- •6. 15 Экспериментальное подтверждение
- •6. 16 Плоская волна де Бройля_________________________________________________________
- •6. 17 Свойства волн де Бройля _____________________________________
- •6.2.2. Соотношение неопределенностей гейзенберга
- •6.21 Статистическая интерпретация волновой функции_________________
- •6.22 Физический смысл ψ-функции________________________________
- •6.23 Принцип суперпозиции состояний для волновых функций_________
- •6.24 Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики___________________
- •6.25 Стационарное уравнение Шредингера________________________________________
- •6.2.5. Операторы в квантовой механике и их свойства
- •6.26 Математический аппарат квантовой механики___________________________________
- •6.27 Свойства операторов_________________________________________________________________
- •6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________
- •6.29 Свойства собственных функций______________________________________________
- •6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________
- •6.31 Средние значения физических величин__________________________________________
- •6.32 Возможность одновременного измерения физических величин____________________
- •6.2.6. Операторы важнейших физических величин
- •6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________
- •6.34 Операторы координаты и импульса___________________________________________
- •6.35 Операторы момента импульса______________________________________________________
- •6.36 Уравнения для собственных значений операторов и _______________________
- •6.37 Операторы энергии____________________________________________________________
- •6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________
- •6.2.7. Движение свободной частицы
- •6.38 Уравнение Шредингера для стационарных состояний ______________________
- •6.39 Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками_________________________
- •6.40 Решение уравнения Шредингера для частицы в яме_____________________________
- •6.41 Энергетический спектр частицы_______________________________________________
- •6.42 Собственные функции и плотности вероятности
- •6.2.9. Отражение и прохождение
- •6.43 Прямоугольный бесконечно протяженный порог______________________________
- •6.45 Коэффициенты отражения и прозрачности____________________________________
- •6.2.10. Потенциальный барьер конечной ширины.
- •6.49 Потенциальный барьер конечной ширины___________________________________
- •6.50 Энергия частицы больше высоты потенциального барьера_____________________
- •6.51 Возможное определение коэффициентов отражения и прозрачности
- •6.52 Энергия частицы
- •6.53 Туннельный эффект________________________________________________________________
- •6.54 Коэффициент прозрачности для прямоугольного барьера______________________
- •6.55 Коэффициент прозрачности для барьера произвольной формы ___________
- •6.56 Выводы относительно поведения классической
- •6.2.11. Линейный гармонический осциллятор
- •6.57 Описание гармонического осциллятора в квантовой механике_________________
- •6.58 Следствия уравнения Шредингера для квантового осциллятора________________
- •6.59 Плотности вероятности обнаружения частицы______________________________
- •6.60 Плотности вероятности
- •6. 14 Длина волны де Бройля___________________________________________________
- •6. 15 Экспериментальное подтверждение
- •6. 16 Плоская волна де Бройля_________________________________________________________
- •6. 17 Свойства волн де Бройля _____________________________________
- •6.2.2. Соотношение неопределенностей гейзенберга
- •6.21 Статистическая интерпретация волновой функции_________________
- •6.22 Физический смысл ψ-функции________________________________
- •6.23 Принцип суперпозиции состояний для волновых функций_________
- •6.24 Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики___________________
- •6.25 Стационарное уравнение Шредингера________________________________________
- •6.2.5. Операторы в квантовой механике и их свойства
- •6.26 Математический аппарат квантовой механики___________________________________
- •6.27 Свойства операторов_________________________________________________________________
- •6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________
- •6.29 Свойства собственных функций______________________________________________
- •6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________
- •6.31 Средние значения физических величин__________________________________________
- •6.32 Возможность одновременного измерения физических величин____________________
- •6.2.6. Операторы важнейших физических величин
- •6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________
- •6.34 Операторы координаты и импульса___________________________________________
- •6.35 Операторы момента импульса______________________________________________________
- •6.36 Уравнения для собственных значений операторов и _______________________
- •6.37 Операторы энергии____________________________________________________________
- •6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________
- •6.2.7. Движение свободной частицы
- •6.38 Уравнение Шредингера для стационарных состояний ______________________
- •6.39 Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками_________________________
- •6.40 Решение уравнения Шредингера для частицы в яме_____________________________
- •6.41 Энергетический спектр частицы_______________________________________________
- •6.42 Собственные функции и плотности вероятности
- •6.2.9. Отражение и прохождение
- •6.43 Прямоугольный бесконечно протяженный порог______________________________
- •6.45 Коэффициенты отражения и прозрачности____________________________________
- •6.2.10. Потенциальный барьер конечной ширины.
- •6.49 Потенциальный барьер конечной ширины___________________________________
- •6.50 Энергия частицы больше высоты потенциального барьера_____________________
- •6.51 Возможное определение коэффициентов отражения и прозрачности
- •6.52 Энергия частицы
- •6.53 Туннельный эффект________________________________________________________________
- •6.54 Коэффициент прозрачности для прямоугольного барьера______________________
- •6.55 Коэффициент прозрачности для барьера произвольной формы ___________
- •6.56 Выводы относительно поведения классической
- •6.2.11. Линейный гармонический осциллятор
- •6.57 Описание гармонического осциллятора в квантовой механике_________________
- •6.58 Следствия уравнения Шредингера для квантового осциллятора________________
- •6.59 Плотности вероятности обнаружения частицы______________________________
- •6.60 Плотности вероятности
Элементы квантовой механики
ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ
Универсальность корпускулярно-волнового дуализма
______________________________________________________________________________________
Гипотеза де Бройля_______________________________________________________________
Корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер и распространяется не только на фотоны, но и на все частицы материи: частицы вещества (в частности, электроны) обладают наряду с корпускулярными также и волновыми свойствами.
Уравнения, связывающие корпускулярные свойства (энергия и импульс) и волновые (частота (длина волны)) характеристики микрочастиц_____________________________
Формулы такие же, что и для фотона.
[к — волновое число; постоянная Планка;циклическая частота]
Длина волны де Бройля___________________________________________________
[h — постоянная Планка; р — импульс; т — масса частицы; υ — скорость частицы; Т — кинетическая энергия частицы; с — скорость распространения света в вакууме; Е — полная энергия частицы]
6. 15 Экспериментальное подтверждение
волновых свойств микрочастиц_____________________________________________
Опыты Девиссона и Джермера___________________________________________________
Пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки — кристалла никеля, дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа— Брэггов 5.50, а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле X = Н/р.
Опыты Тартаковского и Томсона________________________________________________
Наблюдалась дифракционная картина при прохождении пучка быстрых электронов (« 50 кэВ) через металлическую фольгу (толщиной » 1 мкм).
Опыты Тартаковского__________________________________________________________
Даже в случае столь слабого электронного пучка, когда каждый электрон проходит через прибор независимо от других (промежуток времени между двумя электронами в 104 раз больше времени прохождения электроном прибора), возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличается от дифракционных картин, получаемых при короткой экспозиции для потоков электронов, в десятки миллионов раз
308
более интенсивных. Следовательно, волновые свойства частиц не являются свойством их коллектива, а присущи каждой частице в отдельности.
♦ Дифракционные явления обнаружены также для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков. Это окончательно послужило доказательством наличия волновых свойств микрочастиц и позволило описывать движение микрочастиц в виде волнового процесса, характеризующегося определенной длиной волны, рассчитываемой по формуле де Бройля.
6. 16 Плоская волна де Бройля_________________________________________________________
Согласно корпускулярно-волновому дуализму материи и гипотезе де Бройля, с движением частицы, обладающей определенны ми энергией и импульсом, связывается плоская волна де Бройля.
Рассмотрен одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид или в комплексной записи. При записи плоской волны де Бройля учтено, что (ω — циклическая частота,k — волновое число). Показатель экспоненты в плоской волне де Бройля берется со знаком минус, но это несущественно, так как физический смысл имеет 6.22 .
6. 17 Свойства волн де Бройля _____________________________________
Фазовая скорость 4.47______________________________________________
Дисперсия волн де Бройля______________________________________________________
нерелятивистский случай
Фазовая скорость, как для нерелятивистских, так и релятивистских частиц, зависит от длины волны (частоты), поскольку релятивистский случай
[ω — циклическая частота; k — волновое число; — постоянная Планка;Е — полная энергия частицы; р — импульс частицы; υ — скорость движения частицы; с — скорость распространения света в вакууме; т — масса частицы]
6.2.2. Соотношение неопределенностей гейзенберга
Во многих случаях классические представления (например, в каждый момент времени частица занимает в пространстве строго определенное 1 место и обладает определенным импульсом) неприменимы для описания микрообъектов. Гейзенберг выдвинул идею о принципиальной невозможности измерения определенных пар связанных между собой характеристик так, чтобы они одновременно имели точные значения.
6.18 Соотношение неопределенностей для координат и импульсов_______
Микрочастица (микрообъект) не может иметьодновременно точных значений координаты (х, у, z) и соответствующих компонентов импульса (), причем произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка .
Физический смысл соотношения____________________________________________
Из соотношения неопределенностей следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказываетсясовершенно неопределенной (), и наоборот. Таким образом, длямикрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения.
6.19 Соотношение неопределенностей для энергии и времени______________
[— неопределенность энергии некоторого состояния системы; — промежуток времени, в течение которого оно существует]
Физический смысл соотношения _____________ _________________
Из-за конечности времени жизни атомов в возбужденном состоянии энергия возбужденных состояний атомов не является точно определенной, поэтому частота излученного фотона также должна иметь неопределенность . Тогда линии спектра должны иметь частоту . Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты.
6.20 Соотношение неопределенностей — следствие
специфики микрообъектов _________
Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую проекцию импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.
♦ Повышение точности в знании одной переменной, таким образом, ведет к понижению точности в знании другой, и наоборот. Поэтому если в классической механике наличие координат и импульсов (скоростей) системы точно задает ее поведение во времени и пространстве, то предсказание поведения квантовой системы должно носить вероятностный характер.
310
6.2.3. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
В общем случае (произвольное движение частицы в произвольных силовых полях) состояние частицы в квантовой механике задается волновой е функцией (или пси-функцией) ,зависящей от координат и времени. Она — основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц. В частном случае свободного движения частицы волновая функция — плоская волна де Бройля 6.16 .