- •Варианты контрольных работ
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
Варианты контрольных работ
Вариант № 0
Найти и изобразить на чертеже область определения функции.
Решение. Для определения области необходимо решить следующую систему:
Таким образом в данном случае область определения – это область в 1-ой четверти ограниченная кривыми и удаленными из нее точками окружности
Показать, что заданная функция удовлетворяет данному уравнению.
Решение. Предварительно найдем частные производные первого порядка
Подставляя, полученные производные к функцию в заданное соотношением получим
;
Найти производную сложной функции. ;
Решение. Применяя формулу для вычисление полной производной получим
Подставляя теперь вместо ивыражение черези выполняя необходимые преобразования получим
.
Найти экстремум функции.
Решение. Найдем и приравняем частные производные первого порядка к нулю
Так как частные производные второго порядка являются постоянными то.
Тогда в силу достаточного условия экстркмума в точке функция имеет локальный минимум, который равен.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области D: .
Решение. Отметим, что границами данной области являются стороны прямоугольника, которые аналитически задаются следующим образом
Найдем и приравняем частные производные первого порядка к нулю
.
Обозначим эту точку как . Значение функции в найденной точке будет равно.
Подставляя теперь в функцию формулу границы найдем минимальные и максимальные значения на этих границах ………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Найти точки условного экстремума функции.
Решение. Составим функцию Лагранжа
Найдем частные производные первого порядка по переменным и приравняем их к нулю
Разрешаю указанную систему получим
Получаем две точки и. Найдем вторые производные от функции.
Тогда ,
Поскольку , то в точкефункция достигает локальный минимум.
Аналогично ,и, по т.ки, то в точкефункция достигает локальный максимум.
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .
Решение. Уравнение касательной плоскости, к поверхности заданным уравнением в точкезаписывается в виде:
, а уравнение нормали к поверхности в этой же точке ;
Наша поверхность задана уравнением: . Найдем частные производные
.
Найти производную функции в точке в направлении:
а) градиента;
б) указанного вектора
Решение. а) Найдем частные производные первого порядка
; .
Найдем значения частной производной в точке
Тогда градиент функции найдем по формуле
.
б) Найдем направляющие косинусы:
Производную по направлению вектора найдем следующим образом:
.
Вариант 1
Найти и изобразить на чертеже область определения функции.
Показать, что заданная функция удовлетворяет данному уравнению.
Найти производную сложной функции ;
Найти экстремум функции.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области .
Найти точки условного экстремума функции.
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в указанной точке .
8. Найти производную функции в точке в направлении:
а) градиента;
б) указанного вектора