МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil2_14
.doc2.14. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ,
ЩО ДОПУСКАЮТЬ ПОНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
1. Рівняння
вигляду
(2.47)
Зробивши заміну
(2.48)
це рівняння
зводиться до диференціального рівняння
першого порядку
,
інтегруючи яке
одержимо
тобто рівняння
(2.49)
Аналогічно понижуємо порядок одержаного диференціального рівняння.
2. Рівняння вигляду
(2.50)
не містить явним
чином шуканої функції
.
З допомогою підстановки
(2.51)
рівняння зводиться до диференціального рівняння першого порядку.
проінтегрувавши яке, одержимо
Тоді загальний інтеграл рівняння (2.50) буде мати такий вигляд
Аналогічно можна проінтегрувати і рівняння
поклавши
3. Рівняння вигляду
(2.52)
не містить явним
чином незалежної зміної
.
Зробивши підстановку
(2.53)
одержимо рівняння першого порядку
Інтегруючи його,
знайдемо
Підставивши це значення в (2.52), одержимо
Після відокремлення змінних та інтегрування одержимо загальний інтеграл рівняння (2.53)
AP-2.14
Проінтегрувати наступні рівняння:
СР-2.14
Знайти загальний розв’язок
Знайти розв’язок задачі Коші
ІДЗ-2.14
Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б
)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
-
а)
б)
в)
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
Розв’язати диференціальні рівняння:
1.
2.
Понизимо порядок даного диференціального рівняння, використовуючи підстановку
.
Тоді
Отримали рівняння з відокремлюваними змінними
або
Тоді
3.
В даному рівнянні понизимо порядок за допомогою підстановки
Тоді
Розглянемо
два випадки: 1)
2)
.
1) Поділивши
рівняння на
,
отримаємо
або
Тоді
і
-
Якщо
то
і
При
ми одержимо
так що даний розв’язок
входить в одержаний у випадку 1). Отже,
- загальний розв’язок
рівняння.