ZbLAAG_Diskant_1

І. МАТРИЦІ І ДЕТЕРМІНАНТИ

І.І. Матриці, дії над матрицями

Означення 1.1. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел

a11	a12	...	a1n
	a22
a21		...	a2n	,	(1.1)
.	.	.	.
	am2
am1		...	amn
що містить m рядків та n стовпців.
Якщо m=n, то матриця називається		квадратною,			а число m, що

дорівнює n, - її порядком. В загальному випадку матриця називається прямокутною (розмірів m n). Числа aij , що утворюють матрицю

називаються її елементами.

В запису aij перший індекс i означає номер рядка, а другий індекс

j - номер стовпця.

Поряд з позначенням (1.1) використовують ще й таке позначення матриці

	a11	a12	...	a1n
	a21	a22	...	a2n
	.	. . .
	am1 am2 ... amn
або	скорочено aij (i=1,2,...,m;		j=1,2,...,n). Часто матрицю (1.1)
позначають однією буквою А.
	Матриця, що складається з одного стовпця

a1a2..a.n

називається матрицею-стовпцем.

Матриця, що складається з одного рядка a1 a2 ... an , називається

матрицею-рядком.

Для квадратної матриці вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною діагоналлю називається діагональ, яку утворюють елементи a11, a22, ..., ann, побічною - діагональ, яку утворюють елементи an1, a(n-1)2,..., a1n.

7

сij aij bij

Квадратна матриця, всі елементи якої, за винятком елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто матриця, що має вигляд

d1	0	...	0
	d2
0		...	0		,
.	.	.	.
0	0	...	dn

називається діагональною.

Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою і позначається буквою О.

Рівність матриць. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові розміри і всі їх відповідні елементи збігаються.

Додавання матриць. Сумою А+В=С двох матриць А і В, однакових розмірів m n, називається матриця С тих же розмірів, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць А і В, тобто

(i=1, 2,...,m; j=1, 2,..., n).

Операція знаходження суми матриць називається операцією додавання матриць.

Властивості операції додавання матриць:

1.А +В =В +А (комутативна властивість).

2.(А +В )+С =А + (В +С ) (асоціативна властивість).

Множення	матриці	на число. Добутком А=С	матриці А= aij
розмірів m n на	число	називається матриця С= cij	тих же розмірів,

елементи якої одержуються із відповідних елементів матриці А множенням на число , тобто

cij aij (i=1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n).

Операція знаходження добутку матриці на число називається операцією множення матриці на число.

Властивості множення матриці на число:

1.(А + В )= А + В (дистрибутивна властивість числового множника відносно суми матриць).

2. ( )А= А+ А (дистрибутивна властивість матричного множника відносно суми чисел).

3. ( )А= ( А) (асоціативна властивість).

Різниця А-В двох матриць однакових розмірів визначається рівністю

А-В =А+(-1)В.

8

Множення матриць. Добутком АВ =С матриці А розмірів m n і матриці В розмірів n p називається матриця С розмірів m p, елемент cij якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів i-го рядка матриці А і елементів j-го стовпця матриці В, тобто

n

cij aik bkj (i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., p).

k 1

Операція знаходження добутку матриць А і В називається операцією множення матриць А і В.

Зауваження 1.1. Операція множення двох матриць можлива лише в тому випадку, коли число стовпців в першому співмножнику дорівнює числу рядків в другому.

Властивості операції множення матриць:

1.(АВ )С =А ( ВС ) (асоціативна властивість).

2.А (В + С ) =АВ +АС (дистрибутивна властивість першого множника).

3.( А + В )С = АС + ВС (дистрибутивна властивість другого множника).

Множення матриць в загальному випадку не підлягає комутативній властивості.

Якщо АВ =ВА, то матриці називаються комутативними. Транспонування. Нехай дана матриця

	a11	a12	...	a1n
		a22
	a21		...	a2n
A = .		.	.	. .
		am2
	am1		...	amn
Матриця
	a11	a21	...	am1
		a22		am2
T	a12		...
A = .		.	.	.		,
		a2n
	a1n		...	amn

одержана із А заміною рядків на стовпці з збереженням порядку їх слідування, називається транспонованою до А .

Операція заміни матриці А на A Т називається транспонуванням матриці А.

9

Властивості транспонування матриці:

1.(А +В )T =А T+В T.

2.( А )T = А T.

3.(АВ )T=В TА T.

4.(А T)T=А .

Якщо квадратна матриця S збігається зі своєю транспонованою матрицею S T, тобто S =S T, то така матриця називається симетричною. Якщо квадратна матриця К відрізняється знаком від своєї транспонованої матриці К T, тобто К=-К T, то така матриця називається кососиметричною.

Означення 1.2. Цілим додатним степенем А n квадратної матриці А є добуток n матриць, рівних А .

Задача з розв'язком Задача. Знайти f(A), якщо f(x)=x2-x-1,

	2	1	1
A=	3	1	2 .
		1
1			0

Зауваження 1.2. Якщо в многочлені f(x) аргумент x покладають рівним квадратній матриці А, то вільний член a цього многочлена замінюють на матрицю aЕ, де Е - одинична матриця того ж порядку, що і

А .

Розв'язок.

				2	1 1				2 1			1		2	1 1				1 0	0
f(A)=A2-A-Е				3	1				3	1				3	1				0 1
							2					2				2				0
					1					1					1
			1				0 1					0	1			0		0 0		1
	4 3 1 2 1 1 2 2 0											2 1			1	1
	6 3														1 1 2
			2 3 1 2 3 2 0										3
															1
2 3			0 1 1 0 1 2 0									1				0 1
		8 2			4			3		1 1			5 1		3
		11 2			5			3		2 2			8 0		3
	1 0				1		1		1 1			2 1			2

10

Задачі для розв'язування

В задачах №№ 1-6 обчислити А +В :

					1		2 4									3			5 0												1	2 1									1	3 7
1. A=					2 1				5 , B=							2		1 7 .							2. A=						0	5 2 ,						B=			2	4 3 .
				3			0 1								4				3 2										4			6 2								5		6 4
						2 0 3										1		1 1												1 0 2										1 1 2
3. A=						3	0 5			, B=						3			4 1 .						4. A=					2		3 0 , B=								1 3				2 .
						1	1 17									4			6 2											3 4 3										4		1 1
				0			1 3								2				5 6										1			5 1							3 2					1
																																				1				1
5. A= 1 2								3 4 5 , B= 0											4 1 0							3 .						6. A=				2		, B=			3	.
																																				3				4
				В задачах №№ 7-10 знайти лінійні комбінації матриць:
														1			3						1		4
7. 2A+5B, якщо А=														2			4		, В=				3		6 .
												1					5				2				7
8. 2А-3В, якщо А=											0				1 2					, В=					1	1 1
																															.
											3 4								2						3	4 3
												2
9. А-			1		В, якщо А=											5			, В=					0		6
																										.
			2										3			4								12
																										3
												0				1 2									1	1 1
10. -А+2В, якщо А=																					, В=					4					.
												3 4							2						3						3
				В задачах №№ 11, 12 знайти x1 і x2																									із рівнянь:
			1																								1
11.		x		2				1			2		.												12.			x				4	2		5		1
									3																													.
	x2						3				4																x2						0					3
				В задачах №№ 13-21 транспонувати матриці:
	5 0						7		6																						2 3 4							5					1		0 0
13.										. 14.									3		4					. 15.					6		7		8			9		. 16.			0			17.
							2										1							5																					1 0
	3 8									1																									1
																													10 11									3				0			0 1
	1		0 1							3		0								1							2 3					4						1 1 1
	3		4			2	. 18.			4		5 .				19.			3 .						20.		5		1			0 .				21. 1 1						1 .
																				3
2			5 3						7			8								0						3 1						1						1 1 1

11

В задачах №№ 22, 23 знайти добутки матриць АВ і ВА:

					1			2				4							1	2 3									1 0			4					2 1
22. A=					1			2				4		, B=					2	4	6	.	23. A=						2		3	3	, B=				1		1
					1			2
												4						3		6 9								1 2				1		3 2
			В задачах №№ 24, 25 обчислити АВ-ВА:
					1		2 1										4		1 1								2 1					0		3					1
24. A=					2		1	2				,	B=			4			2	0 .		25. A=					1				1	2 , B=		3					2
					1
							2 3								1				2 1						1 2							1	3 5
			В задачах №№ 26-35 обчислити АВ:
					2 1 2										3		1									3 0						1					2
26. A=												, B=										27. A=
															1		0 .																, B=				1	.
					0 3 1																					4 1						1
														2			1																	1
					1 1					0						1		3										0 1				2			3
28.	A=																																, B=
												, B=				0		4 .					29. A=												2 .
					2 3 4																							3 2				1
															0			1																	1
					4		1				0						3																	2
30.	A=				2		2				1		, B=				2	.				31. A=						3			2 1 ,		B=	1 .
					0
							4 5										1																	4
					3																				2
32.	A=					, B=					3		2									33. A=			4							0	1	2					.
					1									1 .											5		, B= 1
					2
																									6
					1		2 3								2				1		1									1 2		3				1
34.	A=				2		1	1				, B=			1				0		1	.	35. A=							2	4	6	, B=			1 .
					1														1
							3 1							5						3								3 6				9		2
			В задачах №№ 36, 37 знайти добутки матриць:
							28
36.			4		3								93				7		3
																			.
	7				5 38								126 2						1
			0			2		1					70			34			107			27	18					10
37.		2			1
									2				52			26				68	46		31					17 .
			3		2											50						3	2						1
										1 101									140

0

0 .

1

2

4 .

1

12

В задачах №№ 38-44 обчислити вирази:

		1	2 3				1		1 5				2		1 n			cos		sin				n		1	1 n
38.					39.																			. 42.
				.							. 40.					. 41.				cos							.
	3			4		0			2			3				2	sin								0		1
							b1			0	0	...		0	k
		a	1					0		b2	0	...		0
				n
43.					44.						b3				.
			.					0		0		...		0
	0		a									.		.
							. . .
										0	0	...
							0							bn
45. Довести, що T 2									ch2			sh2		, якщо			T	ch		sh
																					.
									sh2			ch2						sh		ch
																			0	1	0
																			0	0			А=О.
46. Знайти загальний вигляд матриці А, для якої																					1
																				0
																		0			0
47. Дано матриці
										0	0	1				1 0	0			1	1
			1 0		1					1 1
А=						, В=						2
										2 2		, C=				0 1	2 , D=			2	2	.
			1 2		2							3								1
											3				1 0		1				1
									3			4

Знайти добутки AC, ACD, BD, BC, BCDA .

В задачах №№ 48-51 знайти всі матриці, комутативні з кожною із таких матриць:

	1	2			1 1							1		0	0			1	2
			49.						50.			0		1
48.	1	.					.								0 .		51.			.
		1			0 1									1				3	4
											3				2
52. Обчислити			17		6 5			, використовуючи рівність
			35		12
								6										7
						17							2		3	2	0		3	.
					35				12			5			7 0		3 5		2
	В задачах №№ 53-56 знайти f(A):
								2		1
53. f(x)= x2 5x				3																54.
					, A=						.
							3			3
							1	1	1
f(x)=2x2		3x 5, A=					1	4	1 .
								1
					3				1

13

		2	1	1
55. f(x)= x2 2x 1, A=		3	1	2 .
			1
	1			0

5 2

56. f(x)= x3 7x2 13x 5, A= 1 3

2 2

57. Довести, що матриця

x2 (a d )x ad bc 0 .

31 .1

a	b	задовольняє	рівнянню
А=
c	d

58. Знайти всі матриці другого порядку, квадрат яких	дорівнює
нульовій матриці.

59.Довести, що якщо для матриць А і В існують добутки АВ і ВА, причому АВ =ВА, то матриці А і В - квадратні і мають однаковий порядок.

60. Довести, що якщо А - діагональна матриця і всі елементи її головної діагоналі різні, то довільна матриця, комутативна з А, теж діагональна.

1.2. Детермінанти і їх властивості

Розглянемо квадратну матрицю 2-го порядку

a11	a12
А=
a21	a22

Означення 1.3. Детермінантом другого порядку, складеним з елементів цієї матриці А, називається число, що дорівнює a11a22 a12a21 , яке позначається

|A|= a11 a12 a21 a22

Розглянемо квадратну матрицю 3-го порядку

a	a	a
11	12	13
А= a21	a22	a23	.
	a32	a33
a31

Означення 1.4. Детермінантом 3-го порядку, складеним із елементів цієї матриці А, називається число, що дорівнює

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32

a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 ,

(1.2)

яке позначається

14

a11 a12 a13 |A|= a21 a22 a23 .

a31 a32 a33

Вираз (1.2) складений за таким правилом (правилом трикутника): добуток елементів, розміщених вздовж головної діагоналі і два добутки елементів, що стоять у вершинах двох рівнобедрених трикутників із основами паралельними головній діагоналі і з вершинами в протилежному куті, беруться із знаком плюс. Три добутки, що складені за тим же правилом, але відносно побічної діагоналі, беруться із знаком мінус:

Властивості детермінантів 2-го і 3-го порядку. Властивість 1. Величина детермінанта не зміниться, якщо замінити

кожний його рядок стовпцем із тим же номером, тобто

a11	a12	a13	a11	a21	a31
a21	a22	a23	a12	a22	a32 .
a31	a32	a33	a13	a23	a33

Властивість 2. Перестановка двох рядків (стовпців) детермінанта рівносильна множенню його на (-1).

Наприклад,

a11	a12	a13	a11	a12	a13
a21	a22	a23	a31	a32	a33 .
a31	a32	a33	a21	a22	a23

Властивість 3. Детермінант, який має два однакових рядки (стовпці), дорівнює нулю.

Властивість 4. Множення всіх елементів одного стовпця (рядка) детермінанта на довільне число k рівносильне множенню детермінанта на це число.

Наприклад,

ka11	a12	a13	a11	a12	a13
ka21	a22	a23	k a21	a22	a23 .
ka31	a32	a33	a31	a32	a33

Наслідок 1. Якщо всі елементи якогось рядка (стовпця) рівні нулю, то і детермінант дорівнює нулю.

15

Наслідок 2. Детермінант, в якому відповідні елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо кожний елемент i-го рядка (i-го стовпця, де i=1,2,3) є сума двох доданків, то детермінант дорівнює сумі двох детермінантів, у першого з яких i-й рядок (i-й стовпець) складається з перших доданків, а у другого - з других; інші елементи усіх трьох детермінантів однакові.

Наприклад,

a a		a a		a a		a	a	a	a	a	a
11	11	12	12	13	13	11	12	13	11	12	13
a21			a22	a23		a21	a22	a23	a21	a22	a23 .
a31			a32	a33		a31	a32	a33	a31	a32	a33

Наслідок. Величина детермінанта не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на один і той же множник.

Подальші властивості детермінантів зв'язані з поняттям мінора і алгебраїчного доповнення елементів детермінанта.

Означення 1.5. Мінором елемента aij називається детермінант, порядок якого на одиницю менший порядку даного детермінанта, утворений з даного детермінанта викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця, на перетині яких розміщений елемент aij. Мінор елемента aij позначається через ij .

Означення 1.6. Алгебраїчним		доповненням Аij			елемента aij
називається добуток мінора ij	на величину ( 1)i j , тобто
	A =( 1)i j		ij	.
	ij

Bластивість 6. Детермінант дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Наприклад,

a11 a12 a13

a21 a22 a23 =a11A11+a12A12+a13A13.

a31 a32 a33

Властивість 7. Сума добутків елементів довільного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Наприклад. В детермінанті 3-го порядку

a11A21+a12A22+a13A23=0.

Зауваження 1.3. Розглянемо n цілих чисел 1, 2 , 3, ..., n. Їх можна розмістити в різному порядку. Всілякі розміщення цих чисел називаються перестановками. Перестановка (1, 2, 3, ..., n), в якій числа розміщені в порядку зростання, називається натуральною.

16