- •Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы.
- •Виды матриц.
- •Операции над матрицами.
- •Определители квадратных матриц
- •Обратная матрица.
- •Системы линейных уравнений.
- •Метод обратной матрицы.
- •Метод Крамера.
- •Метод Гаусса.
- •Производная.
- •Правила дифференцирования.
- •Производные сложной и обратной функции.
- •Интегрирование.
- •Свойства неопределенного интеграла.
- •Метод замены переменной.
- •Метод интегрирования по частям.
- •Задания для контрольных работ (6 заданий по 25 вариантов)
- •Задание №1
- •Задание №2
Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы.
Определение. Матрицей размера называется таблица чисел, состоящая изстрок истолбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита (например А, В, С), а элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией: , где– номер строки,– номер столбца.
Например, матрица ,
или в сокращенной записи , где;.
Виды матриц.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)–строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)–столбцом: – матрица–строка;
–матрица–столбец.
Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно . Например,– квадратная матрица третьего порядка.
Элементы матрицы , у которых номер строки равен номеру столбца, называютсядиагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,
–диагональная матрица третьего порядка.
Если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называетсяединичной матрицей -го порядка и она обозначается буквой. Например,– единичная матрица третьего порядка.
Операции над матрицами.
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которойдля;.
Например, если , то.
Сложение матриц. Суммой двух матриц иодинакового размераназывается матрица, элементы которойдля;(то есть матрицы складываются поэлементно).
Например: ,,.
Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицуопределено, когдачисло столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Тогда произведением матрицназывается матрица, каждый элемент которойравен сумме произведений элементов-ой строки матрицына соответствующие элементы-го столбца матрицы:
Пример. Вычислить произведение матриц ,где
; .
Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Вычислим элементы матрицы. Элементполучается при умножении-ой строки матрицына-ый столбец матрицы.
;;;
;;.
Получаем .
Транспонирование матрицы – переход от матрицы к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрицаназывается транспонированной относительно матрицы.
, .
Из определения следует, что если матрица имеет размер , то транспонированная матрицаимеет размер.
Например: ;.
Определители квадратных матриц
Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.
Определитель матрицы обозначаетсяили.
Определителем матрицы первого порядка , илиопределителем первого порядка, называется элемент :
. Например, пусть , тогда.
Определителем матрицы второго порядка , илиопределителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
.
Произведения иназываютсячленами определителя второго порядка. Например, пусть , тогда.
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
.
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Рис. 1.
Это число представляет собой алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строка и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу, легко запомнить, пользуясь схемой (рис.1.), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.
Для вычисления определителей более высоких порядков потребуются некоторые дополнительные понятия.
Пусть дана квадратная матрица n-го порядка.
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n–1)-го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием-ой строки и-го столбца.
Например, минором элемента матрицытретьего порядка будет:
Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком :, т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число. Например, ;.
Для вычисления определителей квадратных матриц выше третьего порядка пользуются теоремой Лапласа.
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
(разложение по элементам i-й строки; );
(разложение по элементам j-го столбца; );
По свойствам определителей, определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. Это свойство определителей и теорема Лапласа позволяют существенно упростить вычисление определителей высоких порядков. При вычислении определителей нужно преобразовать исходную матрицу так, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка:
.
Преобразуем матрицу так, чтобы в 3-й строке все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого умножим элементы 3-го столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-го и 2-го столбцов. Раскладывая полученный определитель по элементам третьей строки, найдем
.
Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, однако, можно продолжить упрощение матрицы. "Обнулим" в матрице третьего порядка элементы 2-ой строки (кроме одного). Для этого элементы третьего столбца матрицы, предварительно умножив на (-13) и на 4, сложим с элементами 1-го и 2-го столбцов соответственно:
.
Раскладывая по элементам второй строки и вынося общие множители, получаем:
.