Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Оулы 1-4

.pdf
Скачиваний:
60
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
585.14 Кб
Скачать

 

y2

 

 

 

 

2

 

x2

 

y2

 

 

2

 

б)

 

x2

z2

1,

 

 

z

1

64

4

 

4

64

4

 

 

 

 

 

 

 

Бұл Oy өсі бойымен созылынқы айналу эллипсоидын береді, оның негізгі қимасындағы жарты өстері OA OC 2, OB 8 болады (48-сурет).

52-сурет

VII. Математикалық талдау

7.1 Жиындар және оларға амалдар қолдану

1-анықтама. Қандай да бір құбылысты зерттеу үдерісі кезінде ең кемінде екі түрлі мән қабылдайтын шама айнымалы шама деп, ал тек бір мән қабылдайтын шама тұрақты шама деп аталады.

Егер айнымалы шаманың қабылдайтын барлық мәндерінің біріктіретін болсақ, онда біз осы шаманың мәндер жиынын аламыз.

2-анықтама. Табиғилығы кез келген қандай да бір объектілердің жиынтығы жиын деп, ал оған кіретін объектілер жиынның элементтері деп аталады.

Жиындар латын алфавитінің үлкен әріптерімен, яғни A,B,...,X,Y,... деп,

ал, олардың элементтері

латын

алфавитінің

кіші әріптерімен, яғни

a,b,...,x,y,... деп белгіленеді. Егер x

элементі A жиынында жататын болса,

онда ол x А деп белгіленеді. Егер

x элементі

A жиынында жатпайтын

болса, онда ол x А деп белгіленеді.

 

 

А В түріндегі белгі,

A жиынының B жиынына енуін көрсетеді, яғни

егер x А болса, онда x В болады. Бұл жағдайда A жиыны B жиынының ішкі жиыны деп аталады. Кейбір кезде мұндай тұжырымды В А түрінде жазуға болады.

, -белгілері енгізу белгілері болып табылады.

3-анықтама. Егер жиын бірде-бір элемент қабылдамайтын болса, онда ол құр (бос) жиын деп аталады және белгісімен белгіленеді.

Құр жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болып табылады, яғниA, мұндағы A кез келген жиын.

Жиындарды белгілеу кезінде көбінесе фигуралық жақшаны қолданып, оның ішіне әр түрлі әдістермен осы жиынды құрайтын элементтері орналастырамыз. Мысалы N 1,2,3,... өрнегі натурал сандардың жиынын, ал Z ..., 2, 1,0,1,2,... бүтін сандар жиынын анықтайды.

121

Егер А В және В А болса, онда A және B жиындары тең деп аталады, және А В болып жазылады.

7.2 Жиындарға амалдар қолдану

Жиындар үшін қасиеттері көп ретте сандарды қосу және көбейту амалдарының қасиеттеріне сәйкес келетін арифметикалық қосу және көбейту амлдарын енгізуге болады.

Кездейсоқ A және B жиындары берілсін.

4-анықтама. A және B жиындарының қосындысы немесе бірігуі деп A және B жиындарының элементтерінен тұратын C жиынын атаймыз, және мына түрде жазамыз: C A B немесе С А В (53-сурет).

Қосу амалынан A A A болатындығын оңай көреміз.

53-сурет

54-сурет

5-анықтама. A және

B жиындарының көбейтіндісі немесе қиылысуы

деп A және B жиындарының ортақ элементтерінен тұратын C жиынын атаймыз, және мына түрде жазамыз: C AB немесе С А В (54-сурет).

Егер АВ болса, онда A және B жиындары қиылыспайтын жиындар деп аталады. Жиындардың теңдігі туралы түсінікті пайдалана отырып, мына теңдіктерді дәлелдеуге болады: 1) A B B A, 2) A B C AC BC,

3) AB C A BC , 4) A B C A B C .

6-анықтама. A және B жиындарының айырмасы деп

R A\ B

жиынын айтамыз, бұл жиын B жиынына кірмейтін, тек A

жиының

элементтерінен тұрады (55-сурет).

 

55-сурет

7.3 Математикалық логика символикасы

Математикада қандай да бір тұжырымдарды беру кезінде олардың жазылуын қысқарту үшін математикалық логика символикасы қолданылады.

Егер тұжырымдарды , белгілесек, онда белгісі: « тұжырымынан тұжырымы шығады» деген ұғымды білдіреді. Ал белгісі және тұжырымдарының эквиваленттілігі, яғни тұжырымынан

122

тұжырымының және тұжырымынан тұжырымының шығатындығын білдіреді.

x А: жазбасы: «кез келген x A элементі үшін тұжырымы орындалады» деген ұғымды білдіреді. Мұндағы символикасы жалпылама квантрасы болып табылады.

y В: жазбасы: « y В элементі бар болып, ол үшін тұжырымы орындалады» деген ұғымды білдіреді. Мұндағы символикасы табылу квантрасы болып табылады.

символын тұжырымын теріске шығару деп түсінеміз, немесе қысқаша « тұжырымы емес»

х А: тұжырымын теріске шығаруды қарастырамыз.

Егер беріліп отырған тұжырым орындалмайтын болса, онда тұжырымы барлық x A үшін орындала бермейді, яғни x A элементі бар болып, ол үшін тұжырымы орындалмайды: х А: х А: .

Дәл осы сияқты y B: х B: болады.

Сонымен берілген, құрамында және таңбалары бар логикалық формуланы теріске шығару үшін, таңбасын таңбасына, ал таңбасын таңбасына алмастыру керек және теріске шығару сызығын қос нүктеден кейінгі қасиетке қою қажет.

Мысалы,

M x A: f x M

тұжырымын теріске шығару, мына түрде болады

M x A: f x M M x A: f x M M x A: f x M .

7.4 Нақты сандар

Сан туралы түсінік математикадағы алғашқы және негізгі түсінік болып табылады. Бұл түсінік тарихи өрлеудің ұзақ жолынан өтті. Мысалы, натурал сандар жиыны

N 1,2,3,...,n,...

заттарды есептеумен байланысты пайда болса, ал бүтін сандар

N ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...

мен рациональдық сандар

m

Q , мұндағы m,n Z,n 0

n

жиыны тәжерибелік қажеттіліктен және математиканың өркендеп дамуы негізінде пайда болды.

Рациональдық сандарды жазу кезінде бірыңғайлық болу үшін

қысқартылмайтын m бөлшегін қабылдаймыз. n

Рациональдық сандар кесінділерді өлшеудің маңызды тәжірибелік есептерін шешуді толығымен қамтамасыз ете алмады. Ұзындықтары

123

рациональдық сандар болмайтын кесінділер де табылады. Мысалы, қабырғалары бірге тең квадраттың диоганалы.

Сондықтан, осыған байланысты рациональдық сандардан басқа да сандарды, яғни иррациональдық сандарды енгізудің қажеттілігі туды.

Кез келген рациональдық немесе иррациональдық сандар нақты сандар деп аталады.

Нақты сандар жиынын R арқылы белгілеп, оларды шексіз ондық бөлшек түрінде береміз:

a a0 ,a1a2a3....

Мұндағы a0 теріс емес бүтін сан, ал ak k 0 ондық цифрлар. Сондықтан ak тек 0,1,2,...,9 мәндерінің біреуін ғана қабылдайды. Мұндай жазу кезінде таңбасы көбінесе жазылмайды.

Рациональдық сандарды қысқартылмайтын m бөлшегі түрінде жазу n

кезінде, қалдық қайталанатын болса, онда біз периодтық шексіз ондық бөлшек аламыз.

Периодтық ондық бөлшектермен бірге периодты емес, мысалы

0,1010010001...; 0,121122111222...; сандары табылады.

Тағы бір мысал келтірелік, егер белгілі ереже бойынша 2 санының

түбірін табатын болсақ, онда анықталған 2 1,41... периодты емес шексіз ондық бөлшек аламыз.

7-анықтама. Периодты емес шексіз бөлшекті иррациональ сан деп атаймыз және мына түрде жазамыз:

a 0 , 1 2 3...,

(7.1)

мұндағы 0 теріс емес бүтін сан, ал k k 1,2,3,... ондық цифрлар, ал " " таңбасы теңдіктің оң жағын a арқылы белгілегенімізді білдіреді.

Кез келген нөлге тең емес нақты санды (7.1) формула түріндегі шексіз ондық бөлшекпен жазуға болады. Егер ол рациональды болса, онда оның ондық жіктелуі периодтық шексіз ондық бөлшек болады, ал иррациональды болса, онда периодты емес шексіз ондық бөлшек аламыз.

7.5 Теңдеулер және теңсіздіктер анықтамасы

Периоды 9-ға тең

емес шексіз ондық бөлшек

түрінде анықталған

a 0 , 1 2 3... және

b 0 , 1 2 3... болатын екі санды қарастырамыз.

Егер берілген екі санның таңбалары бірдей және к к

k 0,1,2,... болса,

онда олар тең деп есептелінеді.

Берілген a және b оң сандар болсын. Егер 0 0 немесе қандай да бір

теріс емес бүтін l индексі табылып, k

k

k 0,1,2,...,l теңдігі

орындалып және l 1 l 1 теңсіздігі орындалса, онда анықтама бойынша a b немесе b a деп жазылады.

124

Анықтама бойынша a 0

немесе a 0 болуы оның, яғни a санының оң

немесе теріс болуынан тәуелді. Егер a 0, b 0 немесе a,b 0

және

 

a

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

болса, онда анықтама бойынша a b болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Егер

a 0, 1 2 3...

болса,

онда

анықтама

бойынша

a 0 , 1 2 3..., ал абсолюттік шамасы

 

a

 

0 , 1 2 3... 0 , 1 2 3...

 

 

болады. Сонымен,

a a 0 ,a a

a a 0 .

Абсолюттік шамалар үшін келесі теңсіздіктер орындалады: a

теңсіздігі мына екі теңсіздікке эквивалентті

a .

Бұдан

a b

теңсіздігі

b a b

теңсіздіктеріне эквивалентті. Дәл осы сияқты a b

теңсіздігі де

b a b

теңсіздіктеріне эквивалентті.

Сонымен бірге мына теңсіздіктер де

a b a b , a b a b.

7.6 Кесінді, интервал, шектеулі жиындар

Берілген a және b сандары a b теңсіздігін қанағаттандырады. 8-анықтама. а х в теңсіздігін қанағаттандыратын x сандарының

жиынын, (шеттері a, b болатын) кесінді немесе сегмент деп аталады және мына түрде белгіленеді: a,b .

9-анықтама. а х в теңсіздігін қанағаттандыратын x сандарының жиынын, (шеттері a, b болатын) интервал немесе ашық кесінді деп аталады және мына түрде белгіленеді: a,b .

10-анықтама. а х в немесе а х в теңсіздігін қанағаттандыратын x сандарының жиынын сәйкес a,b немесе a,b арқылы белгілеп,

жартыинтервал немесе жартылайашық кесінді деп аталады.

Көбінесе шектеусіз интервалдар және шектеусіз жартылай интервалдар деп аталатын жиындарды қарастырамыз:

1) ; , 2) ;а , 3) a; , 4) ;а , 5) a; мұндағы және символдары шексіздіктер, ал a ақырлы сан.

125

Сонымен, жоғардағы айтылғандардан a,b кесіндісінің шеттері ақырлы сандар, a,b интервалының шеттері ақырлы сандар немесе шексіздік болуы мүмкін. a,b жартыинтервалының a шеті әр кезде ақырлы, ал b шеті ақырлы сандар немесе шексіздік болуы мүмкін b . Дәл осы сияқты a,b

жартыинтервалының a шеті ақырлы сандар немесе

шексіздік a

болуы мүмкін, ал b шеті әр кезде ақырлы болады.

 

Егер

a

және b ақырлы және a b болса, онда

b a қарастырып

отырған

a,b

кесіндісінің, немесе a,b интервалының,

немесе a,b , a,b

жартыинтервалдарының ұзындығы деп аталады.

Егер a және b нақты өстің кез келген нүктесі болса, онда b a a және

b нүктелерінің арақашықтықтары деп аталады.

Берілген c a c b нүктесін қабылдайтын кез келген a,b интервалы c нүктесінің аймағы деп аталады. Дербес жағдайда c нүктесінің аймағы

деп 0 болғандағы c ,c интервалын айтамыз. Айталық X x нақты сандардың кездейсоқ жиыны болсын.

Егер M нақты саны табылып, x X :x M орындалатын болса, онда X жиыны жоғарыдан шектелген, ал егер m нақты саны табылып,x X :x m орындалатын болса, онда X жиыны төменнен шектелген деп

аталады.

Ал M және m сандары

X жиынының

сәйкес

жоғарғы және

төменгі

шегі деп аталады. Сонымен бірге M

саны

X

жиынының

мажоранты деп аталады.

 

 

 

 

 

 

 

 

Егер

X жиыны жоғарыдан да,

төменненде шектелген болса, онда ол

шектелген деп аталады.

 

 

 

 

 

 

 

 

Егер

X жиыны шектелмеген болса, онда ол шектеусіз деп аталады.

Оны мына түрде анықтаймыз: егер

M 0 x0 X :

 

x0

 

M

орындалатын

 

 

болса, онда X нақты сандар жиыны шектеусіз.

 

 

 

 

 

 

 

7.7Тізбекің шегі

7.7.1Тізбекің шегі туралы түсінік

Айталық әрбір n 1,2,3,... натурал санына қандай да бір заңдылықпен сәйкес нақты немесе комплекс хn саны қойылса, онда x1,x2,x3,... сан тізбегі немесе қысқаша тізбек берілген дейміз және мына түрде белгілейміз:

xn x1,x2,x3,... .

xn тізбегінің xn жеке сандары оның элементтері деп аталады. Тізбекте n m болғанда xn және xm тізбектің элементтері ретінде өзгеше болғанымен сандар ретінде өзара тең болуы мүмкін xn xm .

Бұл бөлімде нақты сандар тізбегін қарастырамыз. Тізбектің мысалдары:

 

 

1

 

1

 

 

1

1.

1,

 

,

 

,...

 

 

.

 

 

 

 

 

2 3

 

n

126

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

1 n

.

2.

 

 

,2,

 

 

 

,2,...

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1 n

3.

1,2,

 

 

 

 

,4,

 

 

,...

 

 

3

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

n 1

4.

0,

 

,

 

 

 

,

 

 

,...

 

 

 

 

 

.

2

 

3

4

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2,5,10,... n2 1 .

6.1,2, 3,4,... 1 n n .

Егер xn тізбегінің барлық элементтері бірдей тек a санына тең болса, онда ол тұрақты деп аталады.

Жоғарыда келтірілген мысалдарда 1, 2, 4 мысалдар шектелген, ал 3, 5, 6

мысалдар шектеусіз болады.

 

 

 

 

 

 

11-анықтама. Егер кез келген оң 0 саны үшін, осы

-нан тәуелді

болатын n0 n0 саны табылып,

барлық n n0 болғанда,

 

xn a

 

 

 

 

теңсіздігі орындалса, онда a саны хn

тізбегінің щегі деп аталады және мына

түрде жазылады:

 

 

 

 

 

 

limxn limxn a немесе xn a.

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Сонымен xn тізбегінің a санына тең шегі бар немесе

xn тізбегі a

санына ұмтылады деп аталады. Басқа сөзбен айтқанда xn

айнымалысы

немесе xn тізбегі a санына жинақталы деп те аталады.

Егер xn тібегі кез келген n натурал саны үшін тұрақты a болатын

болса, яғни xn a n N орындалса, онда limxn lima a.

 

 

 

n

Егер limxn

a болса, онда

limxn 1

a

болады және кері тұжырымда

n

 

n

 

 

 

 

 

дұрыс болады.

Бұл дегеніміз,

егер

 

xn

a

 

n n0 болса, онда

 

 

 

xn 1 a

 

n n0 1 болады және керсінше.

 

 

 

 

 

Жоғарыда келтірілген 1-ші мысалдың айнымалысының шегі 0-ге тең:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

 

 

0.

 

(7.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шынымен де, кез келген 0 санын бере отырып,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

1

 

немесе

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1

теңсіздігін

шешеміз. Сонымен

 

кездейсоқ 0 саны үшін n

0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

табылып, барлық n n0 үшін

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

теңсіздігі орындалады, бұл (7.2) теңдігінің растығын көрсетеді. Ал, 4-ші мысалдағы айнымалының шегі 1-ге ұмтылады:

127

lim

n 1

1.

(7.3)

 

n n

 

Шынымен де, мына теңсіздікті құрастырамыз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n 1

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жоғарыда көргеніміздей, егер

n n

 

 

болса,

онда кез келген 0 үшін

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осы теңсіздік орындалады. Бұл (7.3) теңдігінің растығын көрсетеді.

 

 

 

 

1-теорема. Егер xn тізбегіндегі хn

 

айнымалының шегі бар болса, онда

ол жалғыз болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-теорема. Егер xn тізбегі жинақталатын болса, яғни шегі бар болса,

онда ол шектеулі болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-теорема. Егер хn

айнымалының нөлге тең емес a, яғни а 0 шегі бар

болса, онда n n0 үшін

 

xn

 

 

 

a

 

 

 

болатын, қандай да бір n0 табылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Сонымен бірге, көрсетілген n үшін, егер a 0 болса, онда

хn

, ал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

егер a 0 болса,

онда

хn

 

болады.

 

Сонымен, қандай да бір нөмірден

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бастап,

хn айнымалысы aтаңбасын сақтайды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-теорема. Егер барлық n 1,2,3,... үшін

 

 

 

хn a, yn

b және

хn

yn

болса, онда a b болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a,b

1-салдар. Егер жинақталатын xn тізбегінің элементтері

 

кесіндісінде жатса, онда оның шегі де осы a,b кесіндісіне тиісті болады.

5-теорема. Егер xn

және

yn айнымалыларының шегі бірдей a

санына

ұмтылса және

xn

zn

yn

 

 

 

n 1,2,3,...

теңсіздігі

орындалса,

онда

zn

айнымалысы да a санына ұмтылады.

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6-теорема. Егер xn

a болса, онда

 

 

 

 

 

болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.7.2 Шегі бар айнымалыларға амалдар қолдану

 

 

 

 

Айталық, хn және уn арқылы сәйкес

 

 

xn және

yn тізбектерін

қамтитын айнымалыларды

 

белгілейтін

 

болсақ,

онда анықтама

бойынша,

хn yn

қосындысы, хn

yn

айырмасы,

 

хn yn

көбейтіндісі және

хn

 

қатынасы

 

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сәйкес

хn yn ,

хn

yn ,

хn yn

 

және

 

xn

 

тізбектерін

қамтитын

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

айнымалылар

болады.

 

 

Айнымалылардың

 

 

қатынасы

кезінде

 

барлық

n 1,2,3,... үшін уn

0 деп қарастырамыз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Келесі тұжырымдардың орындалуы дұрыс болып табылады:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

128

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim xn

yn limxn lim yn ,

 

 

 

(7.4)

lim xn yn limxn lim yn ,

 

 

 

 

(7.5)

 

 

 

 

limxn

 

 

Егер lim yn 0

xn

 

 

 

болса, онда lim

 

 

 

 

.

(7.6)

 

lim yn

 

yn

 

 

хn және

Бұл тұжырымдардың орындалуын мына түрде түсінеміз: Егер

уn айнымалыларының ақырлы шегі бар болса, онда олардың қосындысының, айырмасының, көбейтіндісінің және қатынастарының (көрсетілген шартты қанағаттандыратын) шегі бар болады және (7.4) – (7.6) теңдіктері орындалады.

Осы айтылған тұжырымдардың шекарасынан шығып кететін де

жағдайлар кездеседі. Мысалы,

 

хn

 

 

1 q q2

... qn ,

 

q

1 тібегінің шегі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limx

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

болатындығын дәлелдейміз.

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Берілген тізбек геометриялық прогрессия болғандықтан

 

 

 

 

 

 

 

 

x

n

 

1 qn 1

 

 

 

1

 

 

 

 

qn 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Есептің берлгені бойынша

 

 

q

 

1 болғандықтан

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limqn 1

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

онда (7.3) және (7.4) формулаларын қолданып,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limx

n

lim

1

lim

qn 1

 

 

 

1

 

 

 

1

limqn 1

 

 

1

 

 

1

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n 1 q

n 1 q

 

1 q

 

1 qn

 

1 q

1 q

1 q

теңдігін аламыз. Әріқарай

1 q q2 ... qn ... qn

n 0

символы арқылы lim qk шегін белгілейміз. Сонымен

k k 0

qn limxn

 

1 q 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

n

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

7.7.3 Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар

Шегі 0-ге тең болатын n айнымалысы шексіз аз шама немесе қысқаша шексіз аз деп аталады және мына түрде жазылады:

 

lim n 0 немесе n

.

 

 

n n0

Сонымен, егер

кез келген 0 үшін

n0 табылып,

 

n

 

,

 

 

орындалса, онда n

айнымалысы шексіз аз шама болады.

 

 

 

 

129

 

 

 

 

 

 

Бұдан хn айнымалысының шегі

a болу үшін, n

шексіз аз болғанда,

xn a n болуы қажетті және жеткілікті.

 

 

n n0 орындалса,

Егер кез келген M 0 үшін, n0

табылып,

 

n

 

M,

 

 

онда n айнымалысы шексіз үлкен шама немесе шексіз үлкен деп аталады. Шексіз үлкен шаманы

lim n немесе n

арқылы жазамыз және n шексіздікке ұмтылады деп айтамыз.

Егер шексіз үлкен n қандай да бір n0 номерінен бастап тек оң мәндер немесе тек теріс мәндер қабылдаса, онда оны

lim n немесе n

сәйкес

lim n немесе n

түрінде жазамыз.

Келесі қасиеттерді қарастырамыз:

1.Егер хn айнымалысы шектеулі, ал уn айнымалысы шексіз үлкен болса,

онда xn 0. yn

2.Егер хn айнымалысының абсолют шамасы төменнен оң санмен

шектелген, ал уn нөлге тең емес, яғни уn 0 шексіз аз шама болса,

онда xn . yn

Осы екі қасиеттің негізінде: егер c 0 тұрақты болса, онда lim c 0, lim c .

yn

yn

yn 0

yn

 

 

Атап өтелік, егер xn тізбегі шектеусіз болса, онда оның шексіз үлкен болуы міндетті емес.

7-теорема. Шексіз аз тізбектің шектеулі тізбекке көбейтіндісі шексіз аз

тізбек болады, яғни егер limxn 0 және

yn

M n N болса, онда

limxn yn 0.

7.7.4Анықталмаған өрнектер

1.Егер limxn 0 және lim yn 0 yn 0 болса, яғни xn 0 және yn 0

 

х

n

 

0

 

 

болса, онда

 

өрнегі

 

 

түріндегі анықталмағандықты береді.

yn

0

 

 

 

 

2. Егер xn және

yn

болса, онда

х

n

өрнегі

 

 

түріндегі

 

 

 

 

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

анықталмағандықты береді.

130