МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_4
.doc-
ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
Пряма
на площині в прямокутній декартовій
системі координат
може бути задана одним із рівнянь:
-
загальне
рівняння прямої;
2)
рівняння
прямої, що
проходить
через точку
і
перпендикулярна вектору
-
рівняння
прямої, що проходить через точку
і паралельна напрямному вектору
-
параметричне
рівняння прямої; -
рівняння
прямої у відрізках, де
і
величини
направлених відрізків, що відтинаються
прямою на координатних осях
і
відповідно; -
рівняння
прямої з кутовим коефіцієнтом.
Якщо
рівняння прямих
то тангенс кута між цими прямими
обчислюється за формулою
(1.13)
Із формули (1.13) одержимо умови паралельності та перпендикулярності двох прямих
Якщо
рівняння прямої
задане загальним рівнянням вигляду 1),
то віддаль від точки
до
прямої
обчислюється за формулою
(1.14)
АР-1.4
1.
Трикутник
заданий координатами своїх вершин
Потрібно:
а) написати рівняння
сторони
б)
написати рівняння висоти
і обчислити її довжину
в) знайти
кут
між висотою
і медіаною
г)
написати рівняння бісектриси
внутрішнього
кута при вершині
д) знайти
координати точки
перетину медіани
і висоти
е)
написати рівняння прямої, що проходить
через вершину
паралельно стороні
Виконати рисунок.
2.
Написати рівняння прямої, що проходить
через точку
і відтинає від координатного кута
трикутник із площею, що дорівнює 12.
(Відповідь:
).
3. Точка
лежить на перпендикулярі до прямої
Написати
рівняння перпендикуляра. (Відповідь:
).
4.
Довести, що чотирикутник
трапеція, якщо
СР-1.4
1.
Написати рівняння прямої, що проходить
через точку
і відтинає на координатних осях рівні
відрізки.
(Відповідь:
).
2.
Написати рівняння прямої
що
проходить через точку
під кутом
до прямої
.
(Відповідь:
або
).
3.
Написати рівняння прямої, що паралельна
двом прямим
і
і проходить посередині між ними, якщо
(Відповідь:
).
ІДЗ-1.4
1.
Трикутник
заданий координатами своїх вершин
Потрібно:
а) написати рівняння
сторони
б)
написати рівняння висоти
і очислити її довжину
в) знайти
кут
між висотою
і медіаною
г)
написати рівняння бісектриси
внутрішнього
кута при вершині
д)
координати точки
перетину медіани
і висоти
е)
написати рівняння прямої, що проходить
через вершину
паралельно стороні
Виконати рисунок.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
2. Розв’язати наступні задачі:
2.1. Точка
є вершиною квадрата, одна із сторін
якого лежить на прямій
Обчислити
площу квадрата.
(Відповідь: 5).
2.2.
Написати рівняння прямої, що проходить
через точку перетину прямих
і
,
і відтинає на осі абсцис відрізок, що
дорівнює 3. (Відповідь:
).
2.3.
Знайти проекцію точки
на пряму, що проходить через точки
і
(Відповідь:
).
2.4. Записати
рівняння прямої, що відтинає на осі
ординат відрізок довжиною 2од. і
паралельна прямій
(Відповідь:
).
2.5.
Записати рівняння прямої, що проходить
через точку перетину прямих
і точку
(Відповідь:
).
2.6.
Задані дві вершини трикутника
і точка
перетину його висот. Знайти вершину
(Відповідь:
).
2.7.
Записати рівняння прямої, що проходить
через точку
паралельно прямій
якщо
(Відповідь:
).
2.8.
Знайти рівняння прямої, що проходить
через точку
перпендикулярно до прямої
якщо
(Відповідь:
).
2.9.
Знайти точку
перетину
діагоналей чотирикутника
якщо
(Відповідь:
).
2.10.
Знайти точку, яка симетрична точці
відносно прямої
(Відповідь:
).
2.11.
Задані дві вершини трикутника
і точка перетину його висот
Знайти координати точки
перетину сторони
і висоти
(Відповідь:
).
2.12.
Відомі рівняння сторони
трикутника
його
висот
і
Знайти
рівняння двох інших сторін трикутника
(Відповідь:
).
2.13.
Через точку перетину прямих
провести пряму, яка паралельна вісі
абсцис. (Відповідь:
).
2.14. Через точку
перетину прямих
провести
пряму, що ділить відрізок між точками
і
у відношенні
(Відповідь:
).
2.15.
Знайти ординату точки
що лежить на одній прямій з точками
і має
абсцису
(Відповідь:
).
2.16.
Записати рівняння прямої, що проходить
через точку
і утворює з віссю
кут
(Відповідь:
).
2.17.
Через точку
провести пряму, що відтинає рівні
відрізки на осях координат. (Відповідь:
).
2.18.
Написати рівняння медіани
і висоти
трикутника
якщо
(Відповідь:
).
2.19.
Задані рівняння сторін чотирикутника:
Знайти
рівняння його діагоналей.
(Відповідь:
).
2.20. Записати
рівняння перпендикулярів до прямої
,
проведених
через точки перетину даної прямої з
осями координат. (Відповідь:
).
2.21. Скласти рівняння
прямої, що проходить через початок
координат і точку перетину прямих
(Відповідь:
).
2.22.
Заданий трикутник
Обчислити довжину його медіани, проведеної
із вершини
(Відповідь:
).
2.23.
Скласти рівняння висоти, проведеної
через вершину
трикутника
знаючи
рівняння його сторін:
(Відповідь:
).
2.24.
Обчислити координати точки перетину
перпендикулярів, проведених через
середини сторін трикутника з вершинами
в точках
(Відповідь:
).
2.25.
Записати рівняння висоти трикутника
що проходить через вершину
якщо
(Відповідь:
).
2.26. Задані рівняння
двох сторін паралелограма
і точка
перетину його діагоналей
Записати рівняння двох інших сторін
паралелограма. (Відповідь:
).
2.27. Задані рівняння
висот трикутника
і
координати його вершини
Знайти рівняння сторони
(Відповідь:
).
2.28.
Записати рівняння прямих, що проходять
через точку
під кутом
до прямої
(Відповідь:
).
2.29.
Знайти точку
перетину медіан трикутника
(Відповідь:
).
2.30.
Відомі рівняння двох сторін ромба
і
і
рівняння однієї із його діагоналей
Записати рівняння другої діагоналі.
(Відповідь:
).
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1.
Трикутник
заданий координатами своїх вершин
Потрібно:
а) написати рівняння
сторони
б)
написати рівняння висоти
і обчислити її довжину
в) знайти
кут
між висотою
і медіаною
г)
написати рівняння бісектриси
внутрішнього
кута при вершині
д) знайти
координати точки
перетину
медіани
і висоти
е)
написати рівняння прямої, що проходить
через вершину
паралельно стороні
Виконати рисунок .
а)
Виконаємо рисунок 1.3. Рівняння сторони
(рівняння
прямої, що проходить через дві задані
точки ):
б)
Кутовий коефіцієнт прямої
тоді кутовий коефіцієнт перпендикуляра
-
знаходимо з умови
Рівняння
висоти
Рис.1.3
Довжина
висоти
обчислюється як віддаль від точки
до прямої
за формулою (1.14)
в)
Знайдемо кординати середини сторони
Тоді рівняння медіани
і її
кутовий коефіцієнт
;
кутовий коефіцієнт висоти
.
Кут між прямими
і
знаходимо за формулою (1.13)
Отже,
г)
Знаходимо координати точки
,
виходячи із властивості бісектриси
тоді
Рівняння бісектриси внутрішнього кута
запишемо як рівняння прямої, що проходить
через дві задані точки
і
д) Для
знаходження точки
перетину
двох прямих
і
розв’яжемо
систему рівнянь
е) Запишемо
рівняння прямої, що проходить через
точку
паралельно прямій
2. Дві
сторони паралелограма задані рівняннями
і
Діагоналі його перетинаються в початку
координат. Написати рівняння двох інших
сторін паралелограма та його діагоналей.
Знайдемо
координати точки перетину сторін
паралелограма
Нехай
це точка
(рис.1.4). Точка
точка
перетину діагоналей (середина діагоналі
).
Тоді
і
Очевидно також, що
рівняння
сторони
а
рівняння сторони
Оскільки
паралельна
то рівняння сторони
шукаємо
у вигляді
знаходимо
із умови, що точка
