mstuca27

x3. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë			21
®¯à¥¤¥«¥-¨î ¤ --ë© àï¤ à	P	k1	à á室¨âáï. ’ ª ª ª nlim S2n = +1; â® ¯®
â ª ª ª £ ମ-¨ç¥áª¨© àï¤	1
	k=1		!1

á室¨âáï.

‡ ¬¥ç -¨¥. …᫨ §- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï àï¤ á室¨âáï, â® -¥®¡ï§ ⥫ì-® ¢ë¯®«-ï¥âáï ¯à¨§- ª ‹¥©¡-¨æ . ‡- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï àï¤ ¬®¦¥â ®ª § âì-

áï á室ï騬áï, ª®£¤						¡á®«îâ- ï ¢¥«¨ç¨-																					¥£® ®¡é¥£® ç«¥- áâ६¨âáï ª
-ã«î -¥¬®-®â®--®.
•à¨¬¥à 3. ˆáá«¥¤®¢ âì, á室¨âáï ¨«¨ à á室¨âáï àï¤
1			1			1								1													1		1
1		+								+							: : : +													+ : : :
	23		34					43						54										(2n 1)4					(2n)3
•¥è¥-¨¥: Ž¡é¨© ç«¥- ¤ --®£® àï¤																									áâ६¨âáï ª -ã«î ¯à¨ n ! 1;
å®âï ¨ -¥¬®-®â®--®:
			1			1										1							1
1 >							>					;									<						¨ â ª ¤ «¥¥.
				23					34							34							43
Ž¤- ª® íâ®â àï¤ á室¨âáï (¨ ¯à¨â®¬																					¡á®«îâ-®, á¬. ¯ã-ªâ 3.2), â ª ª ª
á室¨âáï àï¤
						1										1					1		1
						1 +								+				+				+					+ : : : ;
											23						34			43					54

ª ¦¤ë© ç«¥- ª®â®à®£® -¥ ¯à¥¢®á室¨â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ç«¥- á室ï饣®-

	P	1
áï àï¤	1		(á¬. ¯à¨¬¥à 15 x2).
	n=1	n3

3.2. €¡á®«îâ- ï ¨ ãá«®¢- ï á室¨¬®áâì à冷¢

•ãáâì ¤ - àï¤ á ç«¥- ¬¨ ¯à®¨§¢®«ì-®£® §- ª

(1)	a1 + a2 + a3 + : : : + an + : : :
	‘®áâ ¢¨¬ -®¢ë© àï¤ ¨§ ¡á®«îâ-ëå ¢¥«¨ç¨- ç«¥-®¢ àï¤ (1)
(2)	ja1j + ja2j + ja3j + : : : + janj + : : :

•ï¤ (1) - §ë¢ ¥âáï ¡á®«îâ-® á室ï騬áï, ¥á«¨ á室¨âáï àï¤, á®áâ - ¢«¥--ë© ¨§ ¡á®«îâ-ëå ¢¥«¨ç¨- ¥£® ç«¥-®¢, â® ¥áâì á室¨âáï àï¤ (2).

•ï¤ (1) - §ë¢ ¥âáï ãá«®¢-® á室ï騬áï, ¥á«¨ ®- á室¨âáï, -® àï¤, á®áâ - ¢«¥--ë© ¨§ ¡á®«îâ-ëå ¢¥«¨ç¨- ¥£® ç«¥-®¢, â® ¥áâì àï¤ (2), à á室¨âáï.

‡ ¬¥ç -¨¥. …᫨ á室¨âáï àï¤ (2), â® á室¨âáï ¨ àï¤ (1). •à¨¬¥à 4. „®ª § âì, çâ® àï¤

1 12 + 13 14 + : : : + ( 1)n 1n1 + : : :

á室¨âáï ãá«®¢-®.

22	x3. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë
•¥è¥-¨¥: …᫨ á®áâ ¢¨âì àï¤ ¨§	¡á®«îâ-ëå ¢¥«¨ç¨- ç«¥-®¢ ¤ --®£®

àï¤ , â® ¯®«ã稬 £ ମ-¨ç¥áª¨© àï¤, ª®â®àë© à á室¨âáï. ˆá室-ë© àï¤

á室¨âáï ¯® ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ			(á¬. ¯à¨¬¥à 1). ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¤ --ë© àï¤
á室¨âáï ãá«®¢-®.
•à¨¬¥à 5. „®ª § âì, çâ® àï¤
1			1			1		1
1			+				+		: : :
	2			22		23		24

á室¨âáï ¡á®«îâ-®.

•¥è¥-¨¥: „ --ë© §- ª®ç¥à¥¤ãî騩áï àï¤ á室¨âáï ¯® ¯à¨§- ªã ‹¥©¡- -¨æ . …᫨ á®áâ ¢¨âì àï¤ ¨§ ¡á®«îâ-ëå ¢¥«¨ç¨- ¥£® ç«¥-®¢, â® ¯®«ã- 稬 ¡¥áª®-¥ç-® ã¡ë¢ îéãî £¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¯à®£à¥áá¨î, ª®â®à ï á室¨âáï. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¤ --ë© àï¤ á室¨âáï ¡á®«îâ-®.

‡ ¬¥ç -¨¥. •ãáâì àï¤ (1) á ç«¥- ¬¨ ¯à®¨§¢®«ì-®£® §- ª á室¨âáï ¡- ᮫îâ-®. …᫨ ¢ í⮬ àï¤ã ¢ë¡à âì ⮫쪮 ¯®«®¦¨â¥«ì-ë¥ ¨«¨ ⮫쪮 ®â- à¨æ ⥫ì-ë¥ ç«¥-ë, â® ¯®«ãç¥--ë¥ àï¤ë ¡ã¤ãâ ®¡ á室ï騬¨áï. …᫨ ¦¥ àï¤ (1) á室¨âáï ãá«®¢-®, â® àï¤ë, á®áâ ¢«¥--ë¥ â®«ìª® ¨§ ¯®«®¦¨â¥«ì-ëå ¨«¨ ⮫쪮 ¨§ ®âà¨æ ⥫ì-ëå ¥£® ç«¥-®¢, ¡ã¤ãâ à á室ï騬¨áï àï¤ ¬¨.

•à¨¬¥à 6. „®ª § âì, çâ® àï¤ 1 13 + 12 19 + 14 271 + 18 : : :

á室¨âáï ¡á®«îâ-®.

•¥и¥-¨¥: •®«®¦¨в¥«м-л¥ з«¥-л ¤ --®£® ап¤ ®¡а §гов б室пйгобп

£¥®¬¥âà¨ç¥áªãî ¯à®£à¥áá¨î
		1 +				1		+		1	+		1		+ : : : ;
					2
									4				8
á㬬 ª®â®à®© à ¢-	2: €- «®£¨ç-®, ®âà¨æ ⥫ì-ë¥ ç«¥-ë ¤ --®£® àï¤
®¡à §ãî⠯ணà¥áá¨î
		1			1				1				1
																: : : ;
			3		9				27					81
á㬬 ª®â®à®© à ¢-		21: ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¤ --ë© àï¤ á室¨âáï															¡á®«îâ-®
¨ ¥£® á㬬 à ¢- 2 21		= 23:															1
‡ ¬¥ç -¨¥. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ ç áâ® ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï àï¤																	P
																	qn; ª®-

n=0

1

â®àë© á室¨âáï ¯à¨ jqj < 1; ¯à¨ç•¥¬ P qn = 11q (á¬. ¯à¨¬¥à 3 x1).

n=0

x3. ‡- ª®¯¥à¥¬¥--ë¥ àï¤ë

23

‡ ¤ ç¨ ¤«ï á ¬®áâ®ï⥫ì-®£® à¥è¥-¨ï

•à¨¬¥-ïï ¯à¨§- ª ‹¥©¡-¨æ , ¯®ª § âì, çâ® ¤ --ë© àï¤ á室¨âáï:

1( 1)n 1

P

114)n=1 2n 1 :

1( 1)n 1

P

115)n=1 (3n + 5)2:

1( 1)n 1

116)P :

n=1

n!

1

( 1)np

:

117)

n

n=1

n + 20

118)

P1

( 1)n lnn

:

n=2

n

¡á®«îâ-ãî ¨ ãá«®¢-ãî á室¨¬®áâì:

¤®¢ âì àï¤ -

ˆáá«¥

P

( 1)n+1

119)

1

:

n=1

n

120)

P1

( 1)n

:

n=2

lnn

P

(

1)n+1p3

n

121)

1

:

n=1

n + 2

122)

P1

( 1)n(n 1)

:

n=2

p8 n(n + 1)

1

1

123)

P

( 1)n+1 tg

np3

:

n=1

n

P

3n + 1

n

1

124) n=0( 1)n

:

4n + 5

P

(

1)n+1

125)

1

:

n=1

n

pn

1

126)

P

(

1)n+1n10e n:

n=1

1

2n

127)

P

( 1)n+1

:

n=1

3n + 2

P

(

1)n+1

128)

1

:

n=1 1000n + 1

129)

P1

( 1)n lnn

:

n=2

n

130)

P1 ( 1)n :

3

P

n=2 n ln n

24

x4. ”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë

1

(

1)n+1

131)

P

2

2n

n=1

arctgn :

132)

1

(

1)n+1

(n 1)

:

n=1

n2 + 1

1

arctgn

P

( 1)n+1

133)

P

p

:

2

lnn

+ 1

n=1

n

134)

1

( 1)n npn :

P

n=2

x4. ”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë

4.1. Ž¡« áâì á室¨¬®á⨠äã-ªæ¨®- «ì-®£® àï¤

•ãáâì ¤ - ¡¥áª®-¥ç- ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâì äã-ªæ¨©

u1(x); u2(x); u3(x); : : : ; un(x); : : : ;

¨¬¥îé¨å ®¡éãî ®¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥-¨ï.

”ã-ªæ¨®- «ì-ë¬ à冷¬ - §ë¢ ¥âáï á®áâ ¢«¥--®¥ ¨§ íâ¨å äã-ªæ¨© ¢ë- à ¦¥-¨¥ ¢¨¤

	1
	X
(1)	u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+ : : : + un(x)+ : : : = un(x):

n=1

”ã-ªæ¨®- «ì-ë© àï¤ (1) ¯à¨ ®¤-¨å §- ç¥-¨ïå à£ã¬¥-â x ¬®¦¥â ®ª - § âìáï á室ï騬áï ç¨á«®¢ë¬ à冷¬, ¯à¨ ¤àã£¨å §- ç¥-¨ïå à£ã¬¥-â x { à á室ï騬áï ç¨á«®¢ë¬ à冷¬. …᫨ äã-ªæ¨®- «ì-ë© àï¤ (1) á室¨âáï ¯à¨ x = x0; â® £®¢®àïâ, çâ® àï¤ á室¨âáï ¢ â®çª¥ x0:

Ž¡« áâìî á室¨¬®á⨠àï¤	(1) - §ë¢ ¥âáï ᮢ®ªã¯-®áâì ¢á¥å §- ç¥-¨©
à£ã¬¥-â x; ¯à¨ ª®â®àëå íâ®â àï¤ á室¨âáï.
•à¨¬¥à 1. Ž¯à¥¤¥«¨âì ®¡« áâì á室¨¬®á⨠àï¤
	1
	X
(2)	5nxn:

n=0

•¥è¥-¨¥: •à®¢¥à¨¬ ¢ë¯®«-¥-¨¥ -¥®¡å®¤¨¬®£® ¯à¨§- ª á室¨¬®áâ¨

àï¤ . € ¨¬¥--®, - ©¤•¥¬ lim 5nxn: ‚ á«ãç ¥ 5jxj > 1 lim 5nxn 6= 0; §- ç¨â

n!1 n!1

-¥®¡å®¤¨¬ë© ¯à¨§- ª -¥ ¢ë¯®«-¥-, ¯®í⮬㠯ਠjxj > 15 àï¤ à á室¨âáï.

x4.

”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë

25

•ãáâì ⥯¥àì jxj < 51: ˆáá«¥¤ã¥¬ àï¤ (2) -

¡á®«îâ-ãî á室¨¬®áâì. „«ï

1

í⮣® à áᬮâਬ àï¤ ¨§ ¡á®«îâ-ëå ¢¥«¨ç¨- àï¤

(2):

5njxjn: ‚®á¯®«ì-

n=0

§ã¥¬áï ¯à¨§- ª®¬ Š®è¨

P

n!1 p

n!1

j

j

j

j

j

j

lim n

5n

x

n

= lim 5

x

= 5

x

:

…᫨ jxj < 51; â® 5jxj < 1 ¨ àï¤, á®áâ ¢«¥--ë© ¨§

¡á®«îâ-ëå §- ç¥-¨©

àï¤

(2) á室¨âáï,

§- ç¨â àï¤ (2) ¯à¨ jxj < 51 á室¨âáï

¡á®«îâ-®.

ˆâ ª, àï¤ (2)

¯à¨ jxj < 51

á室¨âáï

¡á®«îâ-®,

¯à¨ jxj > 51

à á室¨âáï.

’ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬ ®¡« áâì á室¨¬®á⨠àï¤ (2): jxj < 15: •à¨¬¥à 2. Ž¯à¥¤¥«¨âì ®¡« áâì á室¨¬®á⨠àï¤

	1	2n
(3)	X		; x 6= 1:
	n=2	n(x + 1)n

•¥è¥-¨¥: ˆáá«¥¤ã¥¬ àï¤ - ¡á®«îâ-ãî á室¨¬®áâì, â® ¥áâì ¨áá«¥¤ã¥¬

àï¤

1

2n

1

X

(4)

n

j

x + 1

j

n ;

x 6= 1:

n=2

‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¨§- ª®¬ Š®è¨ á室¨¬®á⨠àï¤

n!1 s

= jx + 1j

n

jx + 1jn

lim

n

2n

1

2

;

¯®í⮬ã

¯à¨

2

< 1;

â® ¥áâì ¯à¨

x < 3; x > 1

àï¤ (4) á室¨âáï,

jx+1

j

¯à¨

2

> 1;

â® ¥áâì ¯à¨ 3 < x < 1; x 6= 1

àï¤ (4) à á室¨âáï.

jx+1

j

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ x < 3; x > 1 àï¤ (3) á室¨âáï ¡á®«îâ-®, ¯à¨3 < x < 1; x 6= 1 àï¤ (3) à á室¨âáï.

’¥¯¥àì ¨áá«¥¤ã¥¬ á室¨¬®áâì àï¤ (3) - £à -¨æ¥ ®¡« á⨠á室¨¬®áâ¨, â® ¥áâì ¢ â®çª å x = 3 ¨ x = 1: •ãáâì x = 3; ⮣¤ àï¤ (3) ¯¥à¥¯¨è¥âáï

	¢ ¢¨¤¥	1	( n1)n	: •® ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ íâ®â àï¤ á室¨âáï (á¬. ¯à¨¬¥à 1 x3).
		P
					1	1
		n=2			P
	•ãáâì x = 1; ⮣¤ àï¤ (3) ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥					n : •®«ã稫¨ £ ମ-¨ç¥-
					n=2

᪨© àï¤, ª®â®àë© à á室¨âáï.

26					x4.	”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë
	8	¯à¨	x < 3; x > 1		á室¨âáï	¡á®«îâ-®,
ˆâ ª, àï¤ (3)		¯à¨		x = 3	á室¨âáï ãá«®¢-®,
	<	¯à¨		3 < x 6 1	à á室¨âáï.
	:

‚¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬, çâ® àï¤ (3) á室¨âáï ¯à¨ x 6 3 ¨ ¯à¨ x > 1:

4.2.‘⥯¥--ë¥ àï¤ë. • ¤¨ãá á室¨¬®á⨠á⥯¥--®£® àï¤

…᫨ ç«¥-ë un(x) дг-ªж¨®- «м-®£® ап¤ (1) п¢«повбп бв¥¯¥--л¬¨ дг-ªж¨-

ﬨ	à£ã¬¥-â x; â® àï¤ - §ë¢ ¥âáï á⥯¥--ë¬, â® ¥áâì á⥯¥--ë¬ à冷¬
- §ë¢ ¥âáï àï¤ ¢¨¤
	1
(5)	X an(x x0)n =
	n=0
	= a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2 + : : : + an(x x0)n + : : : ;

£¤¥ x0 { 䨪á¨à®¢ --®¥ ç¨á«®, a0; a1; a2; a3; : : : { ¨§¢¥áâ-ë¥ ç¨á«®¢ë¥ ª®íä- ä¨æ¨¥-âë. ‚ ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨ x0 = 0; â® ¯®«ãç ¥¬ á⥯¥--®© àï¤

	1
	X
(6)	anxn = a0 + a1x + a2x2 + : : : + anxn + : : :
	n=0

‡ ¬¥â¨¬, çâ® á⥯¥--ë¥ àï¤ë (5) ¨ (6) ¢á¥£¤ á室ïâáï ¯à¨ x = x0 ¨«¨ x = 0

ᮮ⢥âá⢥--®. Š ¦¤ë© á⥯¥--®© àï¤ (5) á室¨âáï ¢-ãâਠ¨-â¥à¢ «	áå®-
¤¨¬®á⨠fx : jx x0j < Rg : Œ-®¦¥á⢮ á室¨¬®á⨠àï¤ (5) ¨«¨ ᮢ¯	¤ ¥â

á ¨-â¥à¢ «®¬ á室¨¬®áâ¨, ¨«¨ ¯®«ãç ¥âáï ¤®¡ ¢«¥-¨¥¬ ª -¥¬ã ®¤-®© ¨«¨ ®¡¥¨å ª®-楢ëå â®ç¥ª.

—¨á«® R - §ë¢ ¥âáï à ¤¨ãᮬ á室¨¬®á⨠á⥯¥--®£® àï¤ . …᫨ à ¤¨- ãá á室¨¬®á⨠R = 0; â® ¬-®¦¥á⢮ á室¨¬®á⨠àï¤ á®á⮨⠨§ ®¤-®© â®çª¨ x = x0: …᫨ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠R = +1; â® ¬-®¦¥á⢮¬ á室¨¬®- á⨠àï¤ ï¢«ï¥âáï ¢áï ç¨á«®¢ ï ¯àï¬ ï, â® ¥áâì àï¤ á室¨âáï ¯à¨ «î¡®¬ x 2 (1;+1): …᫨ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¥áâì ç¨á«® R > 0; â® ¬-®¦¥á⢮ á室¨¬®á⨠í⮣® àï¤ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¨-â¥à¢ « (x0 R;x0 + R); ¢®§- ¬®¦-®, á ¤®¡ ¢«¥-¨¥¬ ª -¥¬ã ®¤-®© ¨«¨ ®¡¥¨å ª®-楢ëå â®ç¥ª.

• ¤¨ãá á室¨¬®á⨠R ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ Š®è¨{€¤ ¬ à

	1
(7)			= n!1 pj					nj
		R
			lim		n		a			(¥á«¨ ¯à¥¤¥« áãé¥áâ¢ã¥â).
• ¤¨ãá á室¨¬®á⨠R ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥- â ª¦¥ ¯® ä®à¬ã«¥
			= n!1	an+1
(8)	R		lim		an					(¥á«¨ ¯à¥¤¥« áãé¥áâ¢ã¥â).

x4. ”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë	27
•à¨ R 6= 0 á室¨¬®áâì àï¤	(5) ¢ â®çª å x = x0 R ¨ x = x0 + R

¯à®¢¥àï¥âáï ®â¤¥«ì-®. €¡á®«îâ- ï á室¨¬®áâì àï¤ (5) - ®¤-®¬ ¨§ ª®-殢 ¨-â¥à¢ « á室¨¬®á⨠¢«¥ç•¥â ¡á®«îâ-ãî á室¨¬®áâì àï¤ ¨ - ¤à㣮¬ ª®-æ¥ í⮣® ¨-â¥à¢ « .

•à¨¬¥à 3. • ©â¨ ®¡« áâì á室¨¬®á⨠á⥯¥--®£® àï¤

1 3nxn

X

n=1 n2

:

•¥è¥-¨¥: ’ ª ª ª an = 3nn2 ; â® ¯à¨¬¥-¨¬ ä®à¬ã«ã (7).

R

= n!1 r

n2

= 3 ) = 3

1

lim

n 3n

=

R

1

:

„«ï ¯®«-®£® ®¯à¥¤¥«¥-¨ï ¬-®¦¥áâ¢

á室¨¬®á⨠¨áá«¥¤ã¥¬ ¯®¢¥¤¥-¨¥

í⮣® àï¤

¢ â®çª å x = 31 ¨ x = 31: •ãáâì x = 31; ⮣¤ n3n2 31

n =

( n1)2 n

;

1

( 1)n

1

3

1

P

1

1

1

¨ àï¤

n2

x =

3

; ⮣¤

n=1

á室¨âáï ¯® ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ . ’¥¯¥àì ¯ãáâì

n

n

P

3

=

;

¨ àï¤ n=1

á室¨âáï (á¬. ¯à¨¬¥à 15 x2).

n2

n2

n2

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬-®¦¥á⢮ á室¨¬®á⨠¤ --®£® àï¤ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©

®â१®ª 13; 13 :

•à¨¬¥à 4. • ©â¨ ®¡« áâì á室¨¬®á⨠àï¤

		x2		x3		xn		xn+1
(9)	x +		+		+ : : : +		+		+ : : :
		2		3		n		n + 1

•¥è¥-¨¥: “ í⮣® àï¤ an = n1: •à¨¬¥-¨¬ ä®à¬ã«ã (8). • ¤¨ãá á室¨- ¬®áâ¨

= n!1	an+1		=
R lim		an

lim n + 1 = 1:

n!1 n

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, àï¤ á室¨âáï ¡á®«îâ-® ¢ ¨-â¥à¢ «¥ ( 1;1): ’¥¯¥àì ¨áá«¥- ¤ã¥¬ ¯®¢¥¤¥-¨¥ àï¤ - £à -¨æ å - ©¤¥--®£® ¨-â¥à¢ « , â® ¥áâì ¯à¨ x = 1 ¨ ¯à¨ x = 1: …᫨ x = 1; â® ¯®«ãç ¥¬ àï¤

1 + 12 13 + : : : + ( 1)n n1 + : : : ;

ª®â®àë© á室¨âáï ¯® ¯à¨§- ªã ‹¥©¡-¨æ . …᫨ x = 1; â® ¨§ (9) ¯®«ãç ¥¬

£à¬®-¨ç¥áª¨© àï¤, ª®â®àë© à á室¨âáï.

’ª¨¬ ®¡à §®¬,®¡« áâìî á室¨¬®á⨠¤ --®£® àï¤ ï¢«ï¥âáï ¯à®¬¥¦ã⮪ [ 1;1):

28	x4. ”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë

•à¨¬¥à 5. • ©â¨ ®¡« áâì á室¨¬®á⨠àï¤

			1 xn
					:
				n!
			n=1
•¥è¥-¨¥: „«ï ¤ --®£® àï¤			X
an =	1	;	an+1 =			1	:
	n!					(n + 1)!

•à¨¬¥-¨¬ ä®à¬ã«ã (8). • ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨

R

lim

an

lim

(n + 1)!

= lim (n + 1) = +

:

an+1

1

= n!1

= n!1

n!

n!1

’ ª ª ª R = +

1

; â® ¨áá«¥¤ã¥¬ë© àï¤ á室¨âáï ¯à¨ «î¡®¬ §- ç¥-¨¨

¯¥à¥¬¥--®© x:

4.3. „¥©á⢨ï á® á⥯¥--묨 àï¤ ¬¨

‚-ãâਠ®¡é¥£® ¨-â¥à¢ «

á室¨¬®á⨠jx x0j < R á⥯¥--ëå à冷¢

1

1

X

X

bn(x x0)n

an(x x0)n;

n=0

n=0

á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥-áâ¢

)

á«®¦¥-¨¥ á⥯¥--ëå à冷¢

1

1

1

X

X

X

an(x x0)n +

bn(x x0)n =

(an + bn)(x x0)n;

n=0

n=0

n=0

¡)

ã¬-®¦¥-¨¥ á⥯¥--ëå à冷¢

1

1

1

X

X

X

an(x x0)n bn(x x0)n =

cn(x x0)n;

n=0

n=0

n=0

n

X

£¤¥ cn = ak bn k = a0bn + a1bn 1 + : : : + anb0;

k=0

¢)

¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥ á⥯¥--®£® àï¤

1

0

d 1

1

"n=0 an(x x0)n#

= dx n=0 an(x x0)n

= n=0(n + 1)an+1(x x0)n;

X

X

X

x4.

”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë

29

£) ¨-⥣à¨à®¢ -¨¥ á⥯¥--®£® àï¤

Z

" 1

an(x x0)n# dx =

1

an

(x x0)n+1 + C; £¤¥ C { «î¡®¥ ç¨á«®.

n +

1

n=0

n=0

X

X

•à¨¬¥à 6. ˆ§¢¥áâ-®, çâ®

ln(1 x3) = x3

x6

x9

x3n

(10)

: : :

: : : ¯à¨ jxj < 1

2

3

n

¨

x2

x3

xn

(11)

ln(1 x) = x

: : :

: : : ¯à¨ jxj < 1.

2

3

n

• ©â¨ à §«®¦¥-¨¥ ¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ x0 = 0 äã-ªæ¨¨

f (x) = ln(1+ x + x2) - ¨-â¥à¢ «¥ ( 1;1):

•¥è¥-¨¥: •à¥¤áâ ¢¨¬ äã-ªæ¨î f (x) ¢ ¢¨¤¥

f (x) = ln(1+ x + x2) = ln

1 x3

= ln(1

x3)

ln(1

x):

1

x

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ á«®¦¥-¨ï ¤¢ãå á⥯¥--ëå à冷¢ ¨ ä®à- ¬ã«ë (10) ¨ (11), ¯®«ã稬

ln(1 + x + x2) =
	x2		1 +	1	x3	x4		x5			1	1		x6	x7
= x												+				: : : ; jxj < 1:
	2			3		4		5			2		6		7

•à¨¬¥à 7. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î f (x) = arctgx ¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-- â஬ ¢ â®çª¥ 0 - ¨-â¥à¢ «¥ ( 1;1); ¥á«¨ ¨§¢¥áâ-® à §«®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨

(12)	1	= 1 x2 + x4 x6 + : : :	+ ( 1)n 1x2n 2 + : : : ; jxj < 1:
	1 + x2
•¥è¥-¨¥: •®áª®«ìªã
		x
		arctgx = Z0		1 + t2;
				dt

â®, ¨á¯®«ì§ãï à §«®¦¥-¨¥ (12) ¨ ᢮©á⢮ ® ¯®ç«¥--®¬ ¨-⥣à¨à®¢ -¨¨ áâ¥- ¯¥--ëå à冷¢, ¯®«ã稬

x
arctgx = Z0	(1 t2 + t4 t6 + : : : + ( 1)n 1t2n 2 + : : :)dt =
		x3		x5		x7		x2n 1
	= x		+				+ : : : + ( 1)n 1		+ : : : ; jxj < 1:
		3		5		7		2n 1

30			x4. ”ã-ªæ¨®- «ì-ë¥ àï¤ë
•à¨¬¥à 8. • §«®¦¨âì äã-ªæ¨î
f (x) =		1
	(1 x)2
¢ á⥯¥--®© àï¤ á æ¥-â஬ ¢ â®çª¥ 0 -		¨-â¥à¢ «¥ ( 1;1); ¥á«¨ ¨§¢¥áâ-®

৫®¦¥-¨¥ äã-ªæ¨¨

1 = 1 + x + x2 + x3 + : : : + xn + : : :

1 x

•¥è¥-¨¥: ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, çâ®

	1	=		1	0	= (1 + x + x2 + x3 + : : : + xn + : : :)0 =
(1	x)2		1	x

= 1 + 2x + 3x2 + : : : + nxn 1 + : : :

’ ª ª ª ¯à¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¨ ¨-â¥à¢ « á室¨¬®á⨠á⥯¥--®£® àï¤ -¥ ¬¥-ï¥âáï, â® - ©¤¥--®¥ à §«®¦¥-¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¨ x; 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î 1 < x < 1:

•à¨¬¥à 9. • ©â¨ á㬬ã àï¤

1

X

1 + 3x2 + 5x4 + 7x6 + : : : = (2n + 1)x2n ¯à¨ jxj < 1:

n=0

•¥è¥-¨¥: •à¨ à¥è¥-¨¨ § ¤ ç â ª®£® ⨯ ¨á¯®«ì§ãîâ ¨§¢¥áâ-®¥ à §- «®¦¥-¨¥

1

X xn = 1 1 x ¯à¨ jxj < 1 (á¬. § ¬¥ç -¨¥ - á. 22),

n=0

ª®â®à®¥ ¬®¦-® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

								1
								X
				1				=	xpn; jxj < 1
				1 xp
								n=0
¨«¨ ¢ ¢¨¤¥
1			1					1	1
		=					=	( xp)n = ( 1)nxpn; jxj < 1;
	1 + xp		1 ( xp)
								n=0	n=0
								X	X

â ª¦¥ ¨á¯®«ì§ãîâ ᢮©á⢠¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®á⨠¨ ¨-⥣à¨à㥬®á⨠áâ¥- ¯¥--ëå à冷¢.