- •Многочлени. Дії над ними.
- •Означення многочлена від однієї змінної
- •Дії над многочленами
- •Теорема про ділення многочленів з остачею
- •Подільність многочленів. Дільники. Спільні дільники. Алгоритм Евкліда знаходження нсд двох многочленів.
- •Означення спільного дільника та найбільшого
- •Алгоритм Евкліда знаходження нсд двох многочленів .
- •Корені многочленів.Теорема Безу. Схема Горнера
- •Основна теорема алгебри комплексних чисел та наслідки з неї.
- •(Без доведення).
- •Алгебраїчне знаходження коренів многочлена.
- •Многочлени над полем раціональних чисел.
- •Властивості незвідних у полі многочленів
- •Знаходження раціональних коренів многочленів з раціональними (цілими) коефіцієнтами.
- •Раціональні дроби
- •Межі дійсних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами.
- •Теорема Штурма. Кількість дійсних коренів многочлена - ними коефіцієнтами.
- •3 0 0 -5 3
- •Відокремлення коренів методом Штурма.
Відокремлення коренів методом Штурма.
Поставимо завдання: З’ясувати, скільки дійсних коренів множина з дійсними коефіцієнтами знаходження в довільному наперед заданому інтервалі , .
Багато зусиль доклали математики 17-19 ст., щоб розв’язати питання про розміщення (дійсних) коренів множина. Його вивчали такі видатні математики, як Ролля, Декарт, Маклорен, Фур’є та інші. Лише у 1829 р. французький математик Ж.Ш.Штурм (1803-1855) до кінця розв’язав проблему відокремлених коренів, довівши свою відому теорему. Результат Штурма, опубліковано у 1835 р., одразу отримав загальне визначення ті схвалення. Цікаво, що сам Штурм у своїх лекціях подавав його зі словами «Ось теорема, ім’я якої я маю честь носити».
Незабаром Коші (в 1831 р.) узагальнив теорему Штурма на випадок комплексних коренів.
Нехай задано многочлен , який не має кратних коренів.
Побудуємо для деяку послідовність многочленів, які пов’язані з множником - т. зв. Систему многочленів Штурма (або ряд Штурма), який відіграє основну роль в методі Штурма.
Шукаємо похіднута будуємо длятаалгоритм, подібний до алгоритму Евкліда. Відмінність – всі остачі беремо з протилежними знаками, замінюючи їх множниками.
Маємо:
,
,
,
....................................... (1)
,
…………………………
,
.
Оскільки НСД =1 (не має кратних коренів, за припущенням), то- це і є остання ненульова остача при такому діленні (1).
Означення 1. Послідовність многочленів
,,,,…,, (2) називається рядом многочленів Штурма (системою).
Зауваження 5.Оскільки в методі Штурма важливим є не самі функції ряду Штурмана чи їх значення, а лише знаки числових значень цих функцій, то функція ряду (2) можна будувати з точністю до сталого додатного множника, тобто виконувати ділення з остачею, помножувати на сталі додатні множники.
Означення 2.Покладемо в ряді функцій , де- деяке число. Тоді скінченна послідовність многочленів (2) перетворюється на послідовність чисел
,,,,…,,
Кількість знакозмін у цій послідовності чисел називається кількістю знакозмін у ряді Штурма (2) в точці і позначають.
Розглянемо основні властивості ряду многочленів Штурма (2) .
Лема 1.Жодні два сусідні многочлена ряду Штурма (2) не мають спільних коренів.
Доведення. (від супротивного): Нехай - спільний корінь многочлена та, тобто
.
Тоді із (1) бачимо, що . Аналогічно переконуємося, що . Але рівністьозначає, що множникмає кратний корінь , а за припущенням, не має кратних коренів. Суперечність. Лему доведено.
Лема 2. Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма (2), то значення сусідніх з нею функцій ряду Штурма мають у цій точці протилежні знаки.
Доведення. Нехай . Тоді, згідно з лемою 1,
та .
Із (1) маємо , де , що й доводить лему (вони однакові, але мають протилежні знаки).
Зауваження 6. Оскільки кожна функція в ряді Штурма (2)- це многочлена, а тому неперервна на всій дійсні осі, отже вона може змінити знак лише при проходженні аргумента через її корінь. Отже, якщо, зростаючи, не проходить через корінь жодної з функцій ряду Штурма (2), то знаки всіх многочленів цього ряду, а тому й кількість знакозмін у ньому залишається незмінними.
Розглянемо тепер як впливатиме на кількість знакозмін в ряді Штурма проходить через корінь однієї з функцій цього ряду.
Лема 3. Якщо , зростаючи, проходить через корінь будь-якої проміжної функції ряду Штурмана, але не проходить через корінь многочлена, то число знакозмін у ряді Штурмана при цьому не змінюється.
Доведення. Нехай - корінь довільного множника . Зауважимо одразу, що, бота- за умовою.
При та(лема 1) таімають протилежні знаки (лема 2).
В силу неперервності многочленів ,та, можна підібрати такий окіл точки, де функціїтазберігають свій знак.
Нехай це буде окіл .
Дослідимо кількість знакозмін у ряді трьох функцій ,,, якщо, зростаючи змінюється в межах цього околу.
Схематично зобразимо можливі варіанти:
|
Знак
|
Знак
|
Знак
|
|
- |
|
+ |
1 | |
|
- |
0 |
+ |
1 |
- |
|
+ |
1 |
або
|
Знак
|
Знак
|
Знак
|
|
+ |
|
- |
1 | |
|
+ |
0 |
- |
1 |
+ |
|
- |
1 |
У цих табличках не заповнено місце для знаків в околі точки, бо вони не впливають на кількість знакозмін (які би знаки там не стояли, в кожному рядку кількість знакозмін рівна 1).
Отже, і при , і прикількість знакозмін у системі многочленів,,однакова.
Щодо решти функцій ряду Штурма, то тут можливі лише два випадки:
а)або всі ці функції ряду Штурма не перетворюються в нулі при і тому зберігають свої знаки в досить малому околі точки;
б)або деяка з проміжків функцій(але не чи) перетворюється в нуль при, але тоді для неї та двох її сусідніх многочленів кількість знакозмін залишається однаковою, як і для трьох функцій, розглянутих вище.
Отже, в цілому, кількість знакозмін залишається сталою для всього ряду Штурмана. Лема 3 доведена.
Лема 4. Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочлена, то кількість знакозмін в ряді Штурма зменшується на одиницю.
Доведення. Нехай - корінь довільного множника . Тоді
, але ,
бо множник не має кратних коренів (за умовою).
Виберемо так, щоб воколі точкифункціїне змінювала знак (окіл).
Можливі два випадки:
1) в цьому околі ().
- зростаюча.
Тоді - зростаюча в околі точки.
Отже, при
при .
Маємо табличку знаків:
|
Знак |
Знак |
|
|
- |
+ |
1 |
|
0 |
+ |
0 |
|
+ |
+ |
0 |
2) в околі. Тоді- спадна. Тому отримуємо таку таблицю знаків:
|
Знак |
Знак |
|
|
+ |
- |
1 |
|
0 |
- |
0 |
|
- |
- |
0 |
В обох випадках кількість знакозмін у цій частині ряду Штурма зменшується на одиницю, Щодо інших функцій ряду Штурма, то на підставі леми 3 для них кількість знакозмін не змінюється, навіть якщо проходить при цьому через корені деяких з них. Лема 4 доведена.
Леми 3 і 4 показують, що на кількість знакозмін у ряді Штурма впливає лише проходження через корені многочлена. Отже, зміна цього числа на певному проміжку може характеризувати кількість дійсних коренів множникана цьому проміжку.
Теорема 2.(Штурма). Якщо ()- довіль дійсні числа, які не є коренями множника , то кількістьдійсних коренів многочленана інтервалі дорівнює
, (3)
де - кількість знакозмін у ряді Штурма відповідно в точках .
Доведення. Якщо , зростаючи віддоне пройде через жоден корінь множника, то, згідно з лемою 3,
.
Якщо ж , зростаючи, пройде черезкоренів множника, то проходженні через кожен корінь кількість знакозмін зменшується на 1 (лема 4). А тому числобуде наодиниць більше, ніж, тобто
.
Теорему доведено.
Зауваження 1. В теоремі 2 зазначено, що іне є коренями множника. Якщо ж(або) є коренем, то питання про розміщення цього кореня розв’язалася автоматично, а для визначення положення інших коренів слід змінити межі вибраного інтервалу, або розглядати многочлена, який отримаємо діленням на.
Зауваження 2. Якщо з проміжних функцій ряду Штурма не має дійсних коренів, то можна не шукати наступних многочленів ряду Штурма і теорему Штурма застосовувати до укороченого ряду
Дійсно, кількість знакозмін у «залишковому» ряді Штурма
(*)
є сталою (бо може пройти лише через коріньпроміжної функції ряду (*), що за лемою 3 не впливає на кількість знакозмін у цьому ряді). А тому різниця при такому «укороченні» не зміниться.
Приклад. Знайти кількість додатних та від´ємних коренів многочлена
. Відокремити корені.