МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_6

6. ПРЯМА В ПРОСТОРІ.

ПРЯМА ТА ПЛОЩИНА

1. Пряма в просторі. Пряма лінія в просторі в прямокутній декартовій системі координат може бути задана рівнянням в такому вигляді:

1. канонічне рівняння прямої, де а напрямний вектор прямої;

2. рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і

3. параметричні рівняння прямої;

4. загальне рівняння прямої

як лінії перетину двох площин (в цьому випадку напрямний вектор прямої де і нормальні вектори площин).

Кут між двома прямими в просторі та знаходиться як кут між їх напрямними векторами та

(1.17)

2. Пряма та площина. Кут між прямою та площиною - це кут між прямою та її проекцією на цю площину (рис.1.5).

Рис.1.5

Якщо площина а пряма

то синус кута між прямою та

площиною обчислюється за формулою

(1.18)

Умови паралельності та перпендикулярності площини та прямої:

АР-1.6

1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку

а) паралельно вектору

б) паралельно прямій

(Відповідь: а) б) ).

2. Встановити взаємне розташування прямої і площини. У випадку їх перетину знайти координати точки перетину, а у випадку їх паралельності – віддаль між ними:

а) і

б) і

в) і

(Відповідь: а) паралельні і ; б) пряма лежить в площині;

в) перетинаються в точці ).

3. Знайти координати точки що симетрична точці відносно прямої, яка проходить через дві точки і (Відповідь: ).

4. Обчислити кут між прямою

і площиною

(Відповідь: ).

СР-1.6

1. Записати рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно до площини (Відповідь: ).

2. Обчислити віддаль між прямими і

(Відповідь: ).

3. Чи перетинаються прямі і (Відповідь: ні ).

ІДЗ-1.5

1. Задані чотири точки і .

Скласти рівняння:

а) прямої

б) прямої перпендикулярної до площини

в) прямої паралельної

Обчислити

г) кут між прямою і площиною

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

1.16.

1.17.

1.18.

1.19.

1.20.

1.21.

1.22.

1.23.

1.24.

1.25.

1.26.

1.27.

1.28.

1.29.

1.30.

2. Задані дві паралельні прямі:

і

Записати рівняння площини, що проходить через задані прямі та обчислити віддаль між ними.

(номер варіанта ).

3. Розв’язати наступні задачі:

3.1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку і пряму (Відповідь: ).

3.2. Скласти загальне рівняння площини, утвореної перетином площини з площиною, що проходить через вісь і точку (Відповідь: ).

3.3. Показати, що пряма паралельна площині а пряма лежить в цій площині.

3.4. Знайти проекцію точки на площину (Відповідь: ).

3.5. При яких значеннях і пряма перпендикулярна площині

(Відповідь: і ).

3.6. Довести паралельність прямих і

3.7. Довести, що пряма лежить в площині

3.8. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і утворює з осями координат кути, що відповідно дорівнюють і (Відповідь: ).

3.9. Довести, що пряма перпендикулярна прямій

3.10. Скласти параметричні рівняння медіани трикутника , проведеної із вершини

(Відповідь: ).

3.11. При якому значенні пряма паралельна прямій (Відповідь: ).

3.12. Знайти точку перетину прямої і площини (Відповідь: ).

3.13. Знайти проекцію точки на площину (Відповідь: ).

3.14. При якому значенні площини і перпендикулярні ? (Відповідь: ).

3.15. При якому значенні площина паралельна прямій ? (Відповідь: ).

3.16. При яких значеннях і пряма перпендикулярна до площини ?

(Відповідь: ).

3.17. Скласти рівняння прямої, що проходить через початок координат паралельно прямій

(Відповідь: ).

3.18. Перевірити, чи лежать на одній прямій точки

і . (Відповідь: лежать ).

3.19. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку

паралельно прямій

(Відповідь: ).

3.20. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямих і (Відповідь: ).

3.21. При яких значеннях і площина перпендикулярна до прямої ?

(Відповідь: ).

3.22. Показати, що пряма лежить в площині

3.23. Показати, що прямі і перпендикулярні.

3.24. При якому значенні пряма перетинає вісь ? (Відповідь: ).

3.25. При якому значенні прямі і паралельні ? (Відповідь: ).

3.26. Знайти точку перетину прямої і площини

(Відповідь: ).

3.27. При яких значеннях і пряма лежить в площині ? (Відповідь: ).

3.28. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно осі (Відповідь: ).

3.29. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямій

(Відповідь: ).

3.30. Знайти точку, що симетрична точці відносно прямої ). (Відповідь: ).

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

1. Задані чотири точки і .

Скласти рівняння:

а) прямої

б) прямої перпендикулярної до площини

в) прямої паралельної

Обчислити

г) кут між прямою і площиною

а) Рівняння прямої , що проходить через дві задані точки

і :

б) спочатку запишемо рівняння площини

тоді за напрямний вектор прямої що перпендикулярна площині , візьмемо нормальний вектор площини і рівняння прямої

в) пряма що паралельна прямій , має напрямний вектор прямої , а тому рівняння прямої

г) кут між прямою і площиною обчислюємо за формулою (1.18)

і

2. Обчислити віддаль між двома паралельними прямими

і .

Візьмемо на прямій точку і знайдемо основу перпендикуляра , опущеного із точки на пряму Для цього проведемо через точку площину, перпендикулярну прямій Рівняння площини має вигляд Точка - це точка перетину даної площини з прямою Знайдемо координати точки , розв’язавши систему рівнянь

Дану систему рівнянь найкраще розв’зувати, записавши рівняння прямої в параметричній формі

Тому Отже, Віддаль між двома прямими і дорівнює довжині відрізка , тобто

3. Знайти проекцію точки на площину

Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до заданої площини , і знайдемо точку їх перетину Запишемо рівняння прямої в параметричній формі і розв’яжемо систему рівнянь

Отже, проекція точки на задану площину

58