Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / опорний конспект многочлени.doc
Скачиваний:
320
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
3.06 Mб
Скачать

Алгебраїчне знаходження коренів многочлена.

Перейдемо тепер до основного завдання даного розділу – до знаходження коренів довільного многочлена через коефіцієнти цього многочлена. Цю задачу називають також проблемою розв’язування алгебраїчних рівнянь в радикалах:

вираження коренів рівняння через його коефіцієнти за допомогою дій

Нехай задано многочлен -го степеня

,

Знаходження коренів цього рівняння можливе тоді і тільки тоді, коли розв’язано рівняння

Зауважимо, що пошуки методів доведення основної теореми алгебри, призвели до спроб виведення явних формул для знаходження коренів довільного многочлена. Наведемо ці міркування.

Рівняння першого та другого степенів.

а) Розглянемо рівняння першого степеня

Його розв’язком є число

б) Розглянемо рівняння другого степеня

Оскільки , то перед коренем можна не писати, бо квадратний корінь з комплексного числа має два значення. Отже,

корені рівняння другого степеня.

Рівняння третього степеня.

На відмінну від випадку квадратного рівняння, досі ми не мали методу для розв’язання довільного кубічного рівняння, навіть з дійсними коефіцієнтами. Виведемо зараз формулу коренів кубічного рівняння, аналогічно формулі для квадратного рівняння.

Розглядаємо кубічне рівняння

Перепозначивши, маємо:

Виконуємо заміну таку, щоб коефіцієнт при перетворився в нуль (це залежить від вибору ):

Отже, .

Тоді, виконуючи заміну

отримаємо, що рівняння (1) матиме вигляд:

де

Рівняння (3) називають зведеним кубічним рівнянням.

Є багато способів знаходження коренів рівняння (3). Розглянемо один з них, який носить назву “методу Кардано”.

Розв’язок рівняння (3) будемо шукати у вигляді , і параметрита будемо шукати так, щоб задовольнити умову (3).

Зрозуміло, що замінивши одну змінну двома, можна одну з них вибрати на власний розсуд, або накласти на та умову.

Маємо:

або

Накладаємо на та умову

Тоді маємо:

Тобто знаходження коренів рівняння (3) звелося до розв’язування системи (5) відносно і, котрі пов’язані співвідношенням

Із теореми Вієта маємо, що і можна розглядати як корені квадратного

рівняння

(7)

Отже,

(8)

– корені рівняння (7).

(можна взяти навпаки ).

Отже,

(9)

де – називають дискримінантом кубічного рівняння.

Отже,

(10)

– один із коренів кубічного рівняння (3).

(10) – це і є формула Кардано для коренів кубічного рівняння (3).

Оскільки кожен з кубічних коренів (9) має 3 значення, то можна думати, що комбінуючи три значення для з трьома значеннями для, отримаємо 9 різних значень за формулою (10). Проте не варто забувати, що система (5), яку ми фактично розв’язували, не еквівалентна системі (6), бо рівняння

(над С)

Внаслідок цього отримаємо зайві корені. Тому слід вибрати лише ті значення коренів (9), які задовольняють умову .

Розглянемо цей момент детальніше. Для цього нагадаємо, що якщо корені третього степеня з одиниці, а– одне з значень

(див. (8)), то решта значень кореня можна отримати так:

Оскільки

то та . Тому

(11)

Аналогічні співвідношення маємо і для

Умова (4) вказує, що кожне зі значень можна комбінувати тільки з одним зі значень

Позначимо через те значення змінної, яке відповідає. Тобто

Тоді

Отже три значення повністю визначають відповідні їм значення , а тому для маємо не дев’ять, а лише три значення:

(12)

де – одне зі значень кореня а – відповідне йому значення

Формули (12) дають всі розв’язки зведеного кубічного рівняння (3). Для того, щоб отримати розв’язки рівняння (1) використаємо заміну (2), тобто

– розв’язки заданого кубічного рівняння (1).

Рівняння четвертого степеня.

Нехай задано рівняння четвертого степеня

(13)

Є багато способів розв’язування такого рівняння. Одним з них був запропонований учнем Кардано Людовіком Феррарі (1522-1565) і викладений у трактаті Кардано “Велике мистецтво в питаннях алгебри” (1545 р.).

Підстановкою зводимо рівняння (13) до вигляду:

(14)

Перетворимо ліву частину рівняння (14), використовуючи допоміжний параметр :

тобто

(15)

Підберемо тепер параметр так, щоб квадратний тричлен, що стоїть в квадратних дужках і (15) був повним квадратом. Для цього його дискримінант має дорівнювати нулю:

(16) – це кубічне рівняння відносно змінної з комплексними коефіцієнтами. Як ми вже знаємо, таке рівняння має три комплексні корені.

Нехай – один з цих коренів (його можна виразити через коефіцієнти рівняння (16), за допомогою формул Кардано, а тому він виражається й через коефіцієнти рівняння (14)).

При такому виборі для многочлен, який стоїть в квадратних дужках у рівняння (15), має двократний корінь . А тому рівняння (15) набуває вигляду:

.

Воно розпадається на два квадратні рівняння:

(17)

Оскільки від рівняння (14) до рівняння (17) ми прийшли за допомогою тотожних перетворень, то корені рівняння (17) будуть коренями рівняння (13). Крім того, нескладно помітити що корені рівняння (14) (а також і рівняння (13)) при цьому будуть алгебраїчно виражатися через його коефіцієнти.

(Не виписуємо ці формули в силу їх громіздкості).

Зауваження про рівняння вищих степенів.

У той час як методами розв’язування квадратичних рівнянь володіли ще древні греки, відкриття викладених вище методів розв’язування рівнянь третього і четвертого степенів відносяться до XVI століття.

Після цього майже три століття продовжували марні спроби зробити наступний крок, тобто знайти формули, які виражаються за допомогою радикалів корені довільного рівняння п’ятого степеня (тобто рівняння п’ятого степеня з буквеними коефіцієнтами) через його коефіцієнти. Ці спроби зупинилися тільки після того, як Абель (1802-1829) у 20-тих роках XIXстоліття довів, що такі формули для рівняння -го степеня для довільногознайти неможливо.

Цей результат Абеля не виключав, однак, можливості того, що корені кожного конкретного многочлена з числовими коефіцієнтами все-таки виражаються через коефіцієнти за допомогою радикалів

Повністю питання про умови, при яких задане рівняння розв’язане в радикалах, було досліджено Еварістом Галуа (1811-1832) у 30-тих роках XIXстоліття.

Виявилося, що для кожного , починаючи з, можна вказати нерозв’язні в радикалах рівняння-го степеня навіть з цілочисельними коефіцієнтами.

Питання розв’язності рівнянь в радикалах вивчається в теорії Галуа (це один з розділів алгебри, початок якому дали дослідження Галуа).