Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / Пит. та завд. для контролю і самоконтролю
.DOCПитання та завдання для поточного самоконтролю
та контролю знань
Питання:
-
Многочлени від однієї змінної. Додавання, віднімання та множення многочленів. Властивості цих дій.
-
Ділення многочленів. Теорема про ділення многочленів з остачею. Подільність многочленів. Властивості подільності.
-
Дільники многочлена. Спільні дільники двох многочленів. Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
-
Взаємно прості многочлени, їх властивості.
-
Корінь многочлена. Теорема Безу. Кратні корені.
-
Схема Горнера та її застосування до знаходження значення многочлена та його похідних в точці, до розкладу многочлена за степенями (x-a).
-
Основна теорема алгебри про існування коренів многочлена від однієї змінної. Розклад многочлена на множники.
-
Формули Вієта. Інтерполяційна формула Лагранжа.
-
Алгебраїчні методи знаходження коренів многочленів через їх коефіцієнти. Формули Кардано. Метод Феррарі (на практиці).
-
Знаходження раціональних коренів многочленів з раціональними коефіцієнтами. Звідність поліномів над полем раціональних чисел.
-
Раціональні дроби. Дії над ними. Властивості цих дій. Правильні, неправильні, скоротні та нескоротні раціональні дроби. Прості дроби 1-го та 2-го типу. Основна теорема про раціональні дроби.
-
Означення та формули обчислення верхньої та нижньої меж додатних і верхньої та нижньої меж від'ємних коренів многочлена від однієї змінної.
-
Система многочленів Штурма. Теорема Штурма про кількість на відрізку коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.
-
Теореми Бюдано-Фур’є та Декарта про кількість на відрізку коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.
-
Наближене обчислення коренів многочленна з дійсними коефіцієнтами. Метод хорд. Метод дотичних (на практиці).
Завдання:
-
За допомогою алгоритму Евкліда обчислити найбільший спільний дільник многочленів та .
-
Знайти найбільший спільний дільник многочленів та .
-
Для многочленів та побудувати многочлени та , які задовольняють рівність , де , використовуючи: а) алгоритм Евкліда; б) метод невизначених коефіцієнтів.
-
Розділити многочлен з остачею на та обчислити значення , якщо: а) ; б) .
-
Знайти значення многочлена при: а) ; б) .
-
Користуючись схемою Горнера, розкласти за степенями многочлен .
-
Виписати значення многочлена та всіх його похідних при .
-
Знайти значення для коефіцієнта так, щоб многочлен мав число коренем не нижче другої кратності.
-
При яких значеннях та многочлен має двократний ненульовий корінь?
-
Довести, що многочлен має число трикратним коренем.
-
Чому дорівнює кратність кореня для многочлена ?
-
Розкласти на суму простіших дробів І і ІІ типу дріб: а);б);в).
-
Знайти многочлен найменшого степеня за таблицею його значень: .
-
Побудувати многочлен четвертого степеня зі старшим коефіцієнтом 1, який має: а) корені ; б) трикратний корінь –1 та простий корінь ; в) дійсні коефіцієнти та корені та .
-
Знайти раціональні корені многочлена: а) ; б) ;
в) .
-
Використовуючи теорему Штурма, відокремити дійсні корені многочлена:
а) ; б) .