- •Змістовий модуль 3.
- •Основні поняття теорії ймовірностей
- •1. Коротка історична довідка
- •2. Випадкові явища та їх природа
- •3. Предмет теорії ймовірностей
- •4. Класичне означення ймовірності
- •5. Статистична ймовірність
- •6. Геометрична ймовірність
- •1. Елементи комбінаторики без повторень
- •2. Елементи комбінаторики з повтореннями
- •3. Співвідношення між подіями
- •4. Операції над подіями. Діаграми Венна
- •5. Формула включень та виключень
- •1. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •2. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
- •3. Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій
- •Семінарське заняття 20
- •2. Випробування за схемою Бернуллі
- •3. Асимптотичні формули (локальна та інтегральна теореми Лапласа; формула Пуассона)
- •Семінарське заняття 21
- •Тема 18. Дискретні випадкові величини. Тема 19. Неперервні випадкові величини
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Дискретні випадкові величини, їх характеристики
- •1. Випадкова величина. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
- •2. Приклади дискретних випадкових величин та їх законів розподілу
- •3. Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості
- •4. Дисперсія дискретної випадкової величини, її властивості
- •5. Середнє квадратичне відхилення
- •6. Теоретичні моменти
- •1. Функція розподілу та її властивості
- •2. Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу
- •3. Числові характеристики неперервних випадкових величин
- •4. Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику
- •Семінарське заняття 22
- •2. Показниковий розподіл
- •3. Нормальний закон розподілу
- •4. Розподіли, пов’язані з нормальним
- •5.Поняття про розподіли, що використовуються в актуарній математиці
- •Семінарське заняття 24
- •Тема 22. Закони великих чисел та їх застосування у математичній статистиці. Тема 23. Основні поняття математичної статистики
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 25
- •Тема 24. Точкові та інтервальні оцінки. Тема 25. Перевірка статистичних гіпотез
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
- •Семінарське заняття 26
- •2. Знаходження параметрів теоретичного рівняння регресії методом найменших квадратів
- •3. Властивості вибіркового коефіцієнта кореляції
- •4. Правило перевірки нульової гіпотези
- •Семінарське заняття 27
- •Тема 26. Регресійний аналіз і кореляція
- •Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття. Методичні вказівки
Змістовий модуль 3.
Теорія ймовірностей та математична статистика
Семінарське заняття 19
Тема 15. Основні поняття і теореми теорії ймовірностей
Питання для усного опитування та дискусії
15.1. Основні задачі теорії ймовірностей.
15.2. Класична, геометрична, статистична, суб’єктивна ймовірність.
15.3. Теореми додавання і множення ймовірностей.
15.4. Ймовірність тільки однієї та хоча б однієї події.
15.5. Формула решета.
Аудиторна письмова робота
Виконання студентами тестових завдань з питань теми заняття.
Методичні вказівки
Ключовими термінами, на розумінні яких базується засвоєння навчального матеріалу теми, є: предмет теорії ймовірностей, класичне означення ймовірності, геометрична ймовірність, статистична ймовірність, суб’єктивна ймовірність, елементи комбінаторики (без повторень і з повтореннями), сумісні (несумісні) події, незалежні (залежні) події, сума подій, добуток подій, теореми додавання ймовірностей, умовна ймовірність події, теорема множення ймовірностей, співвідношення між подіями, формула решета.
З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах.
Основні поняття теорії ймовірностей
1. Коротка історична довідка
Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності випадкових подій. Ця наука виникла в 17 столітті в зв’язку з задачами, пов’язаними з азартними іграми. Слово “азар” по-арабськи означає важкий (так, наприклад, при підписанні двох гральних кубиків важкою (“азар”) вважалась поява в сумі двох або дванадцяти очок). Появі задач теорії ймовірностей в галузі азартних ігор сприяли такі наочні посібники, як монета чи гральний кубик. Вчені, які займалися теорією азартних ігор, передбачали появу нової науки – науки про випадкові явища. (Гюйгейне, Паскаль, Ферма, Я. Бернуллі). Вперше основи теорії ймовірностей були викладені французьким математиком Лапласом в книзі “Аналітична теорія ймовірностей”. В передмові своєї книги автор писав: “Наука, яка почалась з розгляду азартних ігор, обіцяв стати найважливішим об’єктом людського знання. Адже в більшості найважливіші життєві питання є насправді лише задачами з теорії ймовірностей”.
Формуванню основ теорії ймовірностей сприяли питання страхування, демографії, а пізніше теорія помилок спостережень, задачі теорії стрільби, проблеми статистики. Важливий внесок у розвиток теорії ймовірностей внесли Муавр, Гаусс, Пуассон. В 1846 році вийшов перший російський підручник з теорії ймовірностей В.Я. Буняковського “Основи математичної теорії ймовірностей”. По цьому підручнику вчився видатний російський математик П.Л. Чебишев. Учень П.Л. Чебишева А.А. Марков – засновник теорії стахостичних процесів. Створена академіком А.Н. Колмогоровим радянська школа теорії ймовірностей займає провідне місце у світовій науці.
У наш час теорія ймовірностей використовується у фізиці, у хімії та в інших науках, де досліджуються явища, що мають масовий характер (велике число атомів, молекул), причому знання про природу цих часточок недостатні. У зв’язку з широким розвитком підприємств, що випускають масову продукцію, результати теорії ймовірностей використовуються для браковки готової продукції, для організації виробництва, для статистичного контролю у виробництві.