МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_18

18. ОПУКЛІСТЬ ТА ВГНУТІСТЬ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ.

ПОВНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ І

ПОБУДОВА ЇЇ ГРАФІКА

1.Опуклість та вгнутість графіка функції. Точки перегину.

Графік диференційовної функції називається вгнутим на інтервалі якщо дуга кривої на цьому проміжку розташована вище дотичної, проведеної до графіка функції в довільній точці Якщо ж на інтервалі всяка дотична розташована вище дуги кривої, то графік диференційовної функції на цьому інтервалі називається опуклим (рис.1.18).

Рис.1.18

Якщо функція двічі диференційовна на і то її графік є вгнутим на ; якщо ж на проміжку то графік функції є опуклим на цьому проміжку.

Точки, в яких напрям випуклості графіка функції змінюється на протилежний, називаються точками перегину графіка.

2. Асимптоти. Якщо для функції існує така пряма, що віддаль від точки графіка функції до цієї прямої прямує до нуля при безмежному віддаленні точки від початку координат, то ця пряма називається асимптотою графіка функції.

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо або Неперервні функції не мають вертикальних асимптот.

Якщо ж координата точки прямує до або , то графік функції має похилу асимптоту для існування якої необхідно і достатньо існування двох скінченних границь

і

АР-1.18

1. Довести , що графік функції вгнутий на всій числовій прямій.

2. Довести, що графік функції опуклий на всій області визначення.

3. Знайти точки перегину та інтервали вгнутості і опуклості графіка функції. (Відповідь: точка

перегину . Інтервали опуклості - , вгнутості-).

4. Провести повне дослідження даних функцій і накреслити їх графіки:

а) б)

(Відповідь: а) визначена скрізь, крім. Графік симетричний відносно початку координат при при. Точка перегину графіка. Асимптоти і ;

б) визначена скрізь ,при. Мінімумів немає. Абсциси точок перегину і . Асимптота ).

СР-1.18

Провести повне дослідження даних функцій і побудувати їх графіки:

1. (Відповідь: при ; точки перегину ).

2. (Відповідь: при ; точки перегину ; асимптоти і ).

3. . (Відповідь:при ; точки перегину ; асимптота ).

ІДЗ-1.18

Провести повне дослідження даних функцій і побудувати їх графіки:

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

11. а) б)

12. а) б)

13. а) б)

14. а) б)

15. а) б)

16. а) б)

17. а) б)

18. а) б)

19. а) б)

20. а) б)

21. а) б)

22. а) б)

23. а) б)

24. а) б)

25. а) б)

26. а) б)

27. а) б)

28. а) б)

29. а) б)

30. а) б)

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

Провести повне дослідження даних функцій і побудувати їх графіки:

а)

Дослідимо дану функцію, дотримуючись вказаної схеми повного дослідження функції.

1. Областю визначення функції є множина

2. Ордината точки графіка при при

3. Точки перетину графіка функції з осями координат:

   з віссю - , тобто , ;

   з віссю - , тобто , .

4. Функція неперіодична, ні парна, ні непарна, тому що

5. Оскільки - точка розриву другого роду, то пряма є вертикальною асимптотою, причому Знайдемо похилі асимптоти: Таким чином, існує єдина похила асимптота

6. Дослідимо функцію на зростання, спадання , локальний екстремум:

   

   В точці похідна не існує, але ця точка не належить до області визначення функції, тому не є критичною. Із випливає звідки маємо критичні точки Визначимо знак похідної на проміжках:

   

   Функція зростає на і спадає на В точках і має відповідно локальний максимум та локальний мінімум:

   

7. Дослідимо графік функції на опуклість , вгнутість і знайдемо точки перегину. Для цього знайдемо:

оскільки то скоротимо на Очевидно що на , тобто , на цьому інтервалі крива опукла; на , тому на цьому інтервалі крива вгнута. Оскільки при функція не існує, а в жодній точці області визначення, то точок перегину немає.

8. За одержаними даними будуємо графік функції (рис.1.19).

б)

1. Область визначення :

2. Функція неперіодична; ні парна, ні непарна.

3. З віссю графік функції не має точок перетину, бо точка не належить області визначення.

   з віссю : - одна точка перетину.

   4. Оскільки на функція не має точок розриву, то вертикальних асимптот не має. Вияснимо поведінку функції при

   

   Рис.1.19

   

   Отже, при справа.

   Знайдемо похилі асимптоти:

   -

   похилих асимптот намає.

4. Очевидно, що при і при .

5. Визначимо проміжки монотонності та екстремуми:

   

   єдина критична точка першого роду. Дослідимо знак похідної на проміжках:

   

   а саме, . Отже, функція спадає на і зростає на , в точці має мінімум

6. Знайдемо проміжки опуклості, вгнутості та точки перегину графіка даної функції:

Друга похідна існує на області визначення функції, тому дослідимо тільки умову - критична точка другого роду, тобто точка перегину буде: Визначимо знак другої похідної на проміжках:

. Отже, на крива опукла, а на - вгнута.

8. Графік фунції зображено на рис.1.20 .

Рис.1.20

226