- •Многочлени. Дії над ними.
- •Означення многочлена від однієї змінної
- •Дії над многочленами
- •Теорема про ділення многочленів з остачею
- •Подільність многочленів. Дільники. Спільні дільники. Алгоритм Евкліда знаходження нсд двох многочленів.
- •Означення спільного дільника та найбільшого
- •Алгоритм Евкліда знаходження нсд двох многочленів .
- •Корені многочленів.Теорема Безу. Схема Горнера
- •Основна теорема алгебри комплексних чисел та наслідки з неї.
- •(Без доведення).
- •Алгебраїчне знаходження коренів многочлена.
- •Многочлени над полем раціональних чисел.
- •Властивості незвідних у полі многочленів
- •Знаходження раціональних коренів многочленів з раціональними (цілими) коефіцієнтами.
- •Раціональні дроби
- •Межі дійсних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами.
- •Теорема Штурма. Кількість дійсних коренів многочлена - ними коефіцієнтами.
- •3 0 0 -5 3
- •Відокремлення коренів методом Штурма.
Многочлени над полем раціональних чисел.
Звідність і незвідність многочленів.
Як вже нагадували вище, для многочленів можна вказати розклади на множники, аналогічні розкладу цілих чисел на добуток простих множників. Визначимо спочатку ті многочлени, які відіграють в кільці многочленів аналогічну роль, яку в кільці відіграють прості числа.
Зауважимо, що будемо далі вивчати многочлени, степінь яких .
Знаємо, що будь-який многочлен ділиться на будь-яке ненульове число. Тобто можна записати, що , де
Нехай задано многочлен ,, з коефіцієнтами з поля .
Означ.1. Многочлен ,, з коефіцієнтами з поля називається звідним у полі, якщо його можна подати у вигляді добутку двох многочленів:
з коефіцієнтами з поля , степені яких менше ніж:
У протилежному випадку, називається незвідним у полі.
Отже, – звідний
–незвідний
Зауважимо, що про звідністьможна говорити лише відносно деякого поля, оскільки многочлен, незвідний у деякому полі, може бути звідним у розширенні цього поля.
Наприклад.
1) – незвідний у полі.
–звідний у полі .
2) – незвідний у полі.
–звідний у полі .
3) – звідний у полі.
Властивості незвідних у полі многочленів
Кожен многочлен першого степеня є незвідним у полі .
Якщо деякий многочлен – незвідний у полі, то незвідним буде і многочлен
Якщо добуток , де– незвідний многочлен, то хочаб один з многочленівабоділиться на.
Якщо – довільний многочлен,– незвідний многочлен, то або, абоівзаємно прості.
Теорема 1. Довільний многочлен з коефіцієнтами з полястепенярозкладається на добуток незвідних множників.
Такий розклад єдиний з точністю до запису співмножників.
(без доведення).
Теорема 2. У полі незвідними є лише многочлени першого степеня вигляду
Теорема 3. У полі незвідними є лише многочлени першого степеня з дійсними коефіцієнтами вигляду , які відповідають дійсним кореням та многочлени другого степеня з дійсними коефіцієнтами вигляду , які відповідають парам комплексних спряжених коренів (дискримінант квадратного тричлена менше нуля: ).
Теорема 4. Многочлен з раціональними коефіцієнтами степенябуде звідним у полі, якщо він має хоч один раціональний корінь.
Теорема 5. Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами незвідний у множині цілих чисел, то він буде незвідним у множині.
(без доведення).
За допомогою наступної теореми можна розв’язувати питання про незвідність многочленів з цілими коефіцієнтами у полі .
Критерій Ейзенштейна (достатня умова незвідності многочлена у полі ):
Якщо у многочлені з цілими коефіцієнтами
і якщо існує таке просте число , що:
1) коефіцієнти
2)
3)
то многочлен – незвідний у полі.
(без доведення).
Наприклад:
1)
–незвідний у полі .
(цей многочлен має корені , але).
2) – звідний у полі, бо немає простого, щоб виконати умови критерію Ейзенштейна.
3) – незвідний у полі, бо
Зауваження: Із критерію Ейзенштейна існування многочленів довільного ненульового степеня з цілими коефіцієнтами, незвідні у полі.