МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_19
.doc
1.19.
ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ,
ЇХ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ
1.
Поняття функції декількох змінних.
Нехай
довільна множина точок
-
вимірного арифметичного простору. Якщо
кожній точці
ставиться у відповідність деяке дійсне
число
то говорять, що на множині
задана функція
від
змінних
Множина
називається областю визначення, а
множина
множиною значень функції.
В
частинному випадку, коли
функція двох змінних
може розглядатися як функція точок в
трьохвимірному просторі з фіксованою
системою координат
Графіком цієї функції називається
множина точок
, що представляє собою, взагалі кажучи,
деяку поверхню.
2.
Границя і неперервність функції. Число
називається границею функції
при
якщо для довільного
існує таке
що із умови
випливає
При цьому пишуть
Функція
називається неперервною в деякій точці
якщо виконуються такі умови:
-
функція
визначена в точці
-
існує
-
Функція
називається неперервною в деякій області
якщо вона неперервна в кожній точці
цієї області. Якщо в точці
хоча б одна із умов 1) - 3) порушується, то
називається точкою розриву функції
Точки розриву можуть бути ізольованими,
утворювати лінії розриву, поверхні
розриву і т. д.
3.
Частинні похідні. Нехай
довільна фіксована точка із області
визначення функції
Тоді частинною похідною
функції
по змінній
в точці
називається границя відношення частинного
приросту функції
до приросту змінної
коли
Частинні похідні
обчислюються за звичайними правилами
і формулами диференціювання (при цьому
всі змінні, крім
вважаються постійними).
Частинними
похідними 2-го порядку функції
називаються частинні похідні від її
частинних похідних першого порядку.
Так, для функції двох змінних
Аналогічно
визначаються і позначаються частинні
похідні вищих порядків.
Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежить від порядковості диференціювання при умові, що
« змішані » частинні похідні, що виникають при цьому, неперервні.
Так, наприклад,
і т.д.
4.
Диференціювання неявних функцій.
Нехай рівняння
,
де
диференційовна
функція змінних
і
визначає
як функцію від
Похідна
цієї неявної функції в точці
виражається формулою
(1.46)
при умові, що
де
Якщо рівняння
,
де
диференційовна функція змінних
визначає
як функцію змінних
,
то частинні похідні функції
в точці
обчислюються
за формулами
(1.47)
при умові, що
де
і
.
АР-1.19
1. Знайти області визначення функцій:
а)
б)
.
(Відповідь:
a)
б)
).
2. Обчислити границі функцій, вважаючи, що незалежні змінні довільно прямують до своїх граничних значень:
a)
б)
(Відповідь: a) 2; б)1).
3.Знайти частинні похідні даних функцій по кожній із незалежних змінних:
a)
б)
в)
.
4. Знайти похідні від функцій, які задані неявно:
a)
б)
(Відпрвідь:
а)
б)
).
5. Дано
функцію
Довести, що
.
6. Знайти
від заданої функції
.
7. Дано:
.
Довести,
що
.
СР-1.19
1.Знайти:
а)
oбласть визначення функції
;
б)
похідну функції
,
заданої рівнянням
;
в)
частинні похідні другого порядку функції
.
2. Знайти:
а)
область визначення функції
;
б)
похідну функції
,
заданої рівняням
.
в)
частинні похідні другого порядку функції
.
3. Знайти:
а)
область визначення функції
;
б)
частинні похідні функції
,
заданої рівнянням
в)
частинні похідні другого порядку функції
.
ІДЗ-1.19
1.Знайти область визначення даних функцій:
1.1.
.
1.2.
1.3.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.
1.7.
.
1.8.
.
1. 9.
.
1.10.
.
1.11.
1.12.
.
1.13.
1.14.
.
1.15.
.
1.16.
.
1.17.
.
1.18.
.
1.19.
.
1.20.
.
1.21.
.
1.22.
.
1.23.
.
1.24.
.
1.25.
.
1.26.
.
1.27.
.
1.28.
.
1.29.
.
1.30.
.
2. Обчислити
значення частинних похідних функції
,
заданої неявно, в даній точці
з точністю до двох знаків після коми.
2.1.
(Відповідь:
).
2.2.
(Відповідь:
).
2.3.
(Відповідь:
).
2.4.
(Відповідь:
).
2.5.
(Відповідь:
).
2.6.
(Відповідь:
).
2.7.
(Відповідь:
).
2.8.
(Відповідь:
).
2.9.
(Відповідь:
).
2.10.
(Відповідь:
).
2.11.
(Відповідь:
).
2.12.
(Відповідь:
).
2.13.
(Відповідь:
).
2.14.
(Відповідь:
).
2.15.
.
(Відповідь:
).
2.16.
.
(Відповідь:
).
2.17.
.
(Відповідь:
).
2.18.
.
(Відповідь:
).
2.19.
.
(Відповідь:
).
2.20.
.
(Відповідь:
).
2.21.
.
(Відповідь:
).
2.22.
.
(Відповідь:
).
2.23.
.
(Відповідь:
).
2.24.
.
(Відповідь:
).
2.25.
.
(Відповідь:
).
2.26.
.
(Відповідь:
).
2.27.
.
(Відповідь:
).
2.28.
.
(Відповідь:
).
2.29.
.
(Відповідь:
).
2.30.
.
(Відповідь:
).
3. Знайти
другі частинні похідні вказаних функцій.
Переконатися в тому, що
3.1.
.
3. 2.
.
3.3.
.
3.4.
.
3.5.
.
3. 6.
.
3.7.
.
3.8.
.
3.9.
.
3.10.
.
3.11.
.
3.12.
.
3.13.
.
3.14.
.
3.15.
.
3.16.
.
3.17.
.
3.18.
.
3.19.
.
3.20.
.
3.21.
.
3.22.
.
3.23.
.
3.24.
.
3.25.
.
3.26.
.
3.27.
.
3.28.
.
3.29.
.
3.30.
.
4.
Перевірити, чи задовільняє вказане
рівняння функція
:
4.1.
4.2.
.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
.
4.7.
.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1. Знайти
область визначення функції
. Арифметичний
квадратний корінь існує тільки при
невід’ємних
значеннях підкореневого виразу, а
показникова функція -всюди, тому
або
.
Отже, межею області буде коло з центром
у початку координат і радіусом
.
Область визначення даної функції
складається із зовнішніх точок кола,
включаючи і точки кола (рис.1.21).
2.
Обчислити значення частинних похідних
функції
,
заданої неявно рівнянням
,
в точці
з точністю до двох знаків після коми.
В даному
випадку
,
тому
За формулами (1.47) маємо:
Рис.1.21
Обчислимо
значення
і
в точці
:
3. Знайти
другі частинні похідні функції
.
Переконатись в тому, що
.
Спочатку знаходимо перші частинні похідні даної функції:
Диференціюючи
кожну із отриманих похідних по
і по
,
знайдемо
другі частинні похідні даної функції:
Як
видно, мішані частинні похідні
рівні між собою.
4. Перевірити, чи задовільняє рівняння
функція
Знаходимо частинні похідні першого і другого порядку:
Підставляємо одержані значення в ліву частину початкового рівняння:
.
Порівнюючи одержаний результат із виразом у правій частині, бачимо, що дана функція задовільняє початкове рівняння.