Оулы 1-1

	М А З М Ұ Н Ы
Кіріспе.................................................................................................................................		5
	I. Сызықтық алгебра
1.1	Анықтауыштар және оларға қолданатын амалдар..................................................	7
1.2	Матрицалар және оларға қолданатын амалдар......................................................	11
1.3	№ 1 өздік жұмыс тапсырмалары…………………….............................................18
1.4	Сызықтық теңдеулер жүйесiн Крамер ережесiмен шешу.....................................	20
1.5	Сызықтық теңдеулер жүйесiн кері матрица әдісiмен шешу………..........……...22
1.6	Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу..............................................	23
1.7	Сызықтық теңдеулер жүйесін зерттеу. Кронекер – Капелли теориясы...............	26
1.8	№ 2 өздік жұмыс тапсырмалары..............................................................................	29
	II. Комплекс сандар
2.1	Негізгі түсінік.............................................................................................................	31
2.2	Комплекс санның геометриялық бейнесі................................................................	31
2.3	Комплекс санның жазылу формалары.....................................................................	32
2.4	Комплекс сандарға амалдар қолдану.......................................................................	34
2.5	Көрсеткіші комплексті айнымалы болатын көрсеткішті функция.......................	39
2.6	Эйлер формуласы. Комплекс саның көрсеткіштік формасы.................................	41
	III. Векторлық алгебра
3.1	Векторлар және оларға қолданылатын амалдар.....................................................	43
3.2	Скалярлық көбейту....................................................................................................	46
3.3	Векторлық көбейту....................................................................................................	47
3.4	Аралас көбейту...........................................................................................................	48
3.5	№ 3 өздік жұмыс тапсырмалары..............................................................................	50
	IV. Жазықтықтағы және кеңiстiктегi аналитикалық геометрия
4.1	Жазықтықтағы аналитикалық геометрия................................................................	51
4.2	№ 4 өздік жұмыс тапсырмалары..............................................................................	56
4.3	Кеңістіктегі координаттар әдісі................................................................................	57
4.4	Кеңістіктегі жазықтық теңдеулері...........................................................................	58
4.5	Кеңістіктегі түзу теңдеулері.....................................................................................	61
4.6	№ 5 өздік жұмыс тапсырмалары..............................................................................	65
	V. Екінші ретті қисықтар және олардың канондық теңдеулері
5.1	Шеңбер.......................................................................................................................	66
5.2	Эллипс.........................................................................................................................	69
5.3	Гипербола...................................................................................................................	73
5.4	Парабола.....................................................................................................................	81
5.5	№ 6 өздік жұмыс тапсырмалары..............................................................................	84
5.6	Өздік жұмыс тапсырмаларын шығару үлгілері......................................................	95
	VІ. Екінші ретті беттер туралы жалпы ұғымдар
6.1	Бет теңдеуі................................................................................................................	102
6.2	Сфера.........................................................................................................................	103
6.3	Цилиндрлік беттер...................................................................................................	104
6.4	Конустық беттер......................................................................................................	106
6.5	Айналу беттері.........................................................................................................	108
6.6	Эллипсоид................................................................................................................	110
6.7	Бір қуысты гиперболоид.........................................................................................	111
6.8	Қос қуысты гиперболоид........................................................................................	112
6.9	Эллипстік параболоид.............................................................................................	114

3

6.10	Гиперболалық параболоид....................................................................................	115
6.11	№ 7 өздiк жұмыс тапсырмалары..........................................................................	117
6.12	Өздік жұмыс тапсырмаларын шығару үлгілері..................................................	119
	VII. Математикалық талдау
7.1 Жиындар және оларға амалдар қолдану................................................................		121
7.2 Жиындарға амалдар қолдану..................................................................................		122
7.3 Математикалық логика символикасы....................................................................		122
7.4 Нақты сандар............................................................................................................		123
7.5 Теңдеулер және теңсіздіктер анықтамасы............................................................		124
7.6 Кесінді, интервал, шектеулі жиындар...................................................................		125
7.7 Тізбекің шегі.............................................................................................................		126
7.8 Функция. Функцияның шегі...................................................................................		135
7.9 Функцияның үзiліссiздiгi........................................................................................		138
7.10	Функция үзіліссіздігінің негізгі теоремалары……………................................139
7.11	Функция үзіліссіздігінің қасиеттері....................................................................	140
7.12	№ 8 өздiк жұмыс тапсырмалары..........................................................................	143
7.13	Бір айнымалыдан тәуелді функцияның туындысы және
дифференциалы. Айқын функция туындысы.............................................................		146
7.14	Функцияның дифференциалдануы......................................................................	147
7.15	Туындыны есептеу жолдары................................................................................	148
7.16	Айқындалмаған функцияның туындысы............................................................	151
7.17	Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы.......................................	152
7.18	Туынды табу ережелері мен негізгі формулалары.............................................	152
7.19	Дифференциал........................................................................................................	155
7.20	Функцияның жоғарғы ретті туындысы және дифференциалы.........................	157
7.21	Логарифмнің көмегімен дифференциалдау........................................................	159
7.22	Орта мән туралы теорема. Лопиталь ережесі.....................................................	159
7.23	Функцияны зерттеу және графигін салу...........................................................	161
7.24	№ 9 өздiк жұмыс тапсырмалары..........................................................................	166
7.25	Анықталмаған интеграл. Тікелей интегралдау...................................................	170
7.26	Анықталмаған интегралда айнымалыны алмастыру..........................................	173
7.27	Бөліктеп интегралдау............................................................................................	176
7.28	№ 10 өздік жұмыс тапсырмалары........................................................................	181
7.29	Рационалдық бөлшектерді интегралдау .............................................................	187
7.30	Рационалдық бөлшектерді қарапайым бөлшектерге жіктеу
арқылы нтегралдау........................................................................................................		192
7.31	Қарапайым ирроционалды функцияларды интегралдау...................................	197
7.32	№ 11 өздік жұмыс тапсырмалары........................................................................	201
7.33	Тригонометриялық функцияларды интегралдау ...............................................	206
7.34	№ 12 өздік жұмыс тапсырмалары........................................................................	210
7.35	Анықталған интеграл............................................................................................	213
7.36	Анықталған интегралды есептеу ережелері........................................................	215
7.37	Меншіксіз интегралдар.........................................................................................	216
7.38	Жазық фигуралардың ауданын есептеу...............................................................	220
7.39	Қисық доғасының ұзындығын есептеу................................................................	223
7.40	Дене көлемін есептеу.............................................................................................	225
7.41	№ 13 өздік жұмыс тапсырмалары........................................................................	226

4

КІРІСПЕ

Назарларыңызға ұсынылып отырған «Жоғары математика І» және «Жоғары математика ІІ» оқулықтары бұған дейін Білім және ғылым министрлігінің ұсынысымен қолданыста жүрген «Жоғары математика теориясы және жаттығулар жинағы» атты оқулықтың «Екінші ретті қисықтар», «Екінші ретті беттер», «Комплекс сандар», «Көп айнымалыдан тәуелді функциялар» және «Еселі интегралдар» бөлімдерімен толықтрылған жалғасы болып табылады.

«Жоғары математика І» оқулығы 7 бөлімнен және 13 өздік жұмыс тапсырмаларынан, ал «Жоғары математика ІІ» оқулығы 6 бөлімнен, 5 өздік жұмыс тапсырмаларынан және 2 қосымшадан тұрады.

Қазіргі кредиттік технология жүйесімен оқу барысында студенттердің өзіндік жұмысына көп сағат бөлінген. Осыған сәйкес студент теориялық алған білімін өзіндік жұмыстарда қолдана білуі керек. Сол себепті ұсынылып отырған оқулықтарда әрбір теориялық тақырыптарда өзіндік жұмысқа ұқсас есептер шығарылған. Жоғары математика пәні бойынша қазақ тілінде жарық көрген теориялық оқулықтар бар болғанмен, өзіндік жұмыстарды орындауға арналған есептер жинағы жоқтың қасы. Оның басты себептерінің бірі – жоғары оқу орындарына арналған жоғары математика пәні бойынша есептер жинағы көбінесе формулалық есептерден тұратын болғандықтан мәтіндік мәселе бойынша орыс тіліндегі басылымдар қолданылып келеді. Бірақ бүгінгі, ұлттық ғылым тілін қалыптастыру қажеттілігі мемлекеттік мәселе дәрежесіне көтерілген кезде оқулықтардың қай түрі болмасын мемлекеттік тілде жазылуы қажет. Сондықтан да бұл оқулықтар техникалық жоғары оқу орындарының күндізгі және сырттай оқу бөлімдерінің студенттеріне арналып қазақ тілінде шығарылып отыр.

Оқулықтарды құрастыру барысында техникалық жоғары оқу орындарында жоғары математика пәні бойынша оқылып келе жатқан дәрістер, математиканың типтік оқу бағдарламасы және математика бойынша жалпыға міндетті білім беру стандарттарының негіздері ескерілді. Сонымен бірге оқулықтарда студенттердің өмірлік танымын арттыру және өз бетінше кездескен қиыншылықтарды шешуге тәрбиелеу мақсаты көзделген. Осы айтылғандарды іске асыру үшін оқулықтарда шығарылған есептерге ұқсас, 30 нұсқалық өздік жұмыс тапсырмалары берілген. Оқу жүйесіндегі кредит санына байланысты студенттер өзіндік жұмыстарды бөліп-бөліп тапсырады. Мұндай әдіс оқу үдерісінде студенттердің дәрістік және тәжірибелік сабақтарда алған білімдерін пысықтай түсуге көмектеседі.

Әрбір студент бұл оқулықтардан өздік жұмыс тапсырмалары шығаруға керекті формулаларды таба алады және келтірілген мысалдарды пайдалана отырып, өзіне тиесілі нұсқалық өздік жұмыс тапсырмаларын шығаруға мүмкіншілік алады.

Бұл оқулықта студенттерге оқылатын дәрістік материалдардың барлық бөліміне қажетті өзіндік есептер берілген.

5

Ұсынылып отырған оқулықтардың түп нұсқаларын оқып шығып, кемістіктерін көрсетіп, өз ой – пікірлерін білдіріп, ұсыныстарын жасаған оқытушы-ғалымдарға, оның ішінде ф.м.ғ.д., профессор Ә.Ө. Серікбаевқа, ф.м.ғ.д., профессор Б.Е. Кангужинге ризашылығымды білдіремін.

6

I.Сызықтық алгебра

1.1Анықтауыштар және оларға қолданатын амалдар

1-анықтама. Төмендегі шаршы кестелiк түрде жазылған n саны n шi реттi анықтауыш деп аталады және былай белгіленеді:

						a11 a12 a1n
		n				a21 a22 a2n		,
						an1 an2 ann
мұндағы aij (i, j		) анықтауыш элементтерi деп аталады.
	1,n
Анықтауыштың aij (i, j						)	элементiнде индекстiң бiрiншi		әрпi i
			1,n
жатық жол ретiн, ал екiншi әрпi				j тiк жол ретiн көрсетедi, яғни aij					элементi

осы жолдардың қиылысында жатыр. Бұл кестенiң кез келген жатық немесе тiк жолы қатар деп аталады.

Анықтауыштың a11,a22,...,ann элементтер жиынтығы бас диагонал деп аталады, ал a1n,a2n 1,a3n 2...,an1 элементтер жиынтығы қосалқы диагонал деп аталады.

n анықтауышынан i-шi жатық жолды және j-шi тiк жолды сызу

арқылы алынатын (n 1)-шi			реттi			n 1 анықтауыш	aij элементiнiң	Mij
миноры деп аталады.
	a11	a12	a13
Мысалы,	a21	a22	a23			үшінші ретті	анықташының	a23
	a31	a32	a33

элементінің минорын табу үшін, берілген анықтауыштан 2-ші жатық жолды

және	3-ші тік жолды		сызып тастау арқылы M23	a11		a12		екінші ретті
				a	31	a
анықтауышын аламыз.						32
						A ( 1)i j M
a	ij	элементiнiң	A алгебралық толықтауышы						ij
			ij				ij

теңдiгiмен анықталады, яғни алгебралық толықтауышта өз кезеңінде минор болады, бірақ берілген элементтің орналасу орнына байланысты таңбасын өзгертіп отырады. Жоғарыда берілген мысалдан a23 элементінің алгебралық толықтауышы мына түрде жазылады

A 1 2 3	a11	a12		a11	a12	.
23	a31	a32		a31	a32

Ал a31 элементінің алгебралық толықтауышы мына түрде жазылады

A 1 3 1	a12	a13		a12	a13	.
31	a22	a23		a22	a23

7

Жалпы кезкелген санды бірінші ретті анықтауыш деп қарастыруға болады. Сондықтан анықтауыштардың есептелуін екінші ретті анықтауыштардан бастап қарастырамыз және ол анықтауыштың мәнi мына ережемен есептеледi

			a11 a12	a a		a a		,
	2		a21 a22	11	22	12	21

яғни бас диагонал элементері көбейтіндісінен қосалқы диагонал элементерінің көбейтіндісін алып тастаймыз.

Үшінші ретті анықтауыштар төмендегі үш әдіспен есептеледі. 1. Үшбұрыштар әдісі төмендегі сұлба түрінде беріледі:

a11	a12	a13
a21	a22	a23		+	+	-
a31	a32	a33

- - - =

=a11a22a33 a21a32a13 a12a23a31 a13a22a31 a23a32a11 a12a21a33.

2. Саррюс әдісі бойынша анықтауыш мына түрде есептелінеді:

+ a11 a12 a13 -

+

a21

a22

a23

- = a a

22

a

33

a

21

a

32

a

a

31

a a

23

a31

a32

a33

11

13

12

+

- a11a22a33 a11a22a33 a11a22a33.

a11

a12

a13

a21

a22

a23

3. Жіктеу әдіс бойынша анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері алынып, әрбір элемент өзінің сәйкес алгебралық толықтауышына көбейтіліп қосылады. Мысалы бірінші жатық жол элементтері арқылы жіктейтін болсақ, онда анықтауыш келесі түрде есептелінеді:

a11 a12 a13

a21

a22 a23

a11A11 a12 A12

a13A13

a31 a32 a33

мұндағы

a22

a23

A

1 1

M

1 1

;

( 1)

11

( 1)

11

a32

a33

A

1 2

M

( 1)

1 2

a21

a23

;

( 1)

12

12

a31

a33

8

A13 ( 1)1 3M13 ( 1)1 3 a21 a22 .

a31 a32

A11,A12,A13		шамалары	алгебралық	толықтауыштар,	ал
M11,M12,M13	3	анықтауышындағы a11,a12,a13		элементтерiнiң	сәйкес

минорлары. Бұл минорлар 3 анықтауышынан сәйкес жатық жолдармен тiк жолдарды сызғаннан алынған екiншi реттi анықтауыштар болады.

Төртінші және одан жоғары ретті анықтауыштар жіктеу әдісімен есептелінеді. Сондықтан кезкелген n-ші ретті анықтауыш үшін

n

n a1k A1k , k 1

мұндағы A1k ( 1)1 k M1k , ал M1k минорлары n анықтауышынан бiрiншi жатық жолмен k -шi тiк жолды сызғаннан шығатын (n 1)-шi реттi анықтауыштар.

Анықтауыштарды жіктеп есептеу кезінде көбінесе элементтері арасында 0 (нөлі) және 1 (бірі) көп болатын қатарлар алынады. Себебі алгебралық толықтауышты 0-ге көбейтсек 0, ал 1-ге көбейтсек алгебралық толықтауыштың өзі шығады.

Анықтауыштың негiзгi қасиеттерi:

1.Жатық жолдарды сәйкес тiк жолдармен ауыстырғаннан анықтауыштың мәнi өзгермейдi;

2.Егер параллель екi қатар жолдың орындарын ауыстырсақ, онда анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға ауысады;

3.Егер анықтауыштың параллель екi қатар жолдарының элементтерi тең болса, онда анықтауыш нөлге тең;

4.Егер анықтауыштың қандайда бiр қатар жол элементтерi нөлге тең болса, онда анықтауыш нөлге тең;

5.Егер анықтауыштың қандайда бiр қатар жол элементтерiнiң ортақ көбейткiшi болса, онда оны анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады; Бұдан анықтауыштың қандайда бiр қатар жолын санына көбейтсек, анықтауыш сол санға көбейтiледi;

6.Егер анықтауыштың екi қатар жол элементтерi сәйкес пропорциональ болса, онда анықтауыш нөлге тең болады;

7.Егер анықтауыштың қандайда бiр қатар жол элементтерi екi элементтiң қосындысынан тұрса, онда анықтауышты екi анықтауыштың қосындысы түрiнде жазуға болады, бiрiншi анықтауышта қатардың бiрiншi қосылғышы, ал екiншi анықтауышта екiншi қосылғышы жазылады;

8.Анықтауыштың қандайда бiр қатар жол элементтерiн, параллель қатардың сәйкес элементтерiнiң алгебралық толықтауышына көбейтiндiлерiнiң қосындысы нөлге тең.

Анықтауыштарды есептеуге мысалдар қарастырамыз:

	1)	4	1	8 3 5,	2)	2	3	10 3 13,	3)	3	5	3 10 7,
		3	2			1	5			2	1

9

	4)		1	3		1	5 3	5	3	5	6		1	0,5
		2
						2		2		2			2
		1		5

5) x 2 0 x2 16 0 x2 16 x1 4, x2 4,

8x

6)sin x cosx sin2 x cos2 x 1,

cosx

sin x

3x

7)2 6 x 2 x 4,

12

8)ln x 5 1 2ln x 5 1 2 ln x 6 ln x 3 x e3. 1 2

Төменде берілген үшінші ретті анықтауышты жоғарыда көрсетілген үш әдіс бойынша есептеп көрсетеміз.

2 1 3

1)	0			1	4 2 1 6 0 5 3 1 4 2 3 1 2 5 4 2 0 1 6
	2			5	6
12 0 8 6 40 0 14,
	+		2		1	3		-
2)	+		0	1		4		- = 2 1 6 0 5 3 2 1 4
	+		2		5	6		- 3 1 2 4 5 2 6 1 0	14.
		2			1	3
		0			1	4

3) Берілген анықтауышты жіктеп есептеу үшін екінші жатық жол элементтерін аламыз:

2	1			3							1	3						2	3				2	1
0	1		4												1
					0																4
									5 6									2	6				2	5
2	5			6
0			2		3		4				2	1					18 4 8 14.
		2			6						2		5

Енді бізге төртінші ретті анықтауыш берілсін.

	5	1	2	3
	2	3	0	1	, бұл анықтауышты жіктеп есептеу үшін төртінші тік жолды
	4	2	0	3
	1	0	1	4

аламыз, сонда

10

	5	1	2	3		2	3	1		5	1	3
	2	3	0	1
					2	4	2	3		2	3	1
	4	2	0	3
						1	0	4		4	2	3
	1	0	1	4

2 16 0 9 2 0 48 45 12 4 36 10 6 207 болады.

Бұл анықтауышты басқаша мына әдіспенде есептеуге болады:

5	1	2	3	бірінші жатық жолды -3 -кекөбейтіп,екінші жатық
2	3	0	1
4	2	0	3
				жолға және2-гекөбейтіп, үшіншіжатық жолға қосамыз
1	0	1	4
	5	1	2	3			13	6	10
	13	0	6	10
							14	4	3
	14	0	4	3
							1	1	4
	1	0	1	4

208 140 18 40 39 336 207.

1.2Матрицалар және оларға қолданатын амалдар

2-анықтама. Қандай да бiр жиын элементтерi aij -ден (i 1,m, j 1,n) құрастырылған m n өлшемдi тiк бұрышты кесте матрица деп аталады және былай жазылады:

	a		a	...a
		11	12	1n
A	a21		a22 ...a2n
					.
		.........................
			am2 ...amn
	am1

Матрицаның элементтерi aij - түрiнде екi индекспен берiледi; бiрiншi i

жаттық жол ретiн, ал j тiк жол ретiн бiлдiредi, яғни aij - элементi осы екi жолдың қиылысында жатады. Матрицаны латын әліппесінің бас әрiптерiмен, ал элементтерiн сәйкес кiшi әрiптерiмен белгiлеймiз. Егер A және B матрицасының сәйкес элементтерi aij және bij тең болса, яғни aij bij

теңдігі орындалса, онда олар тең деп аталады.

Егер берілген A матрицасында i 1 болса, онда жатық жолдық матрица, егер j 1 болса, онда тiк жолдық матрица аламыз, яғни

					a
						11
A a	a	a	және	A	a21			болады.
11	12	1n
					am1

11

3-анықтама. Жатық жол саны мен тiк жол саны тең, яғни m n матрицалар шаршы (квадраттық) матрицалар деп аталады және былай жазылады:

	a	a	...a
	11	12	1n
A	a21	a22 ...a2n
				.
	.....................
	an1	an2 ...ann

Шаршы матрицалардың сәйкес анықтауыштары былай белгiленедi:

a11	a12 a1n
a21	a22 a2n	.
det(A) n

an1 an2 ann

4-анықтама. Барлық элементтерi нөлге тең матрица нөлдiк матрица деп аталады.

5-анықтама. Бас диоганал элементтерi 1-ге, ал қалған элементтерi 0-ге тең шаршы матрица бiрлiк матрица деп аталады.

Үшiншi реттi бiрлiк матрица былай жазылады:

1		0	0
		1	0
E 0				.
	0	0
			1

6-анықтама. Егер шаршы матрицаның диогоналдарының бiр жағындағы элементтерi нөлге тең болатын болса, онда матрица үшбұрышты матрица деп аталады.

Үшiншi реттi үшбұрышты матрица былай жазылады:

a		a	a
	11	12	13
A 0		a22	a23	.
	0	0	a
			33

Матрицаларға қолданылатын негiзгi амалдар.

1. Өлшемдерi бiрдей матрицаларды қосуға және алуға болады. A және B

матрицаларының қосындысы (айырмасы) деп,	A B (A B), болып
белгiленетiн, элементтерi cij aij bij болатын	C матрицасы аталады.

Сонымен матрицаларды қосқанда (алғанда), сәйкес элементтерi қосылады (алынады). Үшiншi реттi матрицаларды қосу (алу) мына түрде көрсетiледi:

a		a		a			b	b	b
11		12		13			11	12	13
A a21		a22		a23		және	B b21	b22	b23	болса, онда
a	31	a	32	a	33		b	b	b
							31	32	33

12