Министерство образования и науки Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

И. В. Богомаз

МЕХАНИКА

Допущено УМО вузов РФ по образованию в области архитектуры в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению «Архитектура», 21.04.2010

Красноярск

СФУ

2012

УДК 539/6075.8 ББК 30.121я73 Б743

Рецензенты:

В. А. Смирнов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой «Высшая математика и строительная механика» МАРХИ;

А. И. Слабуха, канд. архит., проф., советник Российской академии архитектуры и строительных наук, зав. кафедрой «Градостроительство» Сибирского федерального университета.

Богомаз, И. В.

Б743 Механика: учеб. пособие / И. В. Богомаз. − Красноярск: Сиб.

федер. ун-т, 2012. – 346 с. ISBN 978-5-7638-2178-9

В учебном пособии изложены основные понятия механики, подробно рассмотрены правила и теоремы из разделов теоретической механики «Статика», «Кинематика», «Динамика», приведены примеры решения задач. Дан краткий обзор теории курса «Сопротивление материалов», определены подходы и методы расчета напряженно-деформированного состояния, рассмотрены примеры типовых расчетов на прочность и жесткость, устойчивость элементов конструкций при растяжении (сжатии) и плоском изгибе, внецентренное сжатие, устойчивость.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки специалистов 270100 «Архитектура».

УДК 539/6075.8 ББК 30.121я73

ISBN 978-5-7638-2178-9	© Сибирский федеральный университет, 2012
	© Богомаз И. В., 2012

Предисловие

Посвящается светлой памяти Богомаз Валерия Владимировича, моего брата, наставника, друга, талантливого инженера, организатора, строителя

ПРЕДИСЛОВИЕ

МЕХАНИКА – это раздел физики, в котором изучается состояние тел под действием внешних сил. Механика охватывает очень широкий круг вопросов; в ней рассматриваются объекты от галактик и систем галактик до мельчайших, элементарных частиц вещества. В этих пределах рассматриваемые объекты представляют чисто научный интерес. Но предметом механики является также проектирование строений, мостов и механизмов. Этот раздел механики обычно называют прикладной механикой, основные положения которой рассмотрим в этом учебном пособии.

Современные производства требуют принципиально новых технических, технологических и организационно-управленческих подходов, которые могут разрабатывать только специалисты, способные интегрировать идеи из различных областей знаний, оперировать междисциплинарными категориями, комплексно воспринимать инновационные процессы. Важная роль в формировании этих интегративных качеств принадлежит фундаментальной области знаний, к которой относится механика. Круг решаемых в механике задач охватывает почти все сферы архитектурно-инженерных расчетов: прочность, колебания, устойчивость, динамику и т. д.

При изучении механики деформируемого твердого тела, начиная с работ С. П. Тимошенко (1878–1972), принято идти от частного к общему, от инженерной задачи к простой и наглядной математической модели, допускающей широкие обобщения. Такая последовательность изучения материала способствует развитию инженерной интуиции.

Выпускник вуза, архитектор, инженер-строитель, должен уметь не только проектировать современные архитектурные объекты, отстаивая свою точку зрения, но и принимать самостоятельное решение, полностью отвечать за результаты своего труда. Нетрудно представить себе последствия проектной деятельности инженера, не умеющего анализировать полученные с помощью компьютерных технологий результаты расчетов.

3

И. В. Богомаз. Механика

Автор поставил перед собой трудную задачу, пытаясь совместить в рамках одного относительного небольшого пособия классические учебные курсы по теоретической механике и сопротивлению материалов, без знания основ которых немыслимо изучать основы строительной механики. Причиной, побудившей автора к созданию этого пособия, является то обстоятельство, что в последнее десятилетие наблюдается существенное различие в уровнях общей физикоматематической подготовки абитуриентов. В связи с этим автор уделил большое внимание вопросам методологии изложения материала. Учитывая ориентацию пособия на тех, кто не имеет профильной естественнонаучной подготовки, автор использовал подход «от иллюстрации явления, частного к теории». Автор пособия старался написать его легким языком, с большим количеством иллюстраций.

При написании пособия автор использовал методологию изучения курса сопротивления материалов, сформированную основателем кафедры «Техническая механика» Красноярского инженерно-строительного института канд. техн. наук, доц. Герстенбергером Виктором Эдгаровичем. В пособии при изложении разделов механики деформируемого твердого тела использовался теоретический материал из учебных пособий [6, 7]. Автор выражает искреннюю благодарность чл.-кор. РААСН, д-ру техн. наук, проф. Льву Васильевичу Енджиевскому и эксперту УМО по прикладной механике Сибирского регионального методического центра, директору СКТБ «Наука» СО РАН, д-ру техн. наук, проф. Владимиру Викторовичу Москвичеву за поддержку, доброжелательную критику, ценные замечания и помощь при подготовке рукописи.

Автор благодарит канд. пед. наук, доц. Тамару Петровну Мартынову и канд. техн. наук Елену Анатольевну Чабан за помощь в подготовке данного пособия.

4

Введение

ВВЕДЕНИЕ

Из истории механики

Зарождение знаний о механике относится к глубокой древности. В эпоху неолита появилось колесо, чуть позже начали применять рычаг и наклонную плоскость. Регулярное использование рычага и наклонной плоскости начинается в связи со строительными работами в древневосточных государствах. Все это время шел процесс выработки, осознания ряда более или менее абстрактных понятий таких, как сила, сопротивление, перемещение, скорость.

До современников дошли великолепные архитектурные сооружения, которые современники называли чудесами света: пирамиды Египта (египетские пирамиды), Александрийский маяк, Висячие сады Вавилона, храм Артемиды, статуя Зевса, Мавзолей в Геликарнасе, Колосс Родосский.

К крупным пирамидам относятся египетские пирамиды и пирамиды доколумбовых культур (ацтеки, майя, Теучитлан) в Латинской Америке (рис. 1).

Рис. 1

5

И. В. Богомаз. Механика

Наибольшей известностью пользуются так называемые Большие, или Великие пирамиды: Мейдумская пирамида, Красная и Ломаная (Ромбовидная) пирамиды в Дашуре, ступенчатая пирамида Джосера в Саккаре и пирамиды Микерина (Менкаура), Хефрена (Хафра) и Хеопса (Хуфу) в Гизе. Иногда «Великой» называют лишь пирамиду Хеопса – самую большую из всех.

Время создания и использования этих исполинов значительно опередило появление первых известных нам серьезных теоретических работ по механике. Первые египетские пирамиды строились примерно за 3000 лет до н. э. При их строительстве были использованы миллионы блоков известняка со средним весом 2,5 т, а также плиты весом более 200 т; отмечена тщательная отделка не только известняковых, но и гранитных и базальтовых плит; имеются просверленные в граните и базальте конические отверстия и соответствующие им керны (обнаружены в конце XIX в.) с бороздкой с шагом 2 мм; ходы, проложенные в толще пирамид, выполнены по линиям, отклоняющимся от прямой не более, чем на 5 мм на расстоянии порядка 80 м, плоскости граней пирамид выполнены с большой точностью. На сооружение пирамиды Хеопса пошло 233 105 каменных глыб, средний вес которых равен 2,5 т.

По одной из версий при строительстве сооружений применялись различные простейшие механизмы – наклонные плоскости, рычаги, клин, ворот, блок, винт и т. п. По другой версии строительство пирамид – первый опыт монолитного строительства.

Предполагается, что в каменоломнях для отрыва каменных глыб от породы использовался клин. Подъем тяжестей осуществлялся с помощью наклонной плоскости (рис. 2). Например, наклонная дорога к пирамиде имела подъем 45,8 м и длину 494,6 м. Следовательно,

угол наклона к горизонту составлял около 5 3′, и выигрыш в силе при поднятии тяжестей на эту высоту был более чем в 10 раз.

Рис. 2

6

Введение

Рис. 3

Александрийский маяк – первый в мире маяк, он простоял 1500 лет (рис. 3). Маяк был построен на маленьком острове Фарос

вСредиземном море около берегов Александрии в III в. до н. э. Маяк был построен для того, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днём помогал столб дыма. Изображение маяка сохранилось не только на древних монетах, но и в описаниях арабского путешественника, посетившего Александрию в XIII в. Маяк состоял из трёх мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной,

вней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня была облицована мрамором. Ее восемь граней располагались по направлениям основных ветров. Башню маяка украшали статуифлюгеры, расположенные по сторонам, и бронзовая скульптура царя морей Посейдона, венчающая ее купол-макушку. На башне находилось множество остроумных технических приспособлений: флюгера, астрономические приборы, часы. Общая высота маяка составляла

117–150 м.

Чтобы поддерживать пламя, требовалось большое количество топлива. Дерево привозили по спиральному пандусу на телегах, запряженных лошадьми или мулами. За пламенем стояли бронзовые пластины, направлявшие свет в море. С кораблей можно было видеть этот маяк на расстоянии до 50–60 км.

7

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 4

История донесла до нас имя строителя маяка, который высек его на камне, затер штукатуркой и сверху написал имя фараона. Со временем штукатурка осыпалась и открылась надпись: «Сострат, сын Дексифона, книдиец, богам-спасителям за здравие мореплавателей!».

Висячие сады Вавилона (сады Семирамиды) моложе пирамид (рис. 4). Они строились в те времена, когда уже существовала «Одиссея» и возводились греческие города. Греческие и римские писатели рассказывают, что сады были построены около 600 г. до н. э. по приказу Навуходоносора II, повелителя Вавилона. Этот город лежал на берегах реки Евфрат, к югу от сегодняшнего Багдада, столицы Ирака. Легенда повествует, что царь приказал построить сады ради тосковавшей по дому молодой жены Амитис, надеясь, что они напомнят ей родные персидские горы.

Висячие сады были построены, вероятно, у реки и были видны с городских стен Вавилона. Они были устроены в виде террас, самая верхняя из которых, возможно, возвышалась над землей на 40 м. Навуходоносор распорядился посадить в саду все мыслимые виды деревьев и цветов. Их свозили со всей империи на телегах, запряженных волами, и речных ладьях.

Успех садоводов, по всей видимости, зависел от хорошей системы полива, для которого использовалась вода из Евфрата. Воду могли поднимать на верхнюю террасу с помощью цепочки ведер, прикрепленных к колесу, которое вращали рабы (или механизмы?), затем она сбегала по садам ручьями и водопадами, так что земля всегда оставалась влажной.

Сады знаменуют собой закат ассиро-вавилонской державы, современницы Древнего Египта и его соперницы. И если пирамиды пе-

8

Введение

режили всех и живы сегодня, то висячие сады оказались недолговечными и пропали вместе с Вавилоном, величественным, но не прочным гигантом из глины.

Храм Артемиды (рис. 5) был построен последним царем Лидии, древней области в Малой Азии, Крезом. Лидия входила в территорию современной Турции. Крез решил построить храм в честь богини Луны, покровительницы животных и молодых девушек. Греки звали ее Артемидой, а римляне – Дианой. Храм был построен из известняка и мрамора. Несущими конструкциями храма являются 120 мраморных колонн. Гигантские колонны достигали в высоту 20 м. Огромные глыбы, из которых они складывались, приходилось ставить на место с помощью блоков, после чего их скрепляли металлическими штырями. Когда здание покрыла крыша, художники придали ему законченный вид, украсив скульптурами и орнаментами.

В центре храма стояла статуя Артемиды. Это был один из крупнейших храмов. Платформа, на которой он стоял, достигала 131 м в длину и 79 м в ширину.

Двести лет спустя, в 356 г. до н. э., храм был сожжен дотла. Поджег его человек по имени Герострат. Спустя годы Александр Великий посетил Эфес и приказал восстановить храм на прежнем месте.

Храм просуществовал до III в. н. э. Постепенно бухту в Эфесе заносило илом и город терял своё значение. Храм был разграблен готами, а позднее затоплялся наводнениями. Сегодня от храма сохранилось лишь несколько блоков основания и одна восстановленная колонна.

Рис. 5

9

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 6

Статуя Зевса в Олимпии – творение великого греческого скульптора Фидия, воздвигнутое в 430 г. до н. э. (рис. 6). Храм, превосходивший по размерам все храмы того времени (27,68×64,12 м), был сложен из известняковых блоков, украшен мраморными раскрашенными фронтонами. Находящаяся внутри храма статуя Зевса имела высоту ≈ 13 м и почти касалась потолка храма. Зевс восседал на троне, инкрустированном чёрным деревом и драгоценными камнями. Создавалось впечатление, что если бы Зевс встал, он снёс бы крышу. Вдоль стен соорудили площадки для зрителей, чтобы люди, поднявшись на них, могли увидеть лицо бога. После своего завершения статуя на протяжении 800 лет оставалась одним из величайших чудес света.

Мавзолей в Геликарнасе обладал колоссальными по тем временам размерами – занимал площадь в 5000 м2 и имел высоту 46 м от основания до вершины (рис. 7). Строительство мавзолея было начато ориентировочно в 353 г. до н. э. и длилось не менее трех лет. К проектированию мавзолея привлекли знаменитых греческих архитекторов Сатира и Пифея. Мавзолей представлял собой архитектурный комплекс со своим внутренним двором, в центре которого была возведена каменная платформа (иначе называемая птерон). К вершине птерона вела широкая лестница, по бокам ее охраняли каменные львы. Внешние стены мавзолея украшали статуи богов и богинь, а по углам сооружения «расставили» каменных стражей-воинов, которые несли бессменный караул.

10

Введение

Стены гробницы украшали барельефы, изображающие сцены из греческой мифологии. Пирамидальную крышу мавзолея подпирали 36 семи-метровых колонн, по 9 на каждой из сторон. Между колоннами были установлены статуи.

Мраморная квадрига венчала пирамиду. Квадрига – это каменная колесница, запряженная четырьмя массивными лошадьми, также вырезанными из мрамора. Высота скульптурной композиции составляла 6 м.

Колосс Родосский – гигантская статуя, стоявшая в III в. до н. э. в портовом городе на Родосе – острове в Эгейском море у берегов современной Турции (рис. 8).

Рис. 7

Рис. 8

11

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 9

Жители Родоса воздвигли ее как памятник в честь победы в 304 г. до н. э. над македонским царем Деметрием I, наследником великого царя Александра Македонского.

Статую поручили изваять скульптору Харесу. Харес предложил сделать Гелиоса стоящим. В левой руке он держал ниспадающее до земли покрывало, правую руку приложил ко лбу, вглядываясь в даль. Такая поза не соответствовала канонам, но Харес понимал, что колосс не удержится, если скульптура протянет руку вперёд (правило рычага). Основой тридцатишестиметровой статуи послужили три массивных каменных столба, скрепленные железными балками на уровне плеч. Основания столбов были в ногах статуи и покрывале. На уровне плеч и пояса столбы соединялись поперечными балками (рис. 9).

По свидетельству Плиния на изготовление статуи было потрачено 500 талантов бронзы (13 т) и 300 талантов1 железа (7,8 т). Колосс был собран по частям, которые строители устанавливали на место, работая с земляных насыпей, окруживших статую. Основанием статуи служили каменные блоки, скрепленные железом. Лицо Колосса и корона с семью лучами были позолочены. Возведение статуи длилось 12 лет, а простояла она около 60 лет. После 220 до н. э. мощное землетрясение ее разрушило.

1 Талант́ (τάλαντον, talentum) – наивысшая весовая единица в таблице греческих мер (слово τάλαντου означает «весы», «груз»).

12

Введение

Из ранних инженерных сооружений сохранились до наших дней римские акведуки (рис. 10), Колизей (рис. 11) – удивительные чудеса Вечного города. Акведуки – великое свершение инженерной мысли. Они подвели чистейшую воду прямо к домам миллиона жителей Рима. Изящные, шагающие по ландшафту арки и подземные тоннели приносили в город – трудно поверить — миллиард тонн пресной воды ежедневно. Эта фантастическая система стала жизненной силой Рима и инженерной моделью для городов всех последующих времен.

Рис. 10

КолизейвРиме

Рис. 11

13

И. В. Богомаз. Механика

Римский Колизей. Название Колизей, по одной версии, происходит от искаженного в средние века латинского слова «сolosseum» (колоссальный). Колизей – постройка в виде эллипса: длина 188 м, ширина 156 м, высота 48,5 м. Средняя часть здания, арена (от лат. «arena» – песок), покрытая песком и предназначавшаяся для гладиаторских боев, травли животных, по форме представляла собой эллипс (длина 86 м, ширина 54 м).

Размеры арены позволяли сражаться на ней одновременно 3000 пар гладиаторов. К ней примыкал четырехметровый подий, который служил оградой во время морских сражений, когда арена заливалась водой.

Внешние части Колизея были сооружены из травертина, внутренние – из туфа, кирпича, мрамора, бетона и дерева. При строительстве Колизея тщательно притертые камни были положены без раствора и скреплены между собою железными скобами.

Под ареной находились сложные инженерные сооружения, водопровод, конструкции для механических устройств (подъемные механизмы, доставляющие гладиаторов и зверей наверх), клетки для животных, склады для оружия, помещения для декораций, комнаты гладиаторов. Арена современного Колизея лишена покрытия, поэтому сейчас можно видеть прежде скрытые помещения.

Замечательные памятники архитектуры дошли до наших дней. Среди них Пантеон Агриппы в Риме (рис. 12), храм Св. Софии в Константинополе (рис. 13), Собор Санта Мариа дель Фиоре во Флоренции (рис.14).

Рис. 12

14

Введение

Рис. 13

Рис. 14

15

И. В. Богомаз. Механика

Каркасная система готической архитектуры позволила создать небывалые по высоте и обширности интерьеры соборов – высота потолка в соборе Бове во Франции 45 м (рис. 15).

Высота башен собора в Кельне в Германии 157 м, (рис. 16). Одним из первых теоретиков строительства является Марк Вит-

рувий Поллион (лат. Marcus Vitruvius Pollio)2 – римский архитектор, инженер, теоретик архитектуры второй половины I в. до н. э. Он известен как автор единственной сохранившейся античной работы об архитектуре, полностью дошедшего до нас трактата «Десяти книг об архитектуре» (лат. De architectura libri decem).

Автор обобщил в трактате опыт греческого и римского зодчества, рассмотрел комплекс сопутствующих градостроительных, инже- нерно-технических вопросов и принципов художественного восприятия. Почти забытый в Средние века трактат с XV в. внимательно изучался и переводился на многие языки и сыграл в XVII–XVIII вв. большую роль в выработке канонических форм архитектурного ордера. Витрувий заложил основу пропорционирования в изобразительном искусстве и архитектуре, получившую позднее название «Витрувианский человек». Из значимых построек Витрувия отмечаются конструкции римского акведука.

Рис. 15

2 На данный момент известна только фамилия – Vitruvius. Имя Марк и прозвище (когномен) Поллион являются вероятными, поскольку источником большей части биографических сведений являются труды самого Витрувия, годы жизни неизвестны.

16

Введение

Рис. 16

Марк Витрувий́ Поллион	«Витрувианский	Леонардо да Винчи
	человек»	(1452–1519)

17

И. В. Богомаз. Механика

а

б

Рис. 17

Первые научно обоснованные эксперименты, связанные с прочностью и надежностью инженерных сооружений, были поставлены Леонардо да Винчи, который исследовал поведение балок при изгибе, изучал прочность строительных материалов. «Если 1 балка поддерживает 1000 футов, то сколько поддерживают 4 балки, положенные одна над другой?» Поставив задачу таким образом, Леонардо решал ее на основе рассуждений, а затем экспериментально испытывал прутья на растяжение, колонны на сжатие, балки на изгиб. Еще более высоко оценил значение опыта и поставил его во главу учения о сопротивлении материалов Галилео Галилей. Он заложил начало науки о сопротивлении материалов, сведя вопросы, связанные с прочностью и разрушением, в одну область знания. Галилей создал первые приборы для испытания материалов и разработал методы испытаний на растяжение и изгиб.

Большую роль при строительстве архитектурных сооружений играет правило пропорционального деления отрезка – «золотое сечение», которое ввел Евдокс Книйдский (IV в. до н. э.), затем Евклид (III в. до н. э). Известно, что еще в древности основу скульптуры и архитектуры составляла теория пропорций.

«Золотое сечение» – это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей (рис. 17, а).

Практическое построение золотого сечения начинают, как правило, с помощью циркуля и линейки (рис. 17, б). На заданной прямой АВ из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине

АВ ( ВС = 12 АВ). Точка С соединяется линией с точкой А. На полу-

ченной прямой АС откладывается отрезок СD (СD = BС). Отрезок AD

18

Введение

переносится циркулем на прямую АВ (AD = AE). Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618… (если АВ принять за единицу), BE = 0,382… Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62 частям, а меньшая – 38.

Приведем пример «золотого сечения». Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией (рис. 18). Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой угол золотого треугольника. Его стороны образуют угол 36º при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции «золотого сечения». В Древней Греции пятиконечную звезду выбрали в качестве талисмана, она считалась символом здоровья

ислужила опознавательным знаком. Пентаграмма была хорошо известна в Древнем Египте. Ее никто не изобретал, а скопировали с натуры: пятилепестковых цветов, плодовых деревьев и кустарников, морских звезд и др.

Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии

икрасоты. Портрет Моны Лизы (рис. 19) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Древнеегипетские пирамиды, картины Леонардо да Винчи (например, «Мона Лиза»), подсолнухи, пальцы человека и т. д. объединены удивительными числами, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи (род. ок. 1170 – умер после 1228).

Рис. 18

19

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 19

После его открытия числа эти так и стали называться его именем. Числа, образующие последовательность

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

называются числами Фибоначчи, а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Вчислах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеб-

лющаяся около иррационального значения 1,61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его. (Иррациональное число – число, десятичное представление которого бесконечно и не периодично).

Более того, после 13-го числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда. Именно это постоянное число деления в Средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне именуется как «золотое сечение», «золотое среднее» или «золотая пропорция».

Всовременной алгебpе это число обозначается греческой буквой Ф (фи).

20

Введение

Золотая пропорция = 1 : 1,618.

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями «золотого деления» при их создании. Не только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями «золотого сечения»; то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид (рис. 1). Hа попеpечном сечении пиpамиды видна фоpма, подобная лестнице. В пеpвом яpусе 16 ступеней, во втоpом – 42 ступени и в тpетьем – 68 ступеней. Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим обpазом:

16 × 1,618 = 26, 16 + 26 = 42, 26 × 1,618 = 42, 42 + 26 = 68.

Некоторые исследователи утверждают, что в пирамиде Хеопса одновременно заложены две мировые константы: число «π» и «золотая» пропорция. Если мы выберем размеры пирамиды такими, что отношение полупериметра основания к высоте будет равно π, то

(рис. 20):

H = FO; h = FE; g = AE = OE;

4g 2

h

g

2

+ H

2

g2 +

π

16

X =

=

=

= 1+

=1,618993 ≡ Ф.

g

g

g

π2

Ф =1,61803398...

Рис. 20

21

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 21

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело по правилу «золотого сечения». Так, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям (рис. 21).

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является храм Афины Парфенон (греч. Παρθενών), построенный в 447–438 до н. э. архитектором Калликратом по проекту Иктина и украшен под руководством архитектора Фидия3.

Этот храм посвящен покровительнице Афин, богине Афине Парфенос (Ἀθηνᾶ Παρθένος).

Внастоящее время находится в полуразрушенном состоянии, ведутся восстановительные работы.

На рис. 22 виден целый ряд закономерностей, связанных с «золотым сечением». Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Фибоначчи Ф = 0,618...

Парфенон – шедевр древнегреческой архитектуры и символ греческого гения. Впоследствии по Парфенону сверялись эстетические пропорции. Храм имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

Всоответствии с совершенными пpопоpциями «золотого сечения» построены египетские пирамиды, пирамиды в Гизе и Мексике.

3 Википедия: http://ru.wikipedia

22

Введение

Рис. 22

Храмы в Греции, Китае, Индии и многое другое свидетельствуют о высоком уровне развития инженерного и строительного искусства в Древнем мире. Статика была непосредственно связана с техническими запросами; ее основными проблемами был расчет выигрыша в силе, достижимого с помощью простых механических приспособлений, и вывод условий равновесия при взвешивании и плавании тел.

В настоящее время в фотографии, графике и живописи часто рекомендуют использовать «золотое сечение» для построения композиции. При таком подходе вся область изображения разбивается линиями «золотого сечения» на девять областей (см. рис. 23, а).

Ключевые элементы композиции (важные детали, композиционные центры, линия горизонта и т. п.) рекомендуется размещать на линиях «золотого» сечения или в точках их пересечения. На рис. 23, а указана сетка «золотого сечения»: 0,618/0,382; на рис. 23, б – сетка

«третей»: 1/3; 2/3; 1.

23

И. В. Богомаз. Механика

а б

Рис. 23

Отступления от законов природы в технике просто вредны – здания и сооружения, построенные с отклонениями от законов механики, недолговечны и опасны. В искусстве человеку дается шанс поупражняться в том, чего нет и быть не может. И цель этих упражнений вовсе не в том, что они имеют прямую практическую пользу, а в том, что они способствуют развитию творческих способностей человека.

В античную эпоху зарождаются основы равновесия системы твердых тел – статика. Известно развитие двух направлений статики: кинематическое и геометрическое. Первое направление возникло из практики пользования простыми механизмами для передвижения и поднятия грузов. При этом изучались условия нарушения равновесия, например, рассматривали неуравновешенный рычаг, т. е. рычаг

вдвижении. Второе направление развивалось в связи с расчетом равновесия архитектурных конструкций: балок, плит и т. д., подпертых

водной или нескольких точках, а также равновесия подвешенных тяжелых тел, т. е. всевозможных видов весов. Исследовались также такие механизмы, как клещи, клин, топор, кривошип, гончарный круг и т. д.

При изложении законов механики Ньютона обойти имена Аристотеля, Архимеда, Птолемея, Коперника, Тихо-Браге, Кеплера, Галилея и Гюйгенса нельзя. Кратко изложим историю механики, начиная с Аристотеля.

Физика Аристотеля. Первая в мире книга, известная в настоя-

щее время под названием «Физика», написана Аристотелем (384−322 гг. до н. э.). Аристотель рассматривал широкий круг вопросов – логику, поэтику, риторику, религию, историю, астрономию, медицину, физику. По праву считается, что Аристотель является основателем логики.

В аристотелевской натурфилософии фундаментальное место занимает учение о движении. Движение он понимает в широком смысле, как изменение вообще, различая изменения качественные, количест-

24

Введение

венные и изменения в пространстве. Для сравнения скоростей тел сопоставляли либо расстояния, пройденные ими за одинаковое время, либо промежутки времени, за которые пройдено было одинаковое расстояние. Аристотель вводит понятие равноускоренного движения, при котором «тело в равное время движется одинаково». В «Физике» и других книгах Аристотеля описывается (без доказательств) равновесие рычага, сложение движения, принцип виртуальных перемещений.

Архимед (287−212 гг. до н.э). Архимед был первым и практически единственным, кто в древние времена ввел в учение о равновесии строгие доказательства. Он заложил основы гидростатики и первым рассмотрел вопрос об устойчивости (теперь говорят «остойчивости») плавающих тел. Известны следующие книги Архимеда, посвященные механике: «О равновесии плоских фигур», «О механических теоремах», «О плавающих телах». Статика Архимеда основана в значительной части на учении центра тяжести и теореме о равновесии рычага. Как следствие равновесия рычага было сформулировано золотое правило механики. Этой теоремой Архимед первым показал, что в механике, как и в математике, любое утверждение должно быть строго доказано. Заметим, что в связи с этой теоремой Архимеду приписывают слова: «Дайте мне точку опоры, и Я подниму (опрокину) земной шар!».

Дальнейшее развитие механики в древности совершалось благодаря трудам греческих геометров, среди которых необходимо упомянуть Птолемея (II в. н. э.). Птолемей ввел свою знаменитую геоцентрическую картину мира, которая господствовала в течение двадцати веков, до Н. Коперника.

В средние века царствовала метафизика, алхимия, схоластика. Начиная с XV в. началось возрождение науки и вместе с ней

и механики. В этот период особенно выделяется гениальный художник, геометр и инженер Леонардо да Винчи (1452−1519), которому принадлежат исследования в области теории механизмов и движения по наклонной плоскости. Он также строил модели летательных машин.

Некоторое время спустя Н. Коперник (1473−1543) создал гелиоцентрическую картину мира, которая сменила геоцентрическую картину Птолемея и произвела большой переворот в научном мировоззрении. Благодаря работам Н. Коперника и многочисленным наблюдениям датского астронома Тихо-Браге И. Кеплер (1571−1630) получил три знаменитых закона движения планет, которые послужили И. Ньютону основанием для его закона всемирного тяготения. Далее голландец

25

И. В. Богомаз. Механика

Стивен (1548–1620) исследовал законы равновесия тела наклонной плоскости и на основании этих законов пришел к выводу основных законов статики (повторил и дополнил работы Архимеда).

Средневековый период развития механики заканчивается рабо-

тами Г. Галилея (1564–1642) и Х. Гюйгенса (1629–1695).

ВXVI–XVII вв. в Западной Европе механика изучалась по сочинениям Коперника, Декарта, Стевина, Галилея, Кеплера и Гюйгенса. Зарождение науки механики относится к XVII в.; ее основоположником считается Галилео Галилей, который впервые обосновал необходимость применения аналитических методов расчета взамен эмпирических правил. Новый период развития механики начинается со времени И. Ньютона (1643–1727), который основал современную классическую механику. Со времени И. Ньютона механика становится точной математической наукой.

Содержание «Математических начал натуральной философии» И. Ньютона излагают почти все современные авторы учебников по механике для высшей школы на языке дифференциального и интегрального исчислений.

ВРоссии до XVIII в. строителей городов, укреплений, мостов,

архитекторов, литейщиков пушек и колоколов называли розмыслами4. Розмысл обязан был размыслить задачу со всех сторон, опираясь не только на свой собственный опыт, но и на весь накопленный опыт его предшественников, на свой ум, изобретательность, на мечту. Таким образом, русское название розмысл по существу предвосхитило то понимание роли руководителя в постановке и разрешении технических задач, которое установилось в Европе и России в значительно более позднюю эпоху – в XVIII–XIX вв. Латинское слово «инженер» обозначает острый, изобретательный ум.

Строительство как деревянных, так и каменных городищ, городовкрепостей военно-оборонительного характера было явлением обычным

ишироко распространенным в древней Руси. В искусстве возведения го- родники-розмыслы достигли совершенства. Как утверждает древнейший памятник летописания Руси Ипатьевская летопись (XV в.), в 1156 г. на Боровицком холме в небольшом городке Москве возводится крепость с восьмиметровым валом и мощной по тем временам деревянной стеной, достигавшей 3 м в высоту и 1200 м в длину – Московский кремль. Суще-

ствующие стены и башни Кремля были построены в 1485–1495 гг.

4 Гумилевский Л. Русские инженеры. М. : Молодая гвардия, 1947. 445 с.

26

Введение

В плане стены образуют собой неправильный треугольник. Вдоль стен расположено 20 башен. 3 башни, стоящие в углах треугольника, имеют круглое сечение, остальные – квадратное. Самая высокая башня Спасская, она имеет высоту 71 м. Большинство башен выполнено в едином архитектурномстиле, приданномимвовторойполовинеXVII в.

К концу XV – началу XVI в. Московский кремль становится самым значительным фортификационным сооружением в Европе. Причем его башни, соборы, гражданские постройки совершенны не только по своей архитектуре, но и по интерьерам и отделке. Стены и башни Кремля, которые стоят и сейчас, были выстроены при великом князе всея Руси Иване III в 1485-1495 гг. Возвели их итальянские архитекторы Антонио Джиларди, Марко Руффо, Пьетро Антонио Солари, Алоизио да Каркано (рис. 24).

Общая длина кремлевских стен 2 235 м, толщина от 3,5 до 6,5 и высота от 5 до 19 м. От башни к башне можно пройти по боковому ходу шириной 2–4 м, проложенному по верху стены. Снаружи его прикрывают 1 045 двурогих зубцов высотой 2–2,5 м и толщиной 65–70 см, изнутри парапетная стенка. Когда-то над стеной была двускатная деревянная кровля, укрывавшая стрельцов в непогоду и предохранявшая стену от дождя, снега и ветра. В XVIII в. она сгорела и больше не восстанавливалась за ненадобностью.

Величием и красотой блистают до сих пор остатки таких крепостей, как Смоленский, Псковский и др. кремли (рис. 25).

Смоленский кремль (1595–1602 г, архитектор Фёдор Конь) построен в годы правления царей Федора Иоанновича и Бориса Годунова в Смоленске.

Рис. 24

27

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 25

Протяженность стен кремля 6,5 км. На строительство Смоленского кремля пошло 100 млн кирпичей, сотни тысяч пудов полосового железа и множество других строительных материалов. Такой колоссальный объем строительства стал возможным только благодаря государственной централизации строительного дела в России. В строительстве смоленской крепости принимала участие вся Русская земля или, как говорит летопись, «делаша его всеми городами Московского государства». Сейчас сохранилось меньше половины кремлевских стен и башен.

Псковский кремль – один из замечательнейших памятников русского военно-крепостного и гражданского зодчества. Высокая скала у обрывистых берегов двух рек уже сама по себе являлась природной крепостью. Стены и башни кремля только украсили и усилили то, что было создано природой. Даже сейчас, когда почти половина Першей – южной стены кремля оказалась под землей, она поражает своей величиной и мощью. Высота Першей достигала 20 м, толщина – 6 м. Стену завершали две башни с проездными воротами – Смердья и Троицкая.

28

Введение

Псков сделался сильнейшей крепостью, важнейшим торговым центром и красивейшим городом. «Мы уже в миле от Пскова любуемся Псковом. Боже, какой большой город! Точно Париж», – писал польский царедворец Пиотровский, видевший Псков во время осады в 1581 году. – Город чрезвычайно большой, какого нет во всей Польше, весь обнесен стеной, за ней красуются церкви, как густой лес, все каменные, домов за стенами не видно, – добавляет тот же Пиотровский5.

Архитектурный ансамбль Вырубицкого монастыря, построенного в XI в, дает представление о высокой инженерно-строительной культуре в Киевской Руси (рис. 26).

Большую роль в становлении механики как науки в России сыграл Л. Эйлер (1707–1783). Он один из первых оценил преимущества дифференциального и интегрального исчислений, как методов, наиболее адекватных сущности задач механики. Эйлер определил цикл проблем механики: – «Сначала рассматриваются тела бесконечно малые, те, которые могут рассматриваться как точка, затем твердые тела, не позволяя им менять свою форму. В-третьих, нужно говорить о телах гибких, в-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие…»6. Многие задачи, которые решил Эйлер, вошли во все современные учебники по теоретической и технической механике (сопротивлению материалов), например, решение задачи об изгибе стержня, находящегося под действием силы, направленной по оси недеформированного стержня при различных условиях закрепления его концов.

Рис. 26

5Википедия: http://ru.wikipedia

6Гумилевский, Л. Русские инженеры. М. : Молодая гвардия, 1947. 445с.

29

И. В. Богомаз. Механика

Одна из первых книг по физико-математическим наукам вышла

вРоссии в 1703 – «Арифметика – сиречь наука числительная», составленная учителем школы математических и навигационных наук Л. Ф. Магницким, знакомила русских читателей с некоторыми простейшими понятиями и законами механики. М. В. Ломоносов назвал эту книгу «вратами учености» и считал одной из самых замечательных книг XVIII в. Магницкий первый знакомил читателей с математикой

вредком для своего времени объеме и показал ее большое практическое значение. Не менее важна его заслуга как первого учителя русских моряков, преодолевшего с успехом громадные затруднения, которые встретились ему при изложении на русском языке основ мореходной науки. Первая книга по теоретической механике издана в 1722 г. для слушателей Морской академии, автором которой стал ее руководитель

профессор Г. Г. Скорняков-Писарев. Книга была очень краткой (36 страниц и 21 чертеж) и описывала семь «главнейших» механизмов

исложение и разложение сил тяжести. Важным шагом в развитии механики твердого тела явились экспериментальные исследования Р. Гука (60–70-е гг. XVII в.), установившего линейную зависимость между силой, приложенной к растянутому стержню, и его удлинением (закон Гука). В XVIII в. большой вклад в развитие аналитических методов в механике был сделан Д. Бернулли, Л. Эйлером и Ш. Кулоном, сформулировавшими важнейшие гипотезы и создавшими основы теории расчета стержня на изгиб и кручение. Исследования Эйлера в области продольного изгиба послужили основой для создания теории устойчивости стержней и стержневых систем. Т. Юнг ввел (1807) понятие о модуле упругости при растяжении и предложил метод его определения.

Вначале XIX в. наука о прочности приобретает теоретический характер. Труды Навье (1785–1836), Лямэ (1797–1886) и др. осветили многие вопросы проблем прочности, углубили теоретические знания

изаложили тот фундамент, на котором выросла стройная наука «механика деформируемого твердого тела». В этот период были сформулированы основные допущения (гипотезы) и даны расчетные уравнения. Наука интересовалась прочностью материалов, но еще не давала ответа на вопрос о том, как рассчитывать сооружения.

Развитие сопротивления материалов, как самостоятельного курса, началось с опубликованием в 1826 г. Л. Навье первого учебного курса, содержавшего систематизированное изложение теории расчета элементов конструкций и сооружений. Принципиальное значение имели труды А. Сен-Венана (2-я половина XIX в.). Им впервые были

30

Введение

выведены точные формулы для расчета на изгиб кривого бруса и сформулирован принцип, согласно которому распределение напряжений в сечениях, отстоящих на некотором расстоянии от места приложения нагрузки, не связано со способом ее приложения, а зависит только от равнодействующей этой нагрузки.

Русский профессор В. Л. Кирпичев (1845–1913) один из первых

вРоссии выделил из механики курс сопротивления материалов и назвал свой двухтомный учебник «Сопротивление материалов», определив таким образом содержание курса.

Конец XIX – начало XX столетия считается периодом творческой зрелости механики в России. И. В. Остроградский определил значение математической культуры при изложении механики: «В основе всех вычислений лежит строгость и изящество математического анализа...

Метод математического анализа не оставляет в решениях ничего ту-

манного или неопределенного, он доводит решение частных задач механики до последнего числа».7 Исследования М. В. Остроградского

вобласти сопротивления материалов, строительной механики, математики и теории упругости приобрели мировую известность.

Особо отметим вклад российских ученых в науку о сопротивлении материалов. Следует назвать имена Л. Эйлера (1707–1783), члена Петербургской академии наук, который занимался расчетом сжатых стержней на устойчивость); Д. И. Журавского (1821–1891) – получил формулу для определения касательных напряжений при изгибе, которой пользуются и в настоящее время; Ф. С. Ясинского (1856–1899) – занимался проблемой устойчивости упругих систем и дал наиболее полное обоснование расчетов на устойчивость.

Вначале XX в. появляются работы проф. И. Г. Бубнова (1872– 1919), акад. А. Н. Крылова (1863–1945) и др., посвященные разработке расчетных методов для решения задач сопротивления материалов. Они развили методы анализа напряжений в теории корабельных конструкций. А. Н. Крылов занимался проблемой колебаний кораблей, Н. Г. Бубнов – теорией изгиба прямоугольных пластин и, кроме того, опубликовал первые монографии по теории конструкций кораблей. Большой вклад в развитие науки о сопротивлении материалов внес С. П. Тимошенко (1878–1972), автор учебников и научных работ по вопросам расчета сооружений на прочность и колебания.

7 Космодемьянский А. А. Очерки по истории механики. М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. 296 с.

31

И. В. Богомаз. Механика

Мировой общественностью отмечаются большие заслуги русских механиков в развитии курса сопротивления материалов. В частности, проф. Д. И. Журавский впервые установил (1855) наличие касательных напряжений в продольных сечениях бруса и получил формулу для их вычислений (эта формула применяется и в современной практике инженерных расчетов). Также всеобщее признание получили исследования Ф. С. Ясинского, разработавшего (1893 г.) теорию продольного изгиба в упругой стадии и за её пределами (рекомендации Ясинского послужили основой для разработки нормативных документов в СССР

и за рубежом).

А. Н. Крылов, классик русской механики начала прошлого века, много лет преподавал курс теоретической механики в высших учебных заведениях России. Он считал, что для хорошего усвоения механики необходима глубокая подготовка по математике. Основные понятия механики и ее законы следует излагать в скалярной, а не в векторной форме. Существенную роль в преподавании механики внес ученый-механик, проф. А. П. Минаков (1893–1954).

Особо следует отметить работы чл.-корр. АН СССР В. З. Власова (1906–1958) по расчету тонкостенных стержней и оболочек, чл.-корр. АН СССР Н. С. Стрелецкого (1885–1967), сформулировавшего метод расчета по предельным состояниям строительных конструкций. Важные исследования по вопросам проблем прочности выполнены акад. Ю. Н. Работновым (1914–1984), чл.-корр. РАН А. А. Ильюшиным, акад. НАН Украины Г. С. Писаренко, акад. РАН В. В. Болотиным, чл.-корр. РАН Н. А. Махутовым и др. советскими учеными.

Курс механики – это одна из первых инженерных дисциплин, которую изучают студенты архитектурно-строительных вузов. Этот курс должен являться связующим звеном между чисто теоретическими предметами, такими, как математика, с одной стороны, и специальными дисциплинами конструирования и проектирования сооружений, с другой. Основные положения механики опираются на законы и теоремы общей механики и, в первую очередь, на законы статики, без знания которых изучение курса механики немыслимо.

Наука о прочности тесно связана с физикой твердого тела, раскрывающей природу деформирования и разрушения твердых тел; материаловедением, исследующим технические свойства металлов; испытаниями материалов, позволяющими экспериментально изучать и оценивать количественно их механические свойства. Механика кон-

32

Введение

струкций изучает прикладные вопросы механики твердого деформируемого тела – инженерные методы расчетов простейших элементов конструкций.

Традиционная подготовка инженера в России была сформирована в начале прошлого века. Проф. И. В. Мещерский (1859–1935) выразил основную идею фундаментальной подготовки высокообразованного инженера: «Эта идея состоит в том, что нужно сосредоточить изучение естественных и общеобразовательных дисциплин на первых двух курсах, а курс теоретической механики должен быть теснейшим образом связан с курсами математики и технической механики8». Такой вывод И. В. Мещерского обоснован анализом постановки преподавания механики в высших технических учебных заведениях России и западноевропейских странах. «Математика, физика, механика – писал И. В. Мещерский, – в известном объеме, который может быть установлен, составляют основу всякого инженерного образования; приступая к изучению технической специальности, будущий инженер должен уже владеть этими предметами в указанном объеме».

И. В. Мещерский был не только ученым, но и выдающимся педагогом русской высшей технической школы. Исключительное значение он придавал постановке преподавания курса теоретической механики. Он считал, что в высшей технической школе курс теоретической механики должен быть теснейшим образом связан с курсами прикладной механики. При выборе задач особенное внимание должно быть обращено на то, чтобы они имели конкретную форму. Студенты, решая эти задачи, должны приобрести уменье и навыки применения общих теорем и методов к конкретным вопросам прикладного значения. «Сборник задач по теоретической механике», составленный группой преподавателей Петербургского политехнического института под руководством И. В. Мещерского, наилучшим образом отвечает поставленной цели. Это один из лучших задачников для высшей технической школы в мире. В 1938 г. этот задачник переведен на английский язык и принят в качестве основного пособия в американских высших технических учебных заведениях. В России он выдержал 13 изданий. Кроме того, И. В. Мещерским написан «Курс теоретической механики», который также выдержал несколько изданий.

8 Космодемьянский, А. А. Очерки по истории механики. М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. 296 с.

33

И. В. Богомаз. Механика

Для хорошего усвоения механики необходима глубокая подготовка по математике. Умение пользоваться методами и средствами математического анализа необходимо для решения практических технических задач. «Решение задач непременно должно доводить до числа. Пока не достигнуто численное определение неизвестных, до тех пор решение остается неполным или бесполезным, ибо истина, которую мы хотим открыть, остается столь же сокрытою в глубине аналитических выражений, как и самом физическом вопросе» 9– А. Н. Крылов. При решении задач особое внимание следует обращать на выявление физических причин, определяющих данное явление.

Современная архитектурно-строительная наука, с одной стороны, занимается выработкой и систематизацией объективных знаний о человеке как основном потребителе архитектурных зданий, причем само потребление рассматривается двойственно: как эстетическое, так

икак функциональное; с другой, создает теорию сооружений, изучает строительные материалы и технологию строительства.

Участие архитекторов в проектировании строительных зданий

исооружений должно гарантировать качественное проведение предпроектного исследования, анализа и взаимную увязку всех аспектов проекта и грамотного его внедрения в жизнь. Важно с помощью науки показать возможности высокотехнологичных достижений в создании материалов, интеллектуальных зданий, в экологической сфере, в сфере высотного, подземного строительства и т. д. Выпускник вуза должен отвечать за результаты своего труда. Тогда наши города будут украшены великолепными и надежными зданиями (рис. 27).

Рис. 27 На с. 36. Рис. 27. Продолжение

На с. 37. Рис. 27. Окончание

9 Космодемьянский, А. А. Очерки по истории механики. М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. 296 с.

34

Введение

Рис. 27. Продолжение

35

И. В. Богомаз. Механика

Рис. 27. Продолжение

36

Введение

Рис. 27. Окончание

Здания, показанные на рис. 27, украшают улицы г. Красноярска. Остекление этих зданий на уровне мировых стандартов проводилось фирмой «Окно», которая специализируется на изготовлении светопрозрачных конструкций любой сложности с 1996 г. Технологию остекления зданий и сооружений, культуру остекления, дизайн любой сложности в г. Красноярске заложил генеральный директор фирмы «Окно» Богомаз Валерий Владимирович, талантливый инженер, организатор, строитель, дизайнер. Фотографии любезно предоставили друзья нашей семьи, фотографы Сергей Макашин и Дмитрий Юрлагин.

37