Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / Практичні заняття до НЕ 2
.1.docПриклади розв’язування задач
Приклад 1. За допомогою алгоритму Евкліда обчислити найбільший спільний дільник многочленів
та .
Розв. f:g
g:r1
r1:r2
-
НСД
r2:r3
-
0
Отже, НСД
Приклад 2. Знайти НСД многочленів
та
Розв.
НСД
Приклад 3. Для многочленів
та
Побудувати многочлени та , які задовольняють рівність
де , використовуючи:
а) алгоритм Евкліда;
б) метод невизначених коефіцієнтів.
Розв. а) u, v за допомогою алгоритму Евкліда
f:g
g:r1
r1:r2
-
0
Отже, НСД .
Розпишемо алгоритм Евкліда:
, де .
Звідси
Отже,
.
Відповідь:
.
б) Знайдемо тепер множини та методом невизначених коефіцієнтів.
Для цього скористаємося умовами:
‑ многочлени не вище 3-го степеня.
Отже,
де a, b, c, d, m, n, q, p ‑ ? шукані.
Складемо систему для знаходження цих коефіцієнтів. Для цього скористаємося умовою (*) та знайденим вище .
Маємо
Порівняємо коефіцієнти біля відповідних степенів змінної х:
Розв’язуємо отриману систему:
Із 1-го р-ня:
Із 8-го р-ня:
Із 2-го р-ня:
Із 3-го р-ня:
Із 4-го р-ня:
Враховуючи (3), маємо:
Із 5-го р-ня:
Із 6-го рівняння:
Із 7-го рівняння:
Розв’яжемо тепер систему рівнянь (3)-(8) відповідно до змінних a, b, c,d, m, n, q, p методом Гаусса:
a b c d n q
Із (1) і (2) маємо, що
Отже
‑ шукані многочлени.
Відповідь:
а)
б)
Приклад 4. Розділити многочлени з остачею () та обчислити значення , якщо
а) б)
Користуємося схемою Горнера:
а)
|
2 |
0 |
-5 |
0 |
-8 |
0 |
-3 |
2 |
-6 |
13 |
-39 |
109 |
-327 |
Отже,
та
б)
|
2 |
0 |
-5 |
0 |
-8 |
0 |
1+і |
2 |
2+2і |
4і-5 |
-9-і |
-16-10і |
-6-26і |
Отже, та
Приклад 5. Знайти значення многочлена
при:
а) б) .
Розв. Користуємося схемою Горнера:
|
3 |
-2і |
1 |
1-і |
-2і |
-1 |
3 |
-3-2і |
4+2і |
-3-3і |
3+і |
1+і |
3 |
3-8і |
-12-12і |
-35+11і |
-13+79і |
Відповідь: а) б)
Приклад 6. Користуючись схемою Горнера, розкласти за степенями (х+1) многочлен.
Розв.
|
1 |
2 |
-3 |
-4 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
-4 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
-5 |
5 |
|
-1 |
1 |
-1 |
-4 |
|
|
-1 |
1 |
-2 |
|
|
|
-1 |
1 |
|
|
|
|
Приклад 7. Виписати значення многочлена
та всіх його похідних при
|
1 |
0 |
-4 |
6 |
-8 |
10 |
2 |
1 |
2 |
0 |
6 |
4 |
18 |
2 |
1 |
4 |
8 |
22 |
48 |
|
2 |
1 |
6 |
20 |
62 |
|
|
2 |
1 |
8 |
36 |
|
|
|
2 |
1 |
10 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
Отже,
Приклад 8. Знайти значення для коефіцієнта так, щоб
мав число коренем не нижче другої кратності.
Для того, щоб був коренем не нижче ІІ-ої кратності потрібно, щоб
.
Скористаємося схемою Горнера
|
1 |
0 |
0 |
1 |
||
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
-2 |
3 |
-4 |
|
Звідси маємо, що .
Відповідь:
Приклад 9. Чому дорівнює кратність кореня для многочлена
?
Розв.
|
3 |
2 |
1 |
0 |
-10 |
-8 |
-1 |
3 |
-1 |
2 |
-2 |
-8 |
0 |
-1 |
3 |
-4 |
6 |
-8 |
0 |
|
-1 |
3 |
-7 |
13 |
-21 |
|
|
Отже, корінь є другої кратності.
Приклад 10. Розкласти на суму простіших дробів І і ІІ типу дріб
.
Звідси, прирівнюючи чисельники (бо знаменники однакові) маємо:
Отже, .