Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3lk_0

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
21.02.2016
Размер:
1.38 Mб
Скачать

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение в ы с ш е г о профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.А. Трясучёв

ЛЕКЦИИ ПО ОСНОВАМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ

Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета

Издательство Томского политехнического университета

2010

УДК 530.145

ББК В318

С32

Трясучёв В.А.

К58 Лекции по основам квантовой механики для студентов технических вузов: учебное пособие / В.А. Трясучѐв, Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета,

2010 – 116 с.

Пособие знакомит с механикой микрочастиц, начиная с осмысления необходимости квантовой механики для описания всех явлений природы и заканчивая наиболее используемым методом расчѐта квантовой механики – теорией возмущений. Последовательно изложены главы описания математического аппарата квантовой механики, статистического смысла законов микромира, основных постулатов и вытекающих из них законов квантовой теории. Решения идеальных задач применяются к описанию сложных квантовых явлений природы: альфа-распад ядер, электронный газ в металле, водородоподобные атомы, мю-катализ термоядерных реакций, двух атомные молекулы, излучение космического водорода, принцип работы лазеров.

При изучении квантовой механике по рецензируемому пособию у студентов нет необходимости использовать многочисленные учебники по квантовой механике и специальным главам математики, поскольку весь необходимый материал изложен в пособии с необходимой полнотой. Считаю, что данное учебное пособие будет полезным для студентов ФТФ, ХТФ, ЭлТИ ТПУ. Кроме того, данное пособие может быть использовано при подготовке бакалавров по направлению 140800 «Ядерная физика и технологии».

УДК 530.145

ББК В318

Рецензенты

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей и экспериментальной физики

Томского государственного университета

А.М. Толстик

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной физики

НИ ТПУ

А.П.Потылицын

Доктор физико-математических наук, профессор ТГПУ

Ю.П.Кунашенко

©ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2010

©Трясучѐв В.А., 2010

©Обложка. Издательство Томского политехнического университета, 2010

Содержание

Необходимость новой теории ………………………………………………..5

Постоянная Планка Фотоэффект Комптоновское рассеяние

Гипотеза де Бройля и еѐ опытное подтверждение

Математический аппарат квантовой механики……………………..……12

Понятие оператора. Свойства операторов Операторы “набла” и дельта Свойства квантовомеханических операторов

Собственные функции и собственные значения операторов и их свойства. Вырожденные функции.

Полнота системы собственных функций оператора Матричное представление операторов

Операторы квантовой механики………………………………………….…25

Оператор квадрата момента импульса Оператор Гамильтона (гамильтониан)

Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле

Собственные функции основных операторов квантовой механики….…30

Собственные функции операторов импульса и кинетической энергии Собственные функции оператора момента импульса

Статистические закономерности поведения микрочастиц………………35

Опыт Джермера и Девиссона Опыт Бибермана, Сушкина, Фабриканта по дифракции электронов

Описание состояний микрочастиц в квантовой механике

Некоторые сведения из теории вероятностей и статистики……………...38

Дискретные случайные величины Среднее значение случайной величины и его связь с математическим ожиданием Непрерывные случайные величины

Основные положения квантовой механики (постулаты и законы)……….42

Статистический смысл волновой функции Измеряемые величины в квантовой механике Условие точного измерения физических величин Вычисление вероятностей результатов измерения

Условие одновременной измеримости нескольких физических величин

Спин……………………………………………………..………………….........51

Спин и системы тождественных частиц Спиновые операторы частиц со спином 1/2ћ

Собственные функции оператора проекции спина частиц со спином 1/2ћ Сложения угловых моментов в квантовой механике Собственные функции оператора полного момента для частицы со спином

Зависимость волновой функции от времени………………………..……...57

Уравнение Шрѐдингера

Вектор тока вероятностей для частиц Уравнение Шрѐдингера для стационарных состояний Матричная форма уравнения Шрѐдингера Гейзенберговское представление

Полный набор физических величин квантовой системы

Движение частиц в поле сил, не зависящих от времени…………….........64

Движение свободной бесспиновой частицы Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками Туннельный эффект для микрочастиц Теория -распада ядер и термоядерный синтез

Частица в потенциальной яме. Связанные состояния Симметрии уравнений Шредингера Электронный газ в металле Гармонический осциллятор

Уравнение Шредингера для частицы в центральном поле………………88

Атом водорода Местонахождение электрона в атоме водорода Водородоподобные атомы μ-катализ ядерного синтеза Теорема о вириале Молекула водорода

Теория возмущений………………………………………..………..……......102

Стационарная теория возмущений. Невозмущѐнные состояния не вырождены.

Стационарная теория возмущений. Невозмущѐнные состояния вырождены Эффект Штарка. Расчѐт эффекта Штарка по теории возмущений Эффект Зеемана

Сверхтонкое расщепление спектральных линий водородоподобных атомов и излучение космического водорода Нестационарная теория возмущений Понятие квантового перехода Периодическое возмущение и лазеры

Дополнительная литература………………………………………………...116

Необходимость новой теории

В конце XIX в. все известные явления природы укладывались в созданные для их объяснения теории. Механика подчинялась законам Ньютона, волновые движения – законам Гюйгенса, Френеля и т.д., электромагнитные процессы описывались уравнениями Максвелла, тепловое движение подчинялось законам термодинамики. Правда, было несколько тучек на ясном небе физики того времени. Одна из них известна как “ультрафиолетовая катастрофа”. Катастрофа заключалась в том, что распределение по частотам интенсивности ультрафиолетового излучения от нагретого тела dI / d , наблюдаемое на опыте, имело противоположную зависимость, чем это следовало из проверенного закона Рэлея-Джинса для видимого света:

dI

aω2 ,

(1)

dω

 

 

где ω – циклическая частота излучаемого света, a – константа при фиксированной температуре.

Постоянная Планка

В 1900 г. М. Планк предложил для частотной плотности излучения формулу:

dI

aω2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dω

exp(

 

) - 1

,

(2)

 

 

kT

 

 

 

 

 

 

 

которая приводила к хорошему согласию с экспериментом. Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура, градус Кельвина, ћ – константа,

Рис.1. Штриховая кривая – закон Рэлея-Джинса

введѐнная Планком. Еѐ размерность, как следует из выражения (2), должна

быть

[энергиясек].

(3)

Величину константы ћ Планк выбрал такой, чтобы формула (2) описывала экспериментальную зависимость (рис.1).

При этом величина ћ оказалась очень маленькой, равной

 

h

; h = 6,6261·10-34 Дж·c = 4,1356·10-15 эВ·c

(4)

c учѐтом уточнения на сей день. Из гипотезы Планка следовало простое выражение для энергии электромагнитной волны, а именно:

ω hν E ,

(5)

в то время как в классической физике энергия электромагнитной волны определялась через квадраты напряженностей еѐ электрической и магнитной составляющих. Кроме того, при интерпретации формулы (2) нужно было предположить, что излучаться и поглощаться свет должен порциями – квантами (5). Альберт Эйнштейн пошѐл дальше революционных представлений Планка. Для объяснения законов фотоэффекта он предположил, что излучение должно распространяться порциями, как частицы.

Фотоэффект

Явление образования электронов на поверхности металла, облучаемого светом, получило название фотоэффекта. Оно было открыто Г. Герцем в 1887 г.

С точки зрения классической физики на электрон, слабо связанный в

металле, действует сила:

F eε t ,

где ε – напряжѐнность электрического поля электромагнитной волны, меняющаяся по гармоническому закону:

ε ε0 cos ω t .

Уравнение Ньютона для электрона, на который действует излучение, будет

иметь вид:

eε0

cos ω t .

(6)

mυ t

 

 

 

 

Проинтегрируем его, взяв простейшее начальное условие υ 0 0

 

t

 

t

 

mυ t dt eε0 cos ω t dt ,

 

 

 

 

 

0

 

0

 

mυ t eωε0 sin ω t ,

 

υ t

eε0

sin ω t ,

 

ω m

 

 

 

 

 

 

 

 

υmax

eε0

,

 

T max

e2ε02

.

(7)

 

 

 

 

mω

 

e

2mω2

 

 

 

 

 

Итак, расчѐты приводили к тому, что максимальная кинетическая энергия вылетевших электронов должна быть обратно пропорциональна частоте электромагнитного излучения ω и пропорциональна интенсивности света ε02 .

Экспериментальное изучение фотоэффекта, начатое А. Г. Столетовым в 1888 году показало, что максимальная энергия выбиваемых из металлов электронов прямо пропорциональна частоте падающего света ω и не

зависит от ε02 . При уменьшении частоты падающего света ниже

определѐнного значения ωk, электроны вообще перестают вылетать из металлов (красная граница фотоэффекта). У каждого металла, ωk было своим.

Возникшее противоречие между теорией и экспериментом разрешил А. Эйнштейн в 1905 году благодаря полному отказу от волновой теории света в этом явлении, предположив, что свет не только излучается и поглощается порциями, но и распространяется как частица, получившая название фотона. Тем самым подтвердилась гипотеза И. Ньютона XVII века о корпускулярной природе света!

Фотон γ взаимодействует с атомом A вещества таким образом, что сам он поглощается, а один из электронов вылетает из атома, который становится

ионом A+:

 

 

 

 

 

 

γ A e A .

(8)

Законы сохранения импульса и энергии для такого процесса имеют

вид:

 

 

 

 

 

 

P P

 

P P ,

 

γ

A

e

A

 

E

γ

E

A

E

E

 

 

 

e

A .

 

Поскольку происходит превращение энергии в вещество, постольку в законе сохранения надо учитывать полные энергии частиц. В системе отсчѐта, где атом покоится:

E m c2

m c2

T m c2

T

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

A

 

 

e

e

 

A

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(P )

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E T (m m

m

) c2

 

A

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

e

A

A

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценим величину T

. Из закона сохранения импульса имеем

 

P

 

 

 

P

 

, и:

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

A

 

 

 

T

P 2

 

 

Pγ2

 

E 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2m

 

2m

 

2m c 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

A

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как Pγ = Eγ/c. Очевидно, что последняя величина мала по сравнению с энергией покоя атома. Пренебрегая TA , получим:

 

 

 

 

 

 

 

Eγ Te UI ,

(10)

где U

I

(m m

m

A

) c2

0 − потенциал ионизации атома вещества. При

 

e

A

 

 

 

 

некоторых ν,

как следует из приближѐнного равенства

hν Te UI , Te = 0

и электроны перестают вылетать из металлов. Интенсивность света (количество фотонов) никак не влияет на величину кинетической энергии электронов, что и было отмечено в эксперименте.

Чтобы понять революционность идеи Эйнштейна в решении проблемы, напомним неприложные положения классической физики о частицах и волнах, которые он нарушил.

В природе существуют два вида движения – это движение частиц и волн и эти движения не переходят друг в друга.

Частица – локализована, волна – протяжѐнная, нелокализована.

Движение частиц связанно с переносом вещества и/или электрического заряда; движение волны не связанно с переносом вещества или электрического заряда.

Свободные частицы движутся прямолинейно, а количества движения

нескольких частиц складываются по правилу сложения векторов:

Pn . Волна распространяется не прямолинейно, огибая препятствия

n

(дифракция), а сложение нескольких волн приводит к сложному явлению интерференции, когда колебания складываются по закону

An ωn 2 A2 .

n

Комптоновское рассеяние

Комптоновское рассеяние – это явление упругого рассеяния электромагнитной волны рентгеновского диапазона на свободных или слабо связанных электронах. Впервые его обнаружил американский физик Артур Комптон в 1922 году.

По классической теории (пудинговая модель атома Дж. Томсона, 1897г.) электрон, под действием переменной силы, обусловленной электрической составляющей электромагнитной волны:

F eε0 cos ωt ,

совершает вынужденные колебания с той же частотой ω, что и вынуждающая сила. В результате таких колебаний, сам электрон излучает электромагнитную волну той же самой частоты. Иначе, частота падающего света ωi должна была бы быть равной частоте рассеянного света ωf и не зависеть от угла рассеяния θ.

Комптон в проведѐнном им эксперименте (1923г.) получил результат, изображѐнный на рисунке 2. Объяснение своим результатам он дал сам, используя представление Эйнштейна о распространении света в виде

квантов. Электромагнитное излучение ренгеновского диапозона он рассматривал как частицу фотон большой энергии. Тогда процесс комптоновского рассеяния может быть записан как столкновение двух частиц:

Рис.2.Зависимость частоты рассеянного света от угла рассеяния в опыте Комптона

γ e γ e .

(11)

Закон сохранения энергии для этого процесса имеет вид:

 

E T E T

 

 

γ

e

γ e

,

 

из которого следует:

 

 

 

Te ,

 

 

ω f

ωi

 

(12)

Eγ

Te

 

Te Te 0,

ω f ωi .

 

Чем больше угол рассеяния фотона, тем интенсивнее он взаимодействует с электроном и тем больше передача энергии конечному электрону, а значит

меньше Eγ и, соответственно, ω f < ωi , как это показал эксперимент.

В этих двух рассмотренных явлениях электромагнитное излучение проявило себя чисто в виде квантов – частиц. Однако во всех других случаях

– это волна (Гюйгенс, Френель, Фарадей, Максвелл). Заметим, что в одном и том же явлении свет не проявляет себя одновременно и как частица, и как волна. Свойство света проявлять себя в одном случае (явлении) как волна, а в другом − как частица, было названо дуальностью света.

Гипотеза де Бройля и её опытное подтверждение

В 1924г. французский князь Луи де Бройль, находясь под впечатлением обнаруженной дуальности света, высказал “дилетантское” утверждение, что и с массивным движущимся телом можно связать волновое движение, длину волны которого определил выражением:

λ

h

,

(13)

P

где P – импульс тела. Возможно, он размышлял следующим образом. Для фотона такое соотношение имеет место:

Eγ hν mγ2c4 Pγ2c2 cPγ ,

тогда:

λ

c

 

ch

 

ch

 

h

 

 

 

 

 

ν

 

νh

 

Eγ

Pγ

и, возможно, оно справедливо для движущихся массивных частиц.

Главное в гипотезе де Бройля то, что движущиеся частицы могут проявлять волновые свойства с длиной волны де Бройля (13). То есть, движущаяся частица может проявлять себя в некоторых случаях (ситуациях) как волна. Оставался вопрос − в каких? Ответа на этот вопрос долго ждать не пришлось.

В 1925г. в опытах американских экспериментаторов К. Девиссона и Л. Джермера пучком электронов с энергией до 100 эВ облучали разные вещества - мишени. Регистрировалась интенсивность рассеянных электронов в зависимости от угла рассеяния θ. Типичная картина зависимости интенсивности рассеянных электронов от угла рассеяния показана на рисунке 3.

dI

d

0

θ

Рис.3. Зависимость интенсивности рассеянных электронов от угла рассеяния от аморфных мишеней

Когда же в качестве мишени им случайно попался монокристалл никеля, они, вдруг, обнаружили не монотонное уменьшение, а чередования уменьшений с увеличением интенсивности рассеяных электронов с ростом θ. Разумное объяснение этим пикам (см. рис.4) можно было дать только с точки зрения волновой теории. Сначала “волна движущихся электронов” дифрагировала на центрах кристаллической решѐтки − ионах никеля (пространственная дифракционная решетка), а затем, отражаясь, приходила к наблюдателю от разных центров рассеяния и, интерферируя, давала

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]