МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil2_1

1. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ НАД НИМИ

Комплексним числом називається число , де і - дійсна та уявна частини комплексного числа і позначаються та , а - уявна одиниця.

Якщо на площині введена прямокутна декартова система координат , то комплексне число можна зобразити радіус-вектором , який має координати . Площина, на якій зображаються комплексні числа, називається комплексною площиною, вісь - уявною віссю.

Число називається модулем комплексного числа . Модуль числа дорівнює довжині вектора .

Всякий розв’язок системи рівнянь

(2.1) називаєтсья аргументом комплексного числа .Всі аргументи числа відрізняються на числа кратні і позначаються . Кожне значення аргумента співпадає з величиною деякого кута, на який необхідно повернути вісь до співпадання з радіус-вектором .

Значення , що задовільняє умові

, називають головним значенням аргументу і позначають .

Із співвідношення (2.1) випливає, що для довільного комплексного

числа справедливі рівності

(2.2)

(2.3)

Рівність (2.2) називається тригонометричною формою комплексного числа , а (2.3) - показниковою.

Якщо - натуральне число, то справедлива формула Муавра

(2.4)

або

(2.5)

Якщо комплексне число представлене у тригонометричній формі (2.2) або показниковій (2.3), то для мають місце формули

(2.6) або

АР-2.1

1. Обчислити , де (Відповідь:).

2. Знайти дійсну та уявну частини числа

(Відповідь: ).

3. Представити в тригонометричній та показниковій формах

комплексні числа:

a); б)

4.Знайти корені рівняння

(Відповідь: ).

СР-2.1

1. Обчислити (Відповідь: ).

2.Обчислити (Відповідь: 0).

3. Встановити, при якому дійсному значенні комплексне число буде: а) дійсним; б) чисто уявним; в) рівним нулю. (Відповідь: a) –2: б) –5/2; в) ні при якому).

ІДЗ-2.1

1. Обчислити , де – номер варіанта.

2. Представити в тригонометричній та показниковій формах

комплексні числа:

якщо

якщо

якщо

якщо

3. Обчислити, використовуючи формули Муавра.

3.1. а) б)

3.2. а) б)

3.3. а) б)

3.4. а) б)

3.5. а) б)

3.6. а); б).

3.7. а); б).

3.8. а); б).

3.9. а); б).

3.10.а) ; б).

3.11.а); б).

3.12.а) ; б).

3.13.а); б).

3.14.а); б).

3.15.а); б).

3.16.а); б).

3.17.а); б).

3.18.а); б).

3.19.а); б).

3.20.а); б).

3.21.а); б).

3.22.а); б).

3.23.а); б) .

3.24.а); б).

3.25.а); б) .

3.26.а); б).

3.27.а); б).

3.28.а); б) .

3.29.а); б) .

3.30.а); б) .

4. Побудувати на комплексній площині області:

4.1.

4.2. де

4.3.

4.4.

4.5.

6. 

7. де

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. де

16. 

17. 

18. 

19. 

20. де

21. 

22. 

23. 

24. де

25. де

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

1. Обчислити , де

Знайдемо

Помножимо дане число на :

Тепер отриманий результат поділимо на

2. Представити в тригонометричній та показниковій формах

комплексне число .

Використовуючи формули знаходимо ;

Тоді

та .

3. Обчислити, використовуючи формули Муавра:

а) б)

а) Перейдемо до тригонометричної форми запису числа .

Знаходимо

Тоді

б) Запишемо в тригонометричній формі число :

Тоді за формулою Муавра

4. Побудувати на комплексній площині область де

.

Це зовнішня частина круга з центром в точці .

Рис.2.1

32