0 Введение

Итак, ключевая концепция десятичной системы и общий алго­ритм четырех арифметических действий с многозначными числа­ми являются базисом для дальнейшего путешествия ребенка в пол­ном удивительных загадок и неожиданных открытий мире мате­матики. Они образуют «ствол древа» математических знаний, и если ребенок познакомился с ними, можно перейти к дифферен­циации. «Четыре операции с большими числами, — пишет Мон­тессори, — ясное понимание десятичной системы и решение прак­тических проблем, возникающих в повседневной жизни, застав­ляют думать, по выражению одного ребенка, который убежденно сказал: "Я знаю все". Прогресс происходит теперь только в дета­лях посредством анализа того, что уже имеется и может пробудить интерес. Значение теперь придается детали, так как она дает воз­можность прорыва в рассмотренное извне целое... и тогда движут­ся от целого к деталям, от большого к малому, от сложного к про­стому».

Каким же образом происходит дифференциация? В каком на­правлении растут «ветви», берущие начало на «стволе»? Мы ука­жем лишь самые «толстые» из них, несущие на себе всю «крону».

Один из основных путей дальнейшего движения — последова­тельный счет и запоминание общепринятых названий чисел сна­чала до 20, затем до 100 и до 1000. Это осуществляется при помо­щи материалов третьей группы - досок Сегена и набора цепочек из цветных или золотых бу­син, составляющих единый цикл. Продолжение этого пути — си­стематическое решение многочисленных примеров с помощью целой серии материалов четвертой группы и постепенное запоминание таблиц сло­жения, вычитания умножения и деления.

Другой основной путь — достаточно длинный и требующий терпения, но приводящий к ясному пониманию смысла обще­принятого способа вычислений на бумаге — путь дальнейшего исследования каждой из четырех арифметических операций. Пе­речислим лишь некоторые из используемых с этой целью матери­алов: игры с марками, «большие» и «малые счеты», «шахматная доска» для умножения многозначных чисел на многозначные, материал для большого деления, т.е. деления многозначных чи­сел на многозначные. Исследование завершается переходом к вы­полнению всех действий в абстрактной форме, т. е. на бумаге, на письме, без помощи материала.

Освоив операции с целыми числами и познакомившись с по­нятиями наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, можно переходить к действиям с обыкновенными дро­бями, а затем и с десятичными.

Еще одно направление движения — введение новых операций, а именно, операций возведения в степень и извлечения корня. Осо­бенно подробно в системе Монтессори рассматриваются операции возведения чисел в квадрат и в куб и обратные им операции извле­чения квадратных и кубических корней. Посредством таких мате­риалов, как биномиальный куб, триномиальный и арифметико-триномиальный кубы, здесь снова выясняется суть алгоритма извле­чения квадратного и кубического корня из многозначных чисел.

Наконец, последняя «толстая ветвь», берущая начало от «ство­ла», — геометрия. Ребенок знакомится с понятиями конгруэнтно­сти, подобия и узнает основные свойства плос­ких геометрических фигур и пространственных тел, учится изме­рять площади и объемы. Этой цели служит ряд материалов, в част­ности серия металлических фигур-вкладышей.

В соответствии с содержанием материалы принято подразде­лять на семь групп. Материалы первой, третьей и четвертой групп, а также материалы второй группы, предшествующие малым сче­там, предназначены для Монтессори-детского сада, остальные — для школы. Отметим, однако, что это указание не является жест­ким ограничением, особенно если речь идет об использовании в детских садах и школах лишь некоторых элементов системы Мон­тессори. Так, например, если некоторая программа предусматри­вает знакомство с операциями сложения и вычитания многознач­ных чисел «в столбик» во II или в III классе, то золотой материал может быть с успехом применен именно в этот период.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ РАБОТЫ

С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МАТЕРИАЛАМИ

Остановимся здесь на двух методических приемах, играющих особенно важную роль при обучении детей математике: «от конкретного к абстрактно­му» и «знакомство с количествами — знакомство с символами-числами — сопоставление количеств и чисел».

От конкретного к абстрактному. Подчеркнем, что речь здесь идет именно о методическом приеме, а не о дидактическом прин­ципе, поскольку на конкретном материале Монтессори демонст­рирует совершенно общие вещи, такие как структура десятичной системы, строение многозначных чисел, смысл арифметических действий и т.д. Материалы же позволяют сформировать у ребенка чувственный образ окру­жающего мира, создать конкретную основу для абстрактных по­нятий. Они помогают ему самостоятельно через деятельность с предметами дойти до сути математических операций и постепен­но перевести их из внешнего во внутренний план.

В качестве примера приведем серию материалов, предназна­ченных для введения операции умножения. Впервые умножение многозначного числа на однозначное демонстрируется 5,5—6-лет­нему ребенку посредством золотого материала из бусин. Практи­чески такой же ход действий предполагает выполнение умноже­ния при помощи так называемых марок — небольших квадратных табличек зеленого, синего или красного цвета, на которых напи­саны числа 1, 10, 100 или 1000. Далее умножение на однозначный делитель производится при помощи больших счет и лежащих счет. Завершающим материалом серии служит так называемая шахмат­ная доска, позволяющая умножать многозначные числа на мно­гозначные. Для перехода к выполнению умножения на бумаге в столбик теперь достаточно записать промежуточные результаты вычислений, смысл которых ребенку совершенно ясен. «Игра бус на счетах, содержащая секрет такого поразительного результата, — пишет Монтессори, — является не только упражнением, которое все более и более разъясняет десятичные взаимные отношения, но даже объясняет абстрактные действия».

Для запоминания таблицы умножения имеется еще одна серия материалов: «Умножение со стержнями из бусин», «Доска для ум­ножения с контрольными картами 1 и 2», «Рабочие карты 3, 4 и 5». Таким образом, выполнению операции умножения в столбик предшествует длительная работа с конкретными материалами, по­зволяющими детям глубоко понять ее смысл гораздо раньше, чем принято думать. «Семилетний ребенок может легко дойти до это­го способа (умножения многозначного числа на многозначное), после вышеуказанных упражнений (с конкретным матери­алом и печатными бланками), И тогда число цифр в числе безразлично; детям даже очень нравится работать с баснословно большими числами, как и указывает на это пример, приведенный ниже, являющийся обычным упражнением для ребят, которые самостоятельно придумывают множители и множимое (учительница никогда не подумала бы о таких громадных числах!) и выполняют его без разбора единичных факторов, без помощи счетов, но имен­но способом, обычно нами употребляемым...».

Что же свидетельствует о постепенном понимании ребенком существа дела? «Когда ребенок проделает много таких упражне­ний, — замечает Монтессори, — он вдруг сразу начинает "пред­видеть" результаты работы, без замены и раскладки бус, и этим укорачивает механический процесс; когда он воочию "увидит" в чем дело, он сможет делать более трудные деления при любом числе цифр нашим обычным способом без всякого затруднения, без необходимости достигать прогресса, без утомительных уроков и унизительных исправлений. И он не только научится выполнять деления, но будет владеть их механизмом; ему будет понятно зна­чение каждой особенности хода действия...». В действи­тельности, здесь имеется в виду процесс интериоризации. «Предви­дение результатов работы» означает выполнение некоторых проме­жуточных действий в уме, а значит, переход их во внутренний план.

Материалы Монтессори удачно моделируют свойства и отно­шения не только целых чисел, но и дробей. Материалы позволяют также в наглядной форме представить опе­рации возведения в степень и извлечения квадратного и кубиче­ского корня, проиллюстрировать ряд общих законов, коммута­тивный и ассоциативный законы сложения и умножения, дист­рибутивный закон умножения относительно сложения и т.д. Бла­годаря именно этим качествам они обеспечивают столь естествен­ный переход от деятельности с конкретным материалом к выпол­нению математических операций общепринятым способом — в уме с использованием карандаша и бумаги.

Знакомство с количествами — знакомство с числами — сопо­ставление количеств и чисел. Этот прием носит более частный ха­рактер и способствует тому, чтобы ребенок на начальной стадии изучения математики мог двигаться поэтапно: сначала на кон­кретном материале научился считать и понял закономерности об­разования числительных, осознал способ записи единиц разных разрядов и, наконец, понял, что количествам соответствуют сим­волы — числа. Приведем примеры использования этого приема.

Обучение счету до 10 производится сначала с помощью счет­ных штанг — 10 штанг длиной от 1 до 10 дм, разделенных на красные и голубые отрезки длиной по 1 дм. Далее посредством материала «цифры из шершавой бумаги» ребенок знакомится с цифрами от 1 до 9 (а чуть позже и с нулем), затем числа первого десятка сопоставляются со штангами.

Другой пример — изучение структуры десятичной системы счис­ления и многозначных чисел. Сначала на золотом материале вво­дятся количества, представляющие единицы следующих разрядов: единиц, десятков, сотен и тысяч. Далее ребенка знакомят с чис­лами 1, 10, 100 и 1000, а также с числами 20—90, 200—900 и 2000 — 9000, обратив его внимание на количество нулей в их за­писи. Наконец, разложив на одном коврике золотой материал так, чтобы была видна иерархия разрядов десятичной системы счисле­ния, а на другом — карты с числами, устанавливают соответствие между первым и вторыми.

Еще один пример — обучение счету и освоение чисел второго десятка. Навыки счета приобретаются на материале «стержни с бусинами» для введения количеств 11 — 19; знакомство с числами 11 — 19 и сопоставление количеств и чисел происходит с помо­щью доски Сегена 1.