Лекция 13
Тема: Стохастическое моделирование гидрологических временных рядов
Курс «Моделирование гидрологических процессов»
Классы моделей
Детерминированная модель» - модель, описывающая явления природы с точки зрения объективной закономерности и причинной обусловленности
Главная задача детерминированного моделирования - преобразование метеорологического воздействия на речной бассейн в гидрограф стока в замыкающем створе
Стохастические модели – это модели, описывающие системы, основанные на понятиях теории вероятностей и математической статистики, случайных событиях, величинах, функциях (процессах), полях
Одна из главных задач стохастического моделирования —
анализ или воспроизведение колебаний средних годовых или экстремальных характеристик стока.
Стохастическое моделирование
Стохастические модели - это модели «черного ящика», параметры которых оцениваются, исходя из статистических свойств наблюдаемых временных рядов
Стохастические методы были впервые введены в гидрологию в связи с проектированием водохранилищ
При расчете регулирующей емкости водохранилища должна учитываться вероятность наступления критических последовательностей стока, которая наилучшим образом может быть оценена с использованием последовательных рядов стоковых характеристик
Каждая последовательность должна охватывать многолетний период и отражать свойства генеральной совокупности, поскольку она используется для получения статистических характеристик
Марковские модели 1-го порядка (1)
Величина стока за любой период определяется стоком за предшествующий период и случайным импульсом
Одна из таких моделей для месячного стока может быть представлена следующим образом
Qi - значение расхода воды i-го члена ряда, последовательно пронумерованного начиная от 1 независимо от месяца или года
j - номер месяца, на который приходится i- й член ряда 
средний расход за j-месяц
σj - стандартное отклонение для j-го месяца
ρj - коэффициент внутрирядной корреляции между Qj и Qj-1 εj - случайная переменная соответствующего распределения
Моделирование искусственных гидрологических рядов
В основе моделирования искусственных рядов лежит метод Монте – Карло. Это метод решения математических задач при помощи моделирования случайных чисел
Процесс моделирования включает следующие шаги:
Нужно получить последовательность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1
Каждое значение случайного числа рассматривается как вероятность не превышения и по нему рассчитывается соответствующий квантиль заданного закона распределения. Можно это сделать по графику, можно по таблицам или по готовым компьютерным программа.
Марковские модели 1-го порядка (2)
Приведенное уравнение может также использоваться для моделирования сезонного стока (j = 1, 2, 3, 4) и годового стока (j = 1). В последнем случае оно становится уравнением
,σ и ρ - определяются по ряду наблюдений
Обычно используется метод Монте-Карло с вычислением последовательных величин случайных переменных
Несколько вопросов требуют тщательного рассмотрения:
a)Каково распределение случайной переменной?
b)Следует ли корректировать дисперсию при внутрирядной корреляции, если таковая имеет место?
c)С какой точностью рассчитывать величину коэффициента внутрирядной корреляции?
Авторегрессионные модели со скользящим средним (1)
Наиболее значительное развитие получили одномерные стохастические модели, относящиеся к группе авторегрессионных моделей со скользящим средним (ARMA)
Существуют три типа таких моделей: авторегрессионная (AR), модель скользящего среднего (МА) и смешанная модель (ARMA). Самый общий тип (ARMA) имеют, соответственно, следующий вид:
xi - отклонение i-го наблюдения от среднего значения ряда φ1 и Θ1 - параметры, которые следует оценить
εi - случайная переменная, описанная выше
Авторегрессионные модели со скользящим средним (2)
Для расчета по ARMA-моделям была разработана последовательная процедура:
-идентификация: коррелограмма исследуемых рядов сравнивается с автокорреляционной функцией различных ARMA-моделей для выбора подходящего типа и порядка модели
-oценивание: параметры модели оцениваются с помощью методов моментов, наибольшего подобия или наименьших квадратов при условии, что сумма квадратов отклонений минимальна
-диагностическая проверка: отклонения проверяются на случайность, для того чтобы подтвердить адекватность выбранной модели
ARMA-модели используются для того, чтобы смоделировать последовательные искусственные ряды стока с помощью метода Монте- Карло