Alg i metodi vichisl / matr_oper_Excel

21

№

Система

№

Система

1,14x1 − 2,15x2 −5,11x3 = −4,16

0,61x1 + 0,71x2

−0,05x3

= 0,44

5.

6.

+ 0,87x3

= −1,16

−0,71x1 + 0,81x2 −0,02x3 = −0,17

−1,03x1 − 2,05x2

−1,13x2

+ 7,05x3

= 6,15

−5,03x3 = −7,5

0,42x1

2,5x1 −3,12x2

3,11x1 −1,66x2 −0,60x3

= −0,92

0,10x1 +12x2

−0,13x3

= 0,10

7.

−0,78x3 = 2,57

8.

+ 0,71x2

+ 0,15x3

= 0,26

−1,65x1 +3,51x2

0,12x1

+ 0,78x2

−1,87x3

=1,65

+ 0,63x3

= 0,38

0,60x1

−0,13x1 + 0,15x2

0,71x1 + 0,10x2

+ 0,12x3

= 0,29

0,34x1 −0,04x2

+ 0,10x3

= 0,33

9.

+ 0,34x2

−0,04x3

= 0,32

10.

+ 0,12x3

= −0,05

0,10x1

−0,04x1 + 0,10x2

−0,04x2

+ 0,10x3

= −0,10

+ 0,43x2

−0,93x3

= 0,28

0,12x1

0,10x1

0,12x1 −0,43x2

+ 0,14x3

= −0,17

1,17x1 + 0,53x2

−0,84x3

=1,15

11.

+ 0,72x3

= 0,62

12.

−0,72x2

−0,43x3

= 0,15

−0,071 + 0,34x2

0,64x1

−0,08x2

−0,25x3

=1,12

+ 0,42x2

−0,93x3

= −0,48

1,183x1

0,32x1

0,66x1 −1,44x2

−0,18x3

=1,83

0,821x1 + 0,43x2

−0,57x3

= 0,48

13.

−0,24x2

+ 0,37x3

= −0,84

14.

−0,48x3

= 0,52

0,48x1

−0,35x1 +1,12x2

+ 0,43x2

+ 0,64x3

= 0,64

+ 0,23x2

+ 0,37x3

=1,44

0,86x1

0,48x1

1,6x +

0,12

2

+ 0,57x

3

= 0,18

1,16x

+1,3x

2

−1,14x

3

= 0,43

1

1

15.

0,38x1 + 0,25x2

−54x3 = 0,63

16.

0,83x1 −0,48x2

− 2,44x3

= −0,15

+ 0,46x2

−1,12x3

= 0,88

−0,16x2

+1,3x3 =1,5

0,28x1

23x1

2.4. Обчислення визначника та обернення матриці за схемою Гаусса

Метод Гаусса можна використовувати для обчислення визначника системи лінійних алгебраїчних рівнянь Ax=b. За схемою єдиного ділення ця система зводиться до системи Сx=g з верхньою трикутною матрицею з одиницями на головній діагоналі. Елементи цієї матриці визначаються з елементів матриці А і подальших допоміжних матриць за допомогою таких елементарних перетворень:

1)ділення на ведучі елементи a11 , a22(1) , ... , ann(n−1) ;

2)віднімання з рядків матриці А і проміжних матриць чисел, пропорційних елементам відповідних ведучих рядків.

При першій операції визначник матриці також ділиться на відповідний ведучий елемент, при другій – не змінюється. Тому

	det C =1 =		det A		→det A = a a(1)	Ka(n−1)
		a a(1)		Ka(n−1)
					11 22	nn
	11		22	nn

22

Обчислення визначника виконаємо в таблиці на рис. 2.4. Тут ведучі елементи a11 , a22(1) , ... , ann(n−1) знаходяться в комірках A4, B10, C15, D19

відповідно. Результат розрахунків – значення визначника матриці А, відображається в комірці B22.

Рис. 2.4. Обчислення визначника за схемою єдиного ділення

Схему єдиного ділення можна застосовувати і для знаходження оберненої матриці.

Нехай A=( aij ), A-1=( xij ), A A-1 = Е,

n			1,i =	j	.
∑aik xkj =δij ,i, j =1, n , δij			=	j
k =1			0,i ≠

Одержані n систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що мають одну й ту саму матрицю А і різні вільні члени, можна одночасно розв’язати методом Гаусса. Обчислення оберненої матриці виконаємо в таблиці на рис. 2.5.

Обернена матриця, представлена у діапазоні комірок E25:H28, має вигляд

23

		1,19537		−0,3114	−0,8168	−0,1159
			−0,1734	1,57376	1,23232	0,69718
A	−1
		=	−1,75	0,1105	0,30438	0,86879
			−0,119	−2,9229	−1,0939	0,17152

Рис.2.5. Обчислення оберненої матриці за схемою єдиного ділення

Робота №10. Завдання:

1)Знайти обернену матрицю за схемою єдиного ділення

2)Обчислити визначник за схемою Гаусса.

24

№					1)													2)
	1,00		0,47			−0,11			0,55						1,00		0,42	0,54	0,66
		0,42	1,00			0,35			0,17						0,42		1,00	0,32	0,44
1.
		−0,25	0,67			1,00			0,36						0,54		0,32	1,00	0,22
		0,54	−0,32			−0,74			1,00						0,66		0,44	0,22	1,00
		0,15	0,23			0,12			0,44						1,00		0,17	−0,25		0,54
		−0,52	0,35			0,21		−0,72							0,47		1,00	0,67		−0,32
2.
		0,35	0,42			0,38		−0,63								−0,11	0,35	1,00		−0,74
		0,74	−0,25			0,37			0,55						0,55		0,43	0,36		1,00
	0,75		0,16			0,27		0,83								8,2	1,4	−2,3		0,2
		0,55	0,22			−0,12		0,32								−1,6	5,4	−7,7		3,1
3.
		1,00	0,42			0,35		0,18								0,7	1,9	−8,5		4,8
		−0,37	0,23			0,15		0,28								5,3	−5,9	2,7		−7,9
	1,5		2,7		−1,3		5,2								0,42		1,00	0,32	0,44
4.		2,7	−3,4		1,8		2,2								1,00		0,42	0,54	0,66
		−1,3	0,16		0,82		1,05								0,66		0,44	0,22	1,00
		5,2	2,2		1,05		3,4								0,54		0,32	1,00	0,22
	1,17		2,13		0,32		0,56								0,47		1,00	0,67		−0,32
5.		2,13	0,82	−0,72			1,10								1,00		0,17	−0,25		0,54
		0,32	0,25	−0,42			0,16								0,55		0,43	0,36		1,00
		0,56	1,10	−0,25			−									−0,11	0,35	1,00		−0,74
								0,44
	1,2		3,2	−1,5			2,7									−1,6	5,4	−7,7		3,1
6.		−5,3	4,1	3,8			1,7									8,2	1,4	−2,3		0,2
		0,3	1,5	−1,6			4,2									5,3	−5,9	2,7		−7,9
		1,6														0,7	1,9	−8,5		4,8
			4,5 6,3 −1,2
	0,62		0,73			−0,43		−0,23								0,25	0,16	0,35		0,18
7.		0,73	1,00			0,25		0,64								1,2	−0,8	0,62		0,34
		−0,41	0,62			0,21		0,44								0,83	0,48	−0,18		0,72
		0,84	0,32			0,18		−0,47								0,43	0,57	0,62		−0,13
		1,13	2,15			0,83			0,77							−1,6	5,4	−7,7		3,1
8.		0,84	−0,43			0,62		−0,32								8,2	1,4	−2,3		0,2
		2,32	1,15			1,84			0,68							5,3	−5,9	2,7		−7,9
		−0,72	0,53			0,64		−0,57								0,7	1,9	−8,5		4,8
	0,42		0,26			0,33		−0,22								1,00	2,14	0,42		−1,13
9.		0,74	−0,53			0,28		−0,65								0,23	0,42	−1,5		0,16
		0,88	0,42			−0,33			0,75							0,34	−0,12	0,18		0,57
		0,92	0,82			−0,62			0,75							0,83	−0,17	0,62		−0,83

25

№				1)																2)
	0,75		0,18		0,63				−0,32								0,92	0,16		−0,23			0,8
10.		0,92	0,38		−0,14				0,56								0,16	0,12		0,15			0,72
		0,63	−0,42		0,18				0,37								−0,23	0,15		0,88			0,16
		−0,65	0,52		0,47				0,27								0,8	0,72		−0,13			0,72
	−2,41		7,55		0,82		0,33									1,13		0,15		0,26			−0,13
11.		0,28	−3,44		0,75		0,23									0,45		0,62		−0,80			0,74
		0,17	0,28		0,05		3,48									0,62		−1,12		0,64			0,78
		−1,00	0,23		2,00		7,00										−0,13	0,73		0,16			−0,36
	−1,09		7,56		3,45				0,78							0,84		1,32		0,48			−1,13
12.		3,33	4,45		−0,21				3,44							1,16		−0,46		0,64			−0,13
		2,33	−4,45		0,17											0,44		0,83		−1,12			0,44
									2,21
		4,08	1,00		3,05				0,11							0,16		0,32		0,08			−0,57
	4,5		4,8	−3,7		2,1											0,52	0,83		−1,2		0,32
13.		4,5	−3,7		5,6	3,3											0,63	−0,42		0,57		1,15
		4,8	7,5		8,3	9,2											0,44	0,52		0,44		0,18
		−1,5	2,3		4,8	3,1											0,62	−0,12		0,08	0,42
	5,5		3,7	−8,3		9,1										1,5		0,84		0,63			−0,18
14.		−4,5	6,8		7,2	3,4										0,15		0,36		−0,16			0,88
		7,5	−4,9		3,5	7,1											−0,27	0,45		0,64			−0,38
		5,6	−4,8		7,3	5,3										0,41		−0,83 0,62					0,27
		1,8	1,02		1,03			1,05									0,8	1,3	−0,12			0,25
15.		7,08	8,04		9,05			6,08									−1,2	0,18		0,72		0,13
		1,11	−2,02		2,03												1,6	0,2		0,12	−0,11
							−3,04
		−3,41	4,52		7,28			5,51									1,4	0,15	−0,83			0,41
	1,71		3,56		−0,33				0,17								2,5	0,35		0,4			−0,8
16.		2,81	3,45		0,17				−0,22								0,2	−1,5		0,61			2,3
		−0,34	0,75		0,33				0,22								0,16	−0,42		0,57			0,63
		7,03	−3,45		0,32				0,17								0,23	0,15		−0,08			3,1

2.5. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом головних елементів

Схема єдиного ділення може бути реалізована лише у випадку, коли всі ведучі елементи відмінні від нуля. Проте ця обставина невідома до початку обчислень, крім того близькість ведучих елементів до нуля може бути причиною значної втрати точності. Тому дану схему модифікують, застосовуючи схему єдиного ділення з вибором максимального елемента по рядку, стовпцю або по всій матриці.

26

Схема Гаусса з вибором головного елемента по всій матриці полягає у наступному. Записуємо розширену за рахунок стовпця вільних членів прямокутну матрицю коефіцієнтів системи М. Серед елементів матриці aij (i, j =1,K, n) виберемо найбільший за модулем, що називається головним

елементом. Нехай ним буде, наприклад, елемент apq . Рядок з номером p, що містить головний елемент, називається головним рядком.

Далі обчислюємо множники mi = aiq для всіх i≠p.

apq

Потім перетворюємо матрицю так: з кожного і-го неголовного рядка віднімаємо почленно головний рядок, помножений на mi . В результаті одержимо матрицю, в якій всі елементи q-го стовпця, за виключенням apq ,

дорівнюють нулю. Відкидаючи цей стовпець і головний рядок, отримаємо нову матрицю M1 з меншою на одиницю кількістю рядків і стовпців.

Над матрицею M1 повторюємо ті ж самі операції, після чого одержимо матрицю M2, і т.д. Аналогічні перетворення продовжуємо, поки не отримаємо матрицю, що містить один рядок з двох елементів, що теж вважається головним. Потім об’єднуємо усі головні рядки, починаючи з останнього. На цьому етапі закінчується прямий хід обчислень. З отриманої системи крок за кроком знаходимо значення невідомих. Цей етап називається оберненим ходом. Описані обчислення можна розташувати в одній таблиці.

Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок A4:D6 матрицю A, в E4:E6 – стовпець вільних членів b (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Схема з вибором головного елемента

		27
Знаходимо	головний елемент.	У даній системі ним буде коефіцієнт
a13 (p =1, q =3), розташований в комірці D4, підкреслюємо його.
Знаходимо	числа mi (i =1,2,3).	Для цього ділимо елементи третього

стовпця ai3 на a13 , і результати записуємо в стовпець mi в комірки діапазону

A4:А6.

Обчислюємо коефіцієнти нової матриці. З кожного і-го рядка (і=2,3) віднімаємо головний рядок, помножений на відповідний елемент mi .

Розташуємо знайдені елементи в комірках діапазону В9:Е10.

Знаходимо головний елемент нової матриці. Ним буде коефіцієнт a11(1), розташований в комірці В9, підкреслюємо його.

Ділимо елементи першого стовпця ai(1) на a11(1), і результати записуємо в стовпець mi в комірки діапазону В9:В10.

Обчислюємо коефіцієнти нової матриці. З другого рядка віднімаємо головний рядок, помножений на елемент m2 , розташований в комірці В10. Запишемо знайдені елементи в комірках діапазону В12:Е12.

Результати обчислень при реалізації прямого ходу (значення невідомих x2, x1, x3) записуємо відповідно у комірках C15, B16, D17.

Всі формули, використані в таблиці, відображені на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Формули для обчислень за схемою з вибором головних елементів

28

Робота №11. Розв’язати систему рівнянь методом головних елементів

№

Система

№

Система

0,34x1 + 0,71x2

+ 0,63x3

= 2,08

3,75x1 −0,28x2

+ 0,17x3

= 0,75

1.

−0,65x2

−0,18x3

= 0,17

2.

−0,11x2

−0,12x3

=1,11

0,71x1

2,11x1

− 2,35x2

+ 0,75x3

=1,28

−3,17x2

+1,81x3

= 0,05

1,17x1

0,22x1

0,21x1 −0,18x2

+ 0,75x3

= 0,11

0,13x1 −0,14x2

− 2,00x3

= 0,15

3.

+ 0,75x2

−0,11x3

= 2,00

4.

+ 0,18x2

−0,77x3

= 0,11

0,13x1

0,75x1

−0,33x2

+ 0,11x3

= 0,13

−0,17x2

+ 0,39x3

= 0,12

3,01x1

0,28x1

3,01x1 −0,14x2

−0,15x3

=1,00

0,92x1 −0,83x2

+ 0,62x3

= 2,15

5.

= 0,13

6.

−0,54x2

+ 0,43x3 = 0,62

1,11x1 + 0,13x2 −0,75x3

0,24x1

− 2,11x2

+ 0,71x3

= 0,17

−0,81x2

−0,67x3

= 0,88

0,17x1

0,73x1

1,24x1 −0,87x2

−3,17x3

= 0,46

0,64x1 −0,83x2

+ 4,2x3

= 2,23

7.

−0,45x2

+1,44x3

=1,50

8.

−0,83x2

+1,43x3

=1,71

2,11x1

0,58x1

+1,25x2

−0,633

= 0,35

+ 0.77x2

+ 0,883

= −0,54

0,48x1

0,86x1

0,32x1 −0,42x2

+ 0,85x3

=1,32

0,73x1 +1,24x2

−0,38x3

= 0,58

9.

−1,43x2

−0,58x3

= −0,44

10.

+ 0,66x2

−0,78x3

= 0,66

0,63x1

1,25x1

− 2,23x2

−0,52x3

= 0,64

+1,22x2

−0,83x3

= 0,92

0,84x1

0,75x1

0,62x1 −0,44x2

−0,86x3

= 0,68

1,26x1 − 2,34x2

+1,17x3

= 3,14

11.

+ 0,42x2

−0,56x3

=1,24

12.

+1,24x2

−0,48x3

= −1,17

0,83x1

0,75x1

−0,37x2

−0,62x3

= 0,87

−1,85x2

+1,16x3

=1,83

0,58x1

3,44x1

0,46x1 +1,72x2

+ 2,53x3

= 2,44

2,47x1 + 0,652 −1,88x3

=1,24

13.

− 2,32x2

−1,83x3

= 2,83

14.

+1,17x2

+ 2,54x3

= 2,35

1,53x1

1,34x1

+ 0,76x2

+3,72x3

=1,06

−1,73x2

−1,08x3 = 3,15

0,75x1

0,86x1

4,24x1 + 2,73x2

−1,55x3

=1,87

0,43x1 +1,24x2

−0,58x3

= 2,71

15.

+1,27x2

+3,15x3

= 2,16

16.

+0,83x2

+1,17x3

=1,26

2,34x1

0,74x1

−1,05x2

−0,63x3

= −1,25

−1,58x2

+ 0,83x3

=1,03

3,05x1

1,43x1

2.6. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом квадратних коренів

Метод ґрунтується на поданні матриці коефіцієнтів лінійної системи Ax=b, у вигляді добутку двох трикутних матриць. Це дозволяє звести розв’язання заданої системи до послідовного розв’язання двох систем з трикутними матрицями, що є простішою задачею.

Метод використовується для розв’язання систем із симетричними матрицями.

29

Розв’язання системи здійснюється у два етапи.

Перший етап. Подамо матрицю А у вигляді добутку двох взаємно транспонованих матриць A = S T S , де

s

s

K s

s

0

K 0

11

12

1n

11

0

s22

K s2n

, S

T

s12

s22

K 0

S =

K K

K K

=

K

K K K

0

0

K s

s

K s

nn

s

2n

nn

1n

Виконуючи множення матриць S i ST і прирівнюючи результат матриці А, для визначення елементів sij одержимо формули

s11	= a11 ,		s1 j =	a1 j		(j >1),
				a
				11
			i−1	(1 < i ≤ n),
sii = aii −∑ski2
			k =1
		i−1
sij	=	aij −∑ski skj			(i < j),
		k	=1
		sii
sij	= 0 при i>j.

Другий етап. Після того, як матриця S знайдена, початкову систему

замінюємо еквівалентними їх системами з трикутними матрицями

STy=b, Sx=y

Звідси послідовно знаходимо

y1 = b1

s11

xn = syn

nn

		i−1
, yi =	bi −∑ski yk			(i >1),
		k =1
		sii
		in
, xi =		yi − ∑sik xk			(i < n).
		k =i+1
		sii

Зауважимо, що при дійсних aij деякі елементи sij можуть бути уявними.

Метод застосовується і в цьому випадку.

При практичному застосуванні методу квадратних коренів прямим ходом послідовно обчислюються коефіцієнти sij і yi (i=1, 2 ,..., n), а потім

оберненим ходом знаходяться невідомі xi (i=n, n-1, ..., 1).

Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок A3:C5 матрицю A, в D3:D5 – стовпець вільних членів b (рис. 2.8).

Оскільки серед елементів sij можливі уявні, всі числа в таблиці будемо

розглядати як комплексні, і використовувати спеціальні функції для роботи з комплексними числами. Якщо ці функції недоступні, встановіть і завантажте надстройку “Пакет аналізу” за допомогою команди головного меню

Сервис→Надстройки→Пакет анализа→ОК.

30

В комірках A8, B8, C8, B9, C9, C10 запишемо формули для обчислення sij

при n =3. В комірках D8:D10 запишемо формули для обчислення yi . Формули для реалізації оберненого ходу методу, за якими знаходяться

значення невідомих x3 , x2 , x1 , запишемо в комірки діапазону D13:D15.

Оскільки значення невідомих є дійсними (уявна частина дорівнює нулю), за допомогою функції МНИМ.ВЕЩ() виділяємо коефіцієнти при дійсних частинах комплексних чисел.

Остаточно знайдені розв’язки системи запишемо в діапазоні комірок

D18:D20.

Робота №12. Розв’язати систему рівнянь методом квадратних коренів

№

Система

№

Система

3,14x1 −

2,12x2

+1,17x3 =1,27

2,45x1 +1,75x2

−3,24x3

=1,23

1.

+1,32x2

−2,45x3

= 2,13

2.

+ 2,18x3 = 3,43

−2,12x1

1,75x1 −1,16x2

−2,45x2

+1,18x3 = 3,14

−1,85x3

= −0,16

1,17x1

−3,24x1 + 2,18x2

1,65x1 − 2,27x2

+0,18x3

= 2,25

3,23x1 +1,62x2

+0,65x3

=1,28

3.

−0,46x3

= 0,93

4.

−2,33x2

−1,43x3

= 0,87

−2,27x1 +1,73x2

1,62x1

−0,46x2

+ 2,16x3 =1,33

−1,43x2

+ 2,18x3

= −2,87

0,18x1

0,65x1

0,93x1 +1,42x2

− 2,55x3

= 2,48

1,42x1 − 2,15x2

+1,07x3

= 2,48

5.

− 2,87x2

+ 2,36x3

= −0,75

6.

=1,15

1,42x1

− 2,15x1 + 0,76x2 − 2,18x3

=1,83

− 2,18x2

+1,23x3

= 0,88

− 2,55x1 + 2,36x2 −1,44x3

1,07x1

2,23x1 −0,71x2

+ 0,63x3

=1,28

1,63x1 +1,27x2

−0,84x3

=1,51

7.

+1,45x2

−1,34x3

= 0,64

8.

+0,65x2

+1,27x3

= −0,63

−0,71x1

1,27x1

−1,34x2

+0,77x3

= −0,87

−1,21x3

= 2,15

0,63x1

−0,84x1 +1,27x2

0,78x1 +1,08x2

−1,35x3

= 0,57

0,83x1 + 2,18x2

−1,73x3

= 0,28

9.

−1,28x2

+0,37x3

=1,27

10.

−1,41x2

+1,03x3

= −1,18

1,08x1

2,18x1

−1,35x

+0,37x

2

+ 2,86x

3

= 0,47

−1,73x +1,03x

2

+ 2,27x

3

= 0,72

1

1

2,74x1 −1,18x2

+1,23x3

= 0,16

1,35x1 −0,72x2

+1,38x3

= 0,883

11.

+1,71x2 −0,52x3

=1,81

12.

−2,18x3

=1,72

−1,18x1

−0,72x1 +1,45x2

−0,52x2

+ 0,62x3

= −1,25

−2,18x2

+0,93x3

= −0,72

1,23x1

1,38x1

1,48x1 + 0,75x2

−1,23x3

= 0,83

2,16x1 −3,18x2

+1,26x3

=1,83

13.

−0,96x2

+1,64x3

= −1,12

14.

− 2,73x3

= 0,54

0,752x1

−3,18x1 + 0,63x2

+1,64x2

−0,55x3

= 0,47

− 2,73x2

+3,15x3

=1,72

−1,23x1

1,26x1

0,63x1 −1,72x2

+3,37x3

= −0,75

1,36x1 + 0,92x2

−1,87x3

= 2,15

15.

− 2,27x2

+1,62x3

=1,27

16.

−2,24x2

+0,77x3

= −2.06

−1,72x1

0,92x1

+1,62x2

−0,43x3

= 2,74

−1,16x3

= 0,17

3,27x1

−1,87x1 + 0,77x2