МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_16
.doc-
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ НА МОНОТОННІСТЬ І
ЕКСТРЕМУМ
Якщо функція диференційовна на інтервалі і при всіх то функція зростає на ; якщо ж при всіх то спадає на цьому інтервалі. Якщо існує такий окіл точки що для довільної точки цього околу виконується нерівність (або ), то точка називається точкою мінімума (максимума) функції а число мінімумом (максимумом) цієї функції. Точки максимума і мінімума називаються її точками екстремума. Точки, в яких або не існує, називаються критичними точками.
Необхідна умова екстремума. Якщо точка екстремума функції , то або не існує.
Достатні умови екстремума.
1) Нехай функція диференційовна в деякому околі критичної точки , за винятком, можливо, самої точки . Якщо при і при то точка максимума; якщо при і при то точка мінімума.
2) Нехай функція двічі диференційовна в критичній
точці і в деякому її околі. Якщо то точка максимума, якщо то точка мінімума. Якщо ж потрібні додаткові дослідження.
АР-1.16
-
Довести, що функція всюди зростає.
-
Знайти інтервали монотонності функцій:
a) (Відповідь:спадає в зростає в
).
б) (Відповідь:спадає в зростає в ).
в) (Відповідь:спадає в зростає в ).
г) (Відповідь:спадає в).
-
Знайти екстремуми функцій:
a) (Відповідь: при при
).
б) (Відповідь: при
при ).
4. Знайти екстремуми заданих функцій, користуючись другою похідною:
а) (Відповідь: при
при ).
б). (Відповідь: при при
).
СР-1.16
1. Знайти інтервали монотонності функції .
(Відповідь: спадає в ).
2. Дослідити на екстремум функцію
(Відповідь: при при ).
3. Знайти інтервали монотонності функції (Відповідь: зростає в спадає в ).
4. Дослідити на екстремум функцію .
(Відповідь: при ).
5. Знайти інтервали монотонності функції:
(Відповідь: зростає в спадає в ).
6. Дослідити на екстремум функцію
(Відповідь: при ).
ІДЗ-1.16
1. Знайти інтервали монотонності функцій:
1.1. а); б);
в).
1.2. а); б);
в).
1.3. а); б);
в).
1.4. а); б);
в).
1.5. а); б);
в).
1.6. а); б);
в).
1.7. а); б);
в).
1.8. а); б);
в).
1.9. а); б);
в).
1.10. а); б);
в).
1.11. а); б);
в).
1.12. а); б);
в).
1.13. а); б);
в).
1.14. а); б);
в).
1.15. а); б);
в).
1.16. а); б);
в).
1.17. а); б);
в).
1.18. а); б);
в).
1.19. а); б);
в).
1.20. а); б);
в).
1.21. а); б);
в).
1.22. а); б);
в).
1.23. а); б);
в).
1.24. а); б);
в).
1.25. а); б);
в).
1.26. а); б);
в).
1.27. а); б);
в).
1.28. а); б);
в).
1.29. а); б);
в).
1.30. а); б);
в).
2. Знайти екстремуми функцій:
2.1. a); б) .
2.2. a); б) .
2.3. a); б);
2.4. a); б) .
2.5. a); б) .
2.6. a); б);
2.7. a); б) .
2.8. a); б) .
2.9. a); б) .
2.10.a); б);
.
2.11.a); б) .
2.12.a); б) .
2.13.a); б) .
2.14.a); б) .
2.15.а); б) .
2.16.а); б).
2.17.а); б) .
2.18.а); б) .
2.19.а); б) .
2.20.a); б) .
2.21.a); б) .
2.22.a); б) .
2.23.a); б) .
2.24.a); б) .
2.25.a); б) .
2.26.a); б) .
2.27.a); б) .
2.28.a); б) .
2.29.a); б) .
2.30.a); б) .
3. Знайти екстремуми функцій, користуючись другою похідною:
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5. 3.6.
3.7. 3.8.
3.9. 3.10. 3.11. 3.12.
3.13. 3.14.
3.15. 3.16.
3.17. 3.18.
3.19. 3.20.
3.21. 3.22.
3.23.; 3.24.
3.25. 3.26.
3.27. 3.28.
3.29. 3.30.
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1. Знайти проміжки монотонності функцій:
а)
В точці функція має розрив.
Якщо то звідки - критичні точки функції.
Похідна не існує в точці , але ця точка не є критичною, бо не належить області визначення функції.
Точки розбивають числову вісь на чотири проміжки. Знайдемо знак похідної на кожному з них:
Оскільки на , то функція зростає;
на , то функція спадає.
б)
Функція визначена на проміжку ().
Критична точка розбиває область визначення функції на два проміжки. Знайдемо знак похідної на кожному з них:
На , тому функція зростає, на, тому функція спадає.
в)
Функція визначена на всій числовій осі. Оскільки для всіх то Тоді на всій числовій осі, а отже, дана функція зростає при всіх .
2. Знайти екстремуми функцій:
а)
.
- критичні точки, які розбивають числову пряму на чотири проміжки.
Визначимо знак похідної на кожному з них методом інтервалів:
Оскільки при переході через точки похідна змінює свій знак з «-» на «+», то функція в цих точках має мінімум:
.
При переході через точку похідна змінює знак з «+» на «-», тому в цій точці функція має максимум: .
б) .
Одержані критичні точки поділяють одиничне коло на проміжки
і на заданій області . Знайдемо знак похідної на кожному із проміжків (рис.1.17 ) . Оскільки: