уақытқа тәуелді функция ретінде беріледі (3-сурет), демек:

. (7)

Бұл – қозғалысы табиғи тәсілмен берілген нүкте қозғалысының заңы (теңдеуі).

Сонымен, нүктенің қозғалысын табиғи тәсілмен анықтау үшін оның траекториясы, бас нүктесі, траектория бойымен қозғалыс заңы (7) берілуі қажет екен.

Егер нүкте оң бағытта қозғалса доға дифференциалы , ал теріс бағытта қозғалса бұл дифференциал нөлден кіші болатынын айту керек.

Нүктенің жүріп өткен жолы әрқашан оң болады, яғни .

Табиғи және координаталық әдістердің арасында мынадай байланыс бар:

мұндағы – нүкте координаталарының дифференциалдары.

Нүктенің жылдамдығы мен үдеуі

Енді нүкте қозғалысы әртүрлі тәсілмен берілген кезде оның негізгі кинематикалық сипаттамаларының қалай анықталатынын қарастырайық.

Қозғалыстағы нүктенің негізгі кинематикалық сипаттамаларының біріне жылдамдық жатады. Нүктенің жылдамдығы деп оның қозғалысының жылдамдығы мен бағытын сипаттайтын векторлық шаманы айтады.

  1. Векторлық тәсіл. Нүктенің уақыттағы орны радиус-вектормен, ал уақыттағы орны радиус-вектормен анықталсын (4-сурет). Осы векторлардың айырмасын арқылы белгілейік, яғни

. (8)

Бұл вектор нүктенің элементар уақыттағы элементар орын ауыстыруы деп аталады.

Элементар орын ауыстыру векторының элементар уақытқа қатынасы нүктенің орташа жылдамдығы деп аталады:

(9)

Орташа жылдамдықтың векторы векторы сияқты бағытталады.

нөлге ұмтылған кездегі мен қатынасының шегі нүкте жылдамдығы деп аталады:

(10)

демек, нүкте жылдамдығының векторы оның радиус-векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең екен:

. (11)

Жылдамдық векторы траекторияға жанама бойымен бағытталады (4-сурет).

Түзу сызықты қозғалыс кезінде жылдамдық векторы осы түзудің бойымен бағытталып, оның тек сандық шамасы ғана өзгере алады. Ал қисық сызықты қозғалыс кезінде жылдамдық векторының сандық шамасымен қатар бағыты да өзгеріп отырады. Жылдамдықтың өлшем бірлігі ретінде м/с немесе км/сағ. қолданылады.

Нүктенің үдеуі деп оның жылдамдығының модулі мен бағытының өзгеруін сипаттайтын векторлық шаманы айтады.

Нүктенің уақыттағы орны М және жылдамдығы , ал уақыттағы орны және жылдамдығы болсын (5-сурет).

векторын нүктеден М нүктеге көшіріп уақыт аралығындағы жылдамдықтың өзгеру векторы деп аталатын вектор енгізейік:

. (12)

Осы вектордың өзгеріс болатын уақытқа қатынасы уақыт аралығындағы нүктенің орташа үдеуі деп аталады:

. (13)

Бұл вектор векторы сияқты бағытталады.

нөлге ұмтылған кездегі мен қатынасының шегі нүктенің үдеуі деп аталады:

. (14)

Демек, нүкте үдеуінің векторы оның жылдамдық векторынан уақыт бойынша алынған бірінші туындыға немесе радиус-векторынан уақыт бойынша алынған екінші туындыға тең екен.

Үдеудің өлшем бірлігі ретінде м/с2 қолданылады.

Нүкте үдеуінің векторы әрқашан нүкте траекториясының ойыс жағына қарай бағытталады.

  1. Координаталық тәсіл. Декарттық координата жүйесіндегі нүкте қозғалысын қарастырайық. Сонда бірлік вектоларының тұрақты екендігін ескеріп, (11) өрнегінен мынаны аламыз:

.

Осыдан нүкте жылдамдығы векторының декарттық координата өстеріне проекцияларын аламыз:

. (15)

Нүкте жылдамдығының векторын былай жазуға болады:

. (16)

Нүкте жылдамдығының сан шамасы мына өрнекпен анықталады:

, (17)

ал бағыты – бағыттаушы косинустармен анықталады:

. (18)

Енді нүкте үдеуін табу үшін (14) өрнегіне сәйкес (16) өрнегінен уақыт бойынша туынды аламыз:

.

Осыдан нүкте үдеуі векторының декарттық координата өстеріне проекцияларын аламыз:

(19)

Нүкте үдеуінің векторы былай жазылады:

, (20)

сонда нүкте үдеуінің сан шамасы:

. (21)

Үдеу векторының бағыттаушы косинустары:

. (22)