Краткая теория и образцы решений некоторых задач м а г н и т н о е п о л е

1. Характеристики магнитного поля. Принцип суперпозиции полей

Экспериментальные факты свидетельствуют, что при движении электрических зарядов наряду с электрическим полем возникает новый вид силового поля – магнитное поле. Магнитное поле в вакууме в любой момент времени характеризуется вектором магнитной индукции В(r,t), который является аналогом вектора напряженности электрического поля. В качестве пробного объекта в случае магнитного поля используется рамка с током. Магнитная индукция как силовая характеристика поля может быть определена отношением максимального вращающего момента, действующего на рамку с током, к величине ее магнитного момента

(3.1.1)

Магнитный момент рамки (витка) с током

Рm = I S n, (3.1.2)

где I – сила тока, текущего по рамке; S - ее площадь; n – единичный орт по нормали к плоскости рамки. Таким образом, магнитный момент – это векторная величина, направленная по нормали к рамке. Положительное направление нормали и направление тока в рамке составляют правовинтовую систему.

Закон, определяющий вектор магнитной индукции точечного заряда, движущегося со скоростью v = const, (v<< с, где с = 3 · 10⁸ м/ с – скорость света в вакууме), выглядит следующим образом:

(3.1.3)

где μ_о = 4π ·10^-7 Гн / м (генри /метр) – магнитная постоянная; r – радиус – вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения (рис.1).

Направление магнитной индукции удобно находить, пользуясь мнемоническим правилом правого винта: если поступательное движение совпадает с направлением движения положительного заряда или тока в проводнике, то направление вращения указывает ход силовых линий магнитного поля (они всегда замкнуты). Для нахождения вектора магнитной индукции надо провести касательную к силовой линии в нужной точке (рис. 1, силовая линия изображена пунктиром).

Рис.1 Рис.2

В международной системе единиц СИ единицей магнитной индукции является тесла (Тл). Наряду с вектором В используется вектор напряженности магнитного поля Н. Вектора В и Н связаны выражением

В = μ₀ μ Н, (3.1.4)

где μ - относительная магнитная проницаемость среды. Единица измерения напряженности магнитного поля в СИ – ампер на метр (А/м).

Величину магнитной индукции поля, созданного элементом проводника (рис. 2), определяют по закону Био – Савара – Лапласа:

или в скалярной форме:

, (3.1.5)

где r – радиус – вектор, проведенный от элемента тока Idl к точке, в которой определяют магнитную индукцию; α - угол между элементом dl и радиусом – вектором r.

Принцип суперпозиции говорит о том, что магнитная индукция результирующего поля, созданного несколькими объектами (токами или движущимися зарядами), равна векторной сумме магнитных индукцией полей, создаваемых каждым объектом в отдельности:

или (3.1.6)

Из формул (1.1.6) и (1.1.5) можно вывести формулы для расчета магнитной индукции в некоторых частных случаях: для поля прямого и кругового токов.

Магнитная индукция поля отрезка прямого проводника с током (рис. 3) в точке А

( 3.1.7)

где α₁ – угол между элементом тока Idl и радиусом – вектором r, проведенным в точку А из начала проводника (откуда ток вытекает ); - то же, но радиус – вектора проводится в точку А из конца проводника ( куда течет ток).

Пример. Найти магнитную индукцию поля, созданного бесконечно длинным проводником, согнутым под прямым углом, в точке А, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии а = 6 см от вершины угла (рис.4). По проводнику течет ток 1 А.

Рис.3 Рис.4

Решение. Проводник можно представить в виде двух полубесконечных проводников. Для вертикального проводника угол α₁ = 0 (стремится к этому значению при условии, что верхний конец провода уходит в бесконечность); α₂ = 135⁰ (в вершине угла С элемент тока Idl направлен вниз, а радиус – вектор – к точке А). Для горизонтального проводника α₁- 45^о, α₂ стремится к 180^о, так как элемент тока Idl в конце проводника направлен вправо, а радиус – вектор – к точке А.

Воспользуемся принципом суперпозиции (3.1.6). С учетом того, что магнитная индукция от той и другой части провода направлена к нам (силовые линии показаны пунктиром), из формулы (3.1.7) запишем выражение для индукции результирующего поля

В =[ (cos 0^o – cos 135^o) + ( cos 45^o – cos 180^o )] = = (1 + √ 2/2 + √ 2/ 2 + 1) = =Тл = 8,1 мкТл,

где b = а √ 2 – кратчайшее расстояние от точки А до поводника.

Ответ: В = 8,1 мкТл.

Для бесконечно длинного проводника расстояния от обоих концов проводника до точки А значительно больше, чем кратчайшее расстояние от проводника до нее ( α₁ = 0^о ; α₂ = 180^о), и формула (3.1.7) принимает вид:

В = . (3.1.8)

Магнитная индукция поля кругового витка с током в точке А, лежащей на оси витка, перпендикулярной его плоскости (рис. 5),

В =, (3.1.9)

где R –радиус витка, x- расстояние от плоскости витка до точки.

Если взять точку в центре кругового тока, то x = 0, и формула принимает вид:

, (3.1.10)

Пример. Определить магнитную индукцию в точке А поля, созданного круговым витком с током I =2 А и прямым бесконечно длинным проводником с током I = 1 А (рис. 6). Радиус витка R = 5 см, расстояние b = 10 см. проводник расположен перпендикулярно к плоскости рисунка, ток течет от нас (общепринятое обозначение «от нас» ,  к нам).

Рис.5. Рис.6.

Решение. В точке А поле создается двумя проводниками. Сначала определим значения магнитной индукции для отдельных проводников по формулам (3.1.10) и (3.1.8). Учитывая направления векторов, определяемые по правилу правого винта, и принцип суперпозиции, можно записать для магнитной индукции результирующего поля:

В = .

Тогда

В = =.

Подставляя числовые данные задачи, получим:

В = 23,14 · 10^-7= 25мкТл.

Ответ: В = 25 мкТл.