МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_9

1.9. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ

АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

1. Правило Крамера. Якщо в системі лінійних алебраїчних рівнянь (CЛАР)

(1.25)

визначник системи де

,

то система (1.25) має єдиний розв’язок, який обчислюється за формулами Крамера

(1.26)

де визначник,що одержується із визначника шляхом заміни - стовпця на стовпець вільних членів.

2. Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці.

В матричній формі систему (1.25) можна записати в такому вигляді:

, (1.27)

де Тоді розв’язок системи (1.27) має такий вигляд:

(1.28)

при умові, що

3. Метод Жордана-Гаусса. Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими

(1.29)

або в матричній формі , де

Матриця називається розширеною матрицею системи (1.29). З допомогою елементарних перетворень над рядками і перестановкою стовпців розширена матриця системи (1.29) може бути приведена до такого вигляду

. (1.30)

Матриця (1.30) є розширеною матрицею системи

(1.31)

яка еквівалентна початковій системі (1.29).

Якщо хоча б одне із чисел відмінне від нуля, то система (1.31) , а, значить, і система (1.29) несумісні.

Якщо ж то система сумісна і формули

31. дають по суті явний вираз для базисних невідомих

через вільні невідомі

AP-1.9

1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

1) за формулами Крамера; 2) засобами матричного числення;

3) методом Жордана-Гаусса.

2. Дослідити сумісність і знайти загальний розв’язок системи

3. Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок системи рівнянь

СР-1.9

1. Дослідити сумісність системи лінійних алгебраїчних рівнянь

2. Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок системи

ІДЗ-1.9

Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

1) за формулами Крамера; 2) засобами матричного числення;

3) методом Жордана-Гаусса:

Тут ( номер варіанта).

Всі обчислення проводити до третього знаку після коми.

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) засобами матричного числення;

в) методом Жордана-Гаусса:

а) Обчислимо визначник системи

обчислимо також

Тоді за формулами Крамера (1.26) одержимо

б) Запишемо систему в матричній формі де

тоді

Знайдемо обернену матрицю:

,

і

в) Виконуючи елементарні перетворення над рядками розширеної матриці одержимо

тобто ми звели систему до такого вигляду

Відповідь:

2. Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок однорідної системи

Знайдемо ранг матриці коефіцієнтів

тому ранг

В якості базисного мінора виберемо мінор і тоді вкорочена система має вигляд

звідки, покладаючи знаходимо

Загальний розв’язок системи Із загального розв’язку одержимо фундаментальну систему розв’язків