Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / опорний конспект многочлени.doc
Скачиваний:
320
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
3.06 Mб
Скачать

Многочлени. Дії над ними.

Многочлени від однієї змінної. Дії над ними.

Зміст попередніх розділів, особливо теорія визначників та теорія систем лінійних рівнянь, виник в якості безпосереднього розвитку того напрямку в шкільному курсі алгебри, який, починаючись з одного рівняння першого степеня з однією змінною, привів до систем двох і трьох рівнянь 1-шо степеня з двома і 3-ма змінними, відповідно.

Іншим напрямком в елементарній алгебрі був перехід від рівняння 1-шо степеня з однією змінною до довільного квадратного рівняння з однією змінною, а тоді до часткових випадків рівнянь третього та четвертого степенів.

Цей напрям виріс в досить великий та змістовний розділ вищої алгебри, присвячений вивченню довільних рівнянь n-степеня з однією змінною.

До вивчення цього розділу ми й приступаємо зараз.

Означення многочлена від однієї змінної

Поняття многочленна, або цілої раціональної функції, від змінної x виникло у зв’язку з задачею розв’язування алгебраїчних рівнянь першого і вищих степенів з однією змінною, задачею, якою займалися вже в глибокій давнині.

Ще за 2000 років до нашої ери у древньому Вавилоні вміли розв’язувати задачі, які зводяться до квадратних рівнянь, а за допомогою таблиць розв’язували задачі, які зводилися і до рівнянь третього степеня.

Загальний вигляд рівняння n-степеня :

, (1)

де - коефіцієнти рівняння (1), причому старший коефіцієнт;- вільний член.

Якщо задано рівняння (1), то, очевидно, поставлено завдання про розв’язування цього рівняння, тобто знаходження таких значень змінної x, які задовольняють це рівняння.

Проте, корисно замінити задачу розв’язування рівняння (1) задачею більш загального дослідження лівої частини цього рівняння, яку називають многочленом. Отже,

Означ.1. Многочленом (або поліномом) n-степеня від змінної x називають скінчену суму доданків, кожен з яких є добутком цілої невід’ємного степеня змінної x з деяким коефіцієнтом із :

, (2)

де ,- коефіцієнти многочленна,

причому – старший коефіцієнт многочленна,– вільний член.

Означ.2. Доданок, який містить змінну x у найвищому степені, називають старшим членом многочленна :.

Доданок, який не містить змінної x (тобто містить ), називають вільним членом многочленна:.

Зокрема, якщо , томає степінь, тобто є многочленом нульового степеня.

Якщо , то такий многочлен називають нульовим многочленом (або нуль – многочленом):.

Означ.2. Два многочлени таназиваються рівними (або тотожно рівними),

,

Якщо в них рівні коефіцієнти при однакових степенях змінної x. У протилежному випадку – нерівні: .

Члени многочленна можна записувати як за спадними степенями змінної x, так і за зростаючими степенями:

(3)

(3) – запис за зростаючими степенями;

(2) – запис за спадними степенями;

Дії над многочленами

  1. Додавання многочленів.

Нехай задано два многочлени з довільними коефіцієнтами, записані за зростаючими степенями змінної x (для зручності):

,

.

Якщо, наприклад , то сумою многочленівтаназивається многочлен

де

(причому, при коефіцієнти).

Отже, коефіцієнти многочлена є сумою коефіцієнтів многочленівта, які стоять біля однакових степенів змінноїx.

У випадку отримаємо аналогічне правило додавання многочленів.

Зауваження 1.

Означ.4. Многочлен

називається протилежним до :

.

Звідси випливає правило віднімання многочленів та:

При відніманні двох многочленів віднімаються коефіцієнти біля відповідних степенів змінної x.

Наприклад: ,

  1. Множення многочленів.

Означ.5. Добутком многочленів таназивається многочлен

де

тобто коефіцієнти є результатом множення тих коефіцієнтів многочленівта, сума індексів яких рівна, та додавання таких добутків.

Зокрема,

…………………………..

Із останнього, оскільки ,, то.

Зауваження 2. – степінь добутку двох многочленів дорівнює сумі степенів цих многочленів.

Висновок 1. Щоб перемножити два многочлени потрібно кожен доданок першого многочлена перемножити на кожен доданок (одночлен) другого многочленна і потім звести подібні (коефіцієнти біля однакових степенів змінної x – додати).

Висновок 2. Добутком двох ненульових многочленів є ненульовий многочлен, степінь якого дорівнює сумі степенів даних многочленів.

Висновок 3. Добутом нульового многочленна на довільний многочлен – нульовий многочлен.

Наприклад: ,

  1. Властивості операцій додавання та множення многочленів.

Із введених вище правил додавання і множення многочленів та із властивостей дій над дійсними (чи комплексними) числами випливає справедливість наступних тверджень:

.

Висновок: Множина всіх можливих многочленів від змінної x

відносно дій додавання і множення многочленів утворює асоціативно-комутативне кільце многочленів (подібне до кільця цілих чисел ).

  1. Ділення многочленів.

Розглянемо добуток

(4)

Виникає питання: чи для довільного многочленна існує многочлен, який задовольняє умову (4)?

Якщо , то такого многочленане існує, бо зліва буде многочлен >0, а справа – многочлен нульового степеня.

Висновок: Для многочлена ненульового степеня не існує оберненого до нього многочлена (тобто такого многочленна, який в добуток з даним дає одиницю 1).

Обернений многочлен існує лише для многочленів 0-го степеня, відмінних від нульового многочленна. Причому, в цьому випадку обернений єдиний:

Розглянемо функцію . Із попереднього випливає, що лише в окремих випадках функціябуде многочленом.

Наприклад: – многочлен ;

–дробово-раціональна функція (не многочлен)

Отже, в загальному випадку, результат ділення двох многочленів не є многочлен.

Тому в множині многочленів дія, обернена до дії множення, не виконується.

Це наводить на думку, що для многочленів можна побудувати теорію подільності, аналогічну до теорію подільності цілих чисел.

Наприклад: