Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
29
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.59 Mб
Скачать
  1. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ НА МОНОТОННІСТЬ І

ЕКСТРЕМУМ

Якщо функція диференційовна на інтервалі і при всіх то функція зростає на ; якщо ж при всіх то спадає на цьому інтервалі. Якщо існує такий окіл точки що для довільної точки цього околу виконується нерівність (або ), то точка називається точкою мінімума (максимума) функції а число мінімумом (максимумом) цієї функції. Точки максимума і мінімума називаються її точками екстремума. Точки, в яких або не існує, називаються критичними точками.

Необхідна умова екстремума. Якщо точка екстремума функції , то або не існує.

Достатні умови екстремума.

1) Нехай функція диференційовна в деякому околі критичної точки , за винятком, можливо, самої точки . Якщо при і при то точка максимума; якщо при і при то точка мінімума.

2) Нехай функція двічі диференційовна в критичній

точці і в деякому її околі. Якщо то точка максимума, якщо то точка мінімума. Якщо ж потрібні додаткові дослідження.

АР-1.16

  1. Довести, що функція всюди зростає.

  2. Знайти інтервали монотонності функцій:

    a) (Відповідь:спадає в зростає в

    ).

    б) (Відповідь:спадає в зростає в ).

    в) (Відповідь:спадає в зростає в ).

    г) (Відповідь:спадає в).

  3. Знайти екстремуми функцій:

a) (Відповідь: при при

).

б) (Відповідь: при

при ).

4. Знайти екстремуми заданих функцій, користуючись другою похідною:

а) (Відповідь: при

при ).

б). (Відповідь: при при

).

СР-1.16

1. Знайти інтервали монотонності функції .

(Відповідь: спадає в ).

2. Дослідити на екстремум функцію

(Відповідь: при при ).

3. Знайти інтервали монотонності функції (Відповідь: зростає в спадає в ).

4. Дослідити на екстремум функцію .

(Відповідь: при ).

5. Знайти інтервали монотонності функції:

(Відповідь: зростає в спадає в ).

6. Дослідити на екстремум функцію

(Відповідь: при ).

ІДЗ-1.16

1. Знайти інтервали монотонності функцій:

1.1. а); б);

в).

1.2. а); б);

в).

1.3. а); б);

в).

1.4. а); б);

в).

1.5. а); б);

в).

1.6. а); б);

в).

1.7. а); б);

в).

1.8. а); б);

в).

1.9. а); б);

в).

1.10. а); б);

в).

1.11. а); б);

в).

1.12. а); б);

в).

1.13. а); б);

в).

1.14. а); б);

в).

1.15. а); б);

в).

1.16. а); б);

в).

1.17. а); б);

в).

1.18. а); б);

в).

1.19. а); б);

в).

1.20. а); б);

в).

1.21. а); б);

в).

1.22. а); б);

в).

1.23. а); б);

в).

1.24. а); б);

в).

1.25. а); б);

в).

1.26. а); б);

в).

1.27. а); б);

в).

1.28. а); б);

в).

1.29. а); б);

в).

1.30. а); б);

в).

2. Знайти екстремуми функцій:

2.1. a); б) .

2.2. a); б) .

2.3. a); б);

2.4. a); б) .

2.5. a); б) .

2.6. a); б);

2.7. a); б) .

2.8. a); б) .

2.9. a); б) .

2.10.a); б);

.

2.11.a); б) .

2.12.a); б) .

2.13.a); б) .

2.14.a); б) .

2.15.а); б) .

2.16.а); б).

2.17.а); б) .

2.18.а); б) .

2.19.а); б) .

2.20.a); б) .

2.21.a); б) .

2.22.a); б) .

2.23.a); б) .

2.24.a); б) .

2.25.a); б) .

2.26.a); б) .

2.27.a); б) .

2.28.a); б) .

2.29.a); б) .

2.30.a); б) .

3. Знайти екстремуми функцій, користуючись другою похідною:

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10. 3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23.; 3.24.

3.25. 3.26.

3.27. 3.28.

3.29. 3.30.

РОЗВЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

1. Знайти проміжки монотонності функцій:

а)

В точці функція має розрив.

Якщо то звідки - критичні точки функції.

Похідна не існує в точці , але ця точка не є критичною, бо не належить області визначення функції.

Точки розбивають числову вісь на чотири проміжки. Знайдемо знак похідної на кожному з них:

Оскільки на , то функція зростає;

на , то функція спадає.

б)

Функція визначена на проміжку ().

Критична точка розбиває область визначення функції на два проміжки. Знайдемо знак похідної на кожному з них:

На , тому функція зростає, на, тому функція спадає.

в)

Функція визначена на всій числовій осі. Оскільки для всіх то Тоді на всій числовій осі, а отже, дана функція зростає при всіх .

2. Знайти екстремуми функцій:

а)

.

- критичні точки, які розбивають числову пряму на чотири проміжки.

Визначимо знак похідної на кожному з них методом інтервалів:

Оскільки при переході через точки похідна змінює свій знак з «-» на «+», то функція в цих точках має мінімум:

.

При переході через точку похідна змінює знак з «+» на «-», тому в цій точці функція має максимум: .

б) .

Одержані критичні точки поділяють одиничне коло на проміжки

і на заданій області . Знайдемо знак похідної на кожному із проміжків (рис.1.17 ) . Оскільки:

Соседние файлы в папке МАТЕМАТИКА (ІДЗ)