Конспект_МЖиГ(1-5лекция) / Лекция_№2_МЖГ

12

Ауырлық күші өрісіндегі сығылмайтын сұйық тепе теңдігі. Стр-39 Швыд

Көп жағдайда сұйықтар мен газдар ауырлық күші әсерінен тепе – теңдікте болады. Осы күйді талдау үшін екі белгісіз функциялы (2.6)-гидростатиканың негізгі дифференциалдық теңдеуін интегралдаймыз. Осы операцияны жүзеге асыру үшін тағы бір теңдеу керек. Ол біртекті сығылмайтын сұйықтар үшін орынды, немесе газ үшін күй теңдеуі болуы мүмкін. Сұйықтың қозғалмайтын массасының тепе-теңдік теңдеуін, берілген жағдай үшін көлемдік күш ретінде ауырлық күшін, осы күштің үдеуі ретінде еркін түсу үдеуін алып табуға болады. осі вертикаль жоғары бағытталған. Ауырлық күші үдеуі проекциясы мынаған тең (2.6) теңдеу мына түрге ие

(2.7a)

(2.7a) теңдеуін аралығында, шартында интегралдап, аламыз

(2.8)

(2.8) теңдеу ауырлық күші өрісіндегі сығылмайтын сұйықтың тепе-теңдік негізгі теңдеуі. (2.8) теңдеуі ұзындық бірлігінде жазылуы мүмкін:

(2.9)

және нүктелердің орналасу биіктігі, ал гидростатикалық биіктік, биіктік өлшеміне ие. Менделеев-Клапейрон теңдеуін (2.7a) теңдеуімен бірге қолданып, аламыз

Интегралдаған соң, ескеріп,

(2.10)

Бұл формула барометрлік деп аталады. Температураның биіктіктен тәуелділігін біле отырып, (2.10) теңдеуі көмегімен қысымның биіктік бойынша өзгерісін табуға болады. Егер атмосфера изотермиялық тепе теңдікте орналасқан десек, онда (2.10) барометрлік формуладан қысымның биіктік бойынша экспоненционалды кему заңы шығады

(2.11)

Көп жағдайда шектелген биіктік диапазонында 11 км дейін, температура биіктікпен атмосферада сызықтық заң бойынша кемиді (2.11) теңдеуден

(2.12)

Металлургиялық пештер мен жылу техникалық агрегаттардың жылулық жұмыстарын талдауда үлкен атмосфералық биіктікпен және газ қабаты қолданылмайды. Қазыргі кезде жылуқондырғылары түтін құбырының максимал биіктігі 400-500 м аспайды. Сондықтан (2.12)-теңдеудің орнына атмосфера биіктігі бойынша қысым мәнін анықтау үшін (2.8) қарапайым теңдеуі қолданылады.

Инженерлік практикада газдың абсолюттік қысымы емес салыстырмалы қысымы, яғни газдың абсолюттік қысымы мен атмосфералық қысымы айырымы қолданылады. (2.8) теңдеуді газ және атмосфералық ауа үшін жазамыз:

(2.13)

(2.14)

Салыстырмалы қысымды алу үшін, (2.13) теңдеуден (2.14) теңдеуді аламыз:

немесе

(2.15)

салыстырмалы қысымның абсолюттік шамасы. Ол айтарлықтай дәрежеде газ және атмосфералық ауа тығыздығы айырымдарымен анықталады. Қалыпты жағдайда , ал газ құрамымен анықталады. Температураның тығыздыққа әсерін ескеру Гей-Люссак теңдеуімен сәйкес жүргізіледі:

(2.16)

ға сәйкес жазықтық нейтральный деп аталады. болғанда асқын қысым әсерінен пештен ыстық газдың шығуы жүреді. Бұл жылудың шығынына әкеледі. суық атмосфералық ауа пешке түсіп, суытуы мүмкін. Металлургиялық пештердің жылу жұмыстарын екі процессте де минимумға әкелетіндей жасалуы керек: шығару және суық ауаны сору. Пештің дұрыс жұмыс істеуін қамтамасыз ету үшін, салыстырмалы қысымның нейтрал жазығы жұмыс терезесі деңгейінде болу керек. Осы деңгейде қысым 0-ге тең емес, әсіресе 20-50 Па үлкен бола алмайды, өйткені жанармай шығынын арттырады.

Қатты бетке түсіретін сұйықтың қысым күші.

Бет бойынша таралған гидростатикалық қысым күшінің әсері – қысым центрі деп аталатын нүктеге түсіріледі. Мысалы, элементар беттегі нормаль вектор, ал осы беттің қысымы. Олай болса, элементар күш

(2.17)

барлық бетке түсірілетін қысымның толық күші

немесе (2.5) қатынасы көмегімен

(2.17a)

Түбінің ауданы болатын ыдыстағы сұйық қысымын қарастырайық. Егер сұйық бағаны биіктігін , (2.17a) өрнегінен аламыз

2.5-сурет

және шамалары тұрақтылар. Сұйықпен толтырылған ыдыс формасына және оның түбінің формасына байланыссыз гидростатикалық қысым мынадай жағдайларда бірдей болады:

және

Осы жағдайда бірдей әсер ететін қысым күшінің нүктесі ауданы ыдыс түбіндегі ауырлық центрімен сәйкес келеді.

2.6-суреттегідей жазық бет горизонтқа бұрышпен қисайса, беттің әрбір нүктесінде нормаль бағыты өзгеріссіз қалады, бірақ болғандықтан локальды қысым бату тереңдігінің функциясы болып саналады.

2.6-сурет

Олай болса (2.18)

күшінің абсолюттік шамасы екі құраушыдан тұрады:

және

беті бойынша біртекті таралған сыртқы қысым күшінің сызығы осы ауданның массалар центрі арқылы өтеді.біртексіз таралған салмақтың қысым күшін былай жазуға болады

мұндағы осіне қатысты бетінің статистикалық моменті. болғандықтан, бетіндегі масса центрі координатасы, онда аламыз

(2.19)

Осылайша,

(2.19a)

яғни жазық қабырғаға түсіретін сұйықтың толық қысым күшін қысым күшінің салмақпен қосындысы ретінде аламыз.

әсер сызығы қысым орталығы арқылы өтеді. Оның координатасын анықтау үшін бірдей әсер ететін моменттер теңдігін және құраушы моменттер қосындысы теоремасын қолданамыз:

(2.20)

мұндағы және нүктесіне сай радиус және бет нүктесінің векторлары; берілген нүктедегі сұйық салмағы қысымы. (2.20) теңдеуін жазықтықтың координаталары осінде, аламыз

осыдан (2.19) ескере отырып, және , табамыз

. (2.21)

ескеріп және бетінің геометриялық параметрлерін біле отырып (2.19) бойынша қысым центрінің координаталарын білуге болады. Жалпы жағдайда (2.19) қисық сызықты бет үшін Архимед заңының математикалық формулировакасы болады.

СҰЙЫҚТАР МЕН ГАЗДАР КИНЕМАТИКАСЫ

Сығылмайтын сұйықтың екі өлшемді ағыны үшін ток функциясы. Құйынды және құйынды емес қозғалыстар. Жылдамдық потенциалы және оның ток функциясымен байланысы. Кинематиканың негізгі теоремасы.

Дене қозғалысының жалпы қасиеттерін, оның пайда болу себебін ескермей қарастыратын механика бөлімі – кинематика деп аталады. Сұйықтар мен газдар кинематикасында сұйық немесе газ бөлшектерінің кеңістіктегі күйі уақытқа байланысты қарастырады.

§3.1. Тұтас орта қозғалысын сипаттаудың екі формасы. Жалпы жағдайда дене қозғалысын 4 – әдіспен сипаттауға болады. Сұйықтар мен газдар механикасында солардың екеуі қолд: санақ және кеңістіктік. XVIII-ғасырдың ортасында Л. Эйлер гидродинамикаға Лагранж сипаттауын енгізді. Бұл көп бөлшектер жиынтығы түрінде қозғалыстағы сұйықтың санақтық сипаттаудың дербес түрі. Әрбір бөлшектің координаталары болады. Кез келген уақыт моментінде бөлшектің қозғалысы төмендегі теңдеулер жүйесімен анықталады

(3.1)

Сәйкес жылдамдықтар мен удеулер:

(3.2)

(3.3)

Лагранждық сипаттау теориялық зерттеулерде өте ыңғайлы. Сұйықтар мен газдар механикасы есептерін талдаудың сандық схемаларында Лагранждық әдіс жиі қолданылады. Инженерлік практикада қолданылмайды.

Кеңістіктік сипаттау - берілген моментте сұйық ағыны алып тұрған кеңістік аймағы. Бұл сипаттауды гидродинамикаға Д’Аламбер енгізген, оны Эйлер әдісі деп атаймыз.

Эйлер әдісінде тәуелсіз айнымалылар ретінде координата нүктелері және жатады. Лагранж және Эйлер әдістерінің айырмашылығы: Лагранж әдісінде бөлшектер координатасы функциясы ретінде, ал Эйлерде координаталары тәуелсіз айнымалылар, бірақ олар өзара байланысты.

Эйлерлік жылдамдық өрісі өрнектеледі

(3.4)

мұндағы осьтері бойымен бағытталған бірлік векторлар. Қандай да бір нүкте қиылысында жылдамдық компонентінің өзгерісі барлық осы аргументтерімен анықталады. Мысалы, жылдамдықтың компонентасының өзгерісі көп аргументті функцияны дифференциалдау ережесеі бойынша болады:

Көрсетілген нүкте қиылысында ішінде берілген бөлшек кішкентай арақашықтыққа жылжиды. Жылжу компонентасы тәуелсіз болмайды, ол мынаған тең:

Осы шамаларды жоғарыдағы өрнекке қойып, аламыз

(3.5)

Жылдамдықтың локалды өзгерісін уақыт функциясы ретінде және оның кеңістігінде бөлшек қозғалысымен байланысты конвективті өзгерісін айтуға болады.

Сұйықтың қасиетін немесе оның қозғалысын осылай қарастыруға болады. Сығылатын сұйық бөлшегі тығыздығының өзгеру лездігі

Осындай қатынастар сәкес координаталық осьтерде үдеу компоненттерін анықтайды:

(3.6)

Векторлық формада

немесе (3.7)

мұндағы декарттық координатағы векторлық дифференциалдық оператор

Егер локалдық үдеу нольге тең болса, қозғалыс стационарлы. Жылдамдық кеңістіктің бір нүктесінен екіншісіне өзгеруі мүмкін, бірақ фиксированной нүктеде жылдамдық уақыт ішінде тұрақты.

Егер барлық конвективті үдеу нольге тең болса, қозғалыс бірқалыпты.

§3.2. Ток сызығы және траектория.

Сұйықтың барлық ағыны екі түрге бөлінеді: 1) напорные – еркін беті жоқ, 2) напорсыз – еркін беті бар. Барлық ағын бірдей гидравликалық элементтерге ие: ток сызығы, живое қима, шығын, жылдамдық.

Еркін бет – қысым атмосфералық қысымға тең болатын сұйық пен газ бөлімі шекарасы (сур – 1.a)

Сурет – 1 Сұйық ағынының гидравликалық элементтері:

а) – еркін бет; б) – напорлы ағын; в) – напорсыз ағын; г) – 1) ток сызығы, 2) живое сечение.

Еркін беттің болуы немесе болмауы ағын типін анықтайды: напорлы н/е напорсыз. Напорлы ағындар су жүретін құбырларда байқалады (сур-1.б) – қимасы сумен толық. Напорсыз – канализацияларда (сур-1.в), құбыр сумен толтырылмаған, ағын еркін бетке ие және ол құбырдың иілуі есебінен өздігінен ағады.

Ток сызығы – көлденең қимасының ауданы шексіз аз ағынның элементар ағыншасы (струйка). Ағын ағыншалар шоғырынан тұрады (сурет – 1).

Кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орны сияқты сызық. Берілген моментте нүктелердің геометриялық орнындағы жылдамдық векторы осы сызыққа жанама бағытталған. Сондықтан ток сызығы осы сызық бойымен әрбір нүктеде қозғалыс бағытын анықтайды 3.1-сурет

3.1-сурет

Ток трубасы – ток сызықтарымен шектелген кішкентай құбыр сияқты елес. Стационарлық қозғалыста ток сызығы санақ жүйесімен салыстырғанда қозғалыссыз. Стационар емес қозғалыста сұйық бөлшектері сол бір ток сызығында қалмайды, сондықтан ток сызығы мен траектория сәйкес келмейді. 3.1, б – суретте стационар емес ағыс үшін ток сызығы мен траектория көрсетілген. Схемада уақыт моментінде ток сызығында жататын бөлшектері үшін жылдамдық векторы, және уақыт моменттерінде ток сызығы траекториясында бөлшегінің тізбекті күйі келтірілген.

Жылдамдықтың таралуы бойынша траекторияны анықтау ыңғайлы, өйткені жылдамдық – уақыт бойынша координатадан туынды. Бөлшектер траекториясының параметрлік теңдеулері дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімі болады

немесе мұндағы траекториядағы нүктенің радиус-векторы.

Жазық екі өлшемді ағыс үшін ток сызығының дифференциалдық теңдеуін алуға болады

жазықтығындағы осыдан .

Декарттық координатада үш өлшемді ағыс үшін ток сызығының теңдеулер жүйесі төмендегідей

немесе

(3.8)

Сұйықтар мен газдар механикасында «жылдамдық векторы ағыны» негізгі роль атқарады

.

Жылдамдық векторы ағыны сұйықтың (газ) беті арқылы көлемдік секундтық шығынын береді. Оның өлшем бірлігі

§3.3. Үзіліссіздік теңдеуі.

Кез келген жүйе үшін сұйық массасының сақталу принципі :

Ағынның үзіліссіздік теңдеуі массаның сақталу заңын отражает: Енетін сұйық мөлшері шығатын сұйық мөлшеріне тең. Параллелепипед формалы ішінде элементар көлемді қарастырамыз. Элементар көлемде масса көзі жоқ, ал тығыздық пен жылдамдық кеңістік координатасы және уақыттың функциясы (сур. -3.2). Осы көлемге массаның келуін есептейміз.

3.2-сурет

Масса ағыны массалық жылдамдықтың аудан қимасына көбейтіндісіне тең. Олай болса, осы көлемге мынадай мөлшерде сұйық енеді:

ал шығады

Параллелепипед көлемінде сұйық массасының өзгерісі құрайды:

(3.9)

Шығатын масса ағынын Тейлор қатарына жіктеу қолданылған

Алынған көлемдегі сұйық массасының өзгерісі

(3.10)

Мұндағы уақыттан тәуелсіз, элементар көлем қозғалмайтын болғандықтан. (3.9) және (3.10) теңдеулерін теңестіріп, -ке қысқартып аламыз

(3.11)

немесе

массалық жылдамдық векторы.

Көбейтіндіні дифференциалдау ережесін қолдана отырып және ескеріп

(3.11) теңдеуін мына түрде жазуға болады

(3.12)

Егер уақыттан тәуелсіз болса, онда (3.11) теңдеуінің орнына аламыз

(3.13)

Осындай қозғалыс изохоралық деп аталады. Егер координатадан да тәуелсіз болса, онда

(3.14)

(3.14) теңдеу сығылмайтын сұйықтың орныққан және орнықпаған ағысы үшін үзіліссіздік теңдеуінің қарапайым формасы. Үзіліссіздік теңдеу қарапайым физикалық мағынаға ие – белгілі көлем арқылы сығылмайтын сұйық ағыны тұрақты шама немесе белгілі көлемде үш координаталық бағыт бойынша сұйық шығынының суммалық өзгерісі нольге тең. Бұл заң ағын тұтастығы бұзылмаған жағдайда әрқашан орындалады.

(3.14) теңдеуді (3.12) теңдеуіне қойып, сығылмайтын сұйық үшін басқа шарт алуға болады

(3.15)

(3.11) және (3.12) теңдеулері үзіліссіздік теңдеуінің Эйлер және Лагранж формалары. (3.11) және (3.12) теңдеулерінің векторлық формасы кез келген жүйе үшін орынды. Цилиндрлік коорд жүйеде үзіліссіздік теңдеуі мына түрге ие

(3.16)

ал сфералық координатада

(3.17)

Ағын параметрлері бір координата бойымен өзгеретін бірөлшемді қозғалыс үшін (мысалы, ) (3.11) мына түрге ие

Орныққан ағыс үшін бұл өрнек тағы да қарапайымданады, яғни Осы қатынасты 1-ші ағын қимасынан (көлденең қима ауданы ) 2-ші (көлденең қима ауданы ) дейін интегралдап, аламыз

(3.18)

(3.18) теңдеу ток трубкасы үзіліссіздік теңдеуі, оны ағынның көлемдік шығынын есептеу үшін қолдануға болады. Сығылмайтын сұйықтар үшін

мына түрге ие

(3.19)

(3.19) үзіліссіздік теңдеуі - массалық шығын сияқты көлемдік шығын да тұрақты, егер құбырөткізгіштік қимасы ұлғайса, онда орташа шығынды ағын жылдамдығы төмендейді.