Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Абитуриентам / Булгаков - Основные законы и формулы по математике и физике - 2002

.pdf
Скачиваний:
51
Добавлен:
07.01.2014
Размер:
593.11 Кб
Скачать

Н. А. Булгаков

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА

СПРАВОЧНИК

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

Министерство образования Российской Федерации

Тамбовский государственный технический университет

Н. А. Булгаков

ОСНОВНЫЕ

ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА

СПРАВОЧНИК

Тамбов

Издательство ТГТУ

2002

УДК 531(075)

ББК В3я73

Б90

Р е ц е н з е н т ы:

Доктор технических наук, профессор кафедры "Приемные и передающие радиоустройства" ТВАИИ,

заслуженный работник высшей школы РФ

Д. Д. Дмитриев

Кандидат технических наук, профессор кафедры "Физика" ТВАИИ

В. С. Макаров

Булгаков Н. А.

Б90 Основные законы и формулы по математике и физике: Справочник. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн.

ун-та, 2002. 72 с.

Представлены в сжатой форме основные законы и формулы по всему курсу физики, а также по школьной и высшей математике, знание которых необходимо для решения задач и осмысления физической сущности явлений.

Основное назначение — помочь быстро найти или восстановить в памяти необходимые законы и формулы. Используется современная терминология и обозначения.

Привлекателен в качестве справочного материала при подготовке к семинарским занятиям и экзаменам. Помимо студентов вузов может быть полезен инженерно-техническим работникам и учащимся колледжей и школ.

УДК 531(075)

ББК В3я73

Тамбовский государственный

технический университет (ТГТУ), 2002

Н. А. Булгаков, 2002

Справочное издание

БУЛГАКОВ Николай Александрович

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ФИЗИКА

Редактор З. Г. Чернова

Инженер по компьютерному макетированию М. Н. Рыжкова

ЛР № 020851 от 27.09.99 Плр № 020079 от 28.04.97

Подписано в печать 02.03.2002.

Гарнитура Times ET. Формат 60 × 84 / 16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем: 4,2 усл. печ. л.; 4,5 уч.-изд. л. Тираж 500 экз. С. 151М

Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета

392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14

ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

nЧисловые неравенства: Если a > b , то b < a . Если a > b и b > c , то a > c . Если a > b , то a + c > b + c .

Если a > b и c > 0 , то ac > bc . Если a > b и c < 0 , то ac < bc .

Если a > b и c > d , то a + c > b + d .

Если a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , причем a > b и c > d , то ac > bd . Если a > b > 0 и n — натуральное число, то an > bn .

nРазложение на множители:

a2 b2 = (a b)(a + b);

 

 

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ;

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 m ab + b2 );

 

a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3 ;

ax2 + bx + c = a (x x1 )(x x2 ),

 

 

 

где x1 и x2

— корни уравнения ax2

 

+ bx + c = 0 .

n Квадратное уравнение ax2

+ bx + c = 0 :

x1,2 = b ±

D = b ±

b2 − 4ac

— формулакорнейквадратногоуравнения.

2a

 

2a

 

 

 

 

 

Теорема Виета: x1

+ x2 = −

b

 

,

x1 x2 =

 

c

.

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a

n Арифметическая прогрессия:

a1 , a2 , ..., an , ... — члены арифметической прогрессии;

d — разность арифметической прогрессии;

an+1 = an + d — определение арифметической прогрессии; an = a1 + d (n − 1) — формула n-го члена;

an =

an−1 + an+1

— характеристическое свойство;

 

2

 

2a1 + d (n −1)

n — формула суммы n первых членов.

Sn =

a1 + an

 

n =

 

2

 

 

 

2

 

n Геометрическая прогрессия:

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 , a2 , ..., an , ... — члены геометрической прогрессии;

 

 

 

 

q — знаменатель геометрической прогрессии;

 

 

 

 

 

 

bn+1 = b q,

 

b ≠ 0, q ≠ 0 — определение геометрической прогрессии;

 

 

 

bn = b1qn−1 — формула n-го члена;

 

 

 

 

 

 

 

 

bn2 = bn−1bn+1

— характеристическое свойство;

 

 

 

 

 

 

Sn = bnq b1

= b1 (qn − 1) — формула суммы n первых членов;

 

 

 

 

 

q − 1

q − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

b1

— формула суммы бесконечной геометрической прогрессии при

q

< 1 .

1

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТРИГОНОМЕТРИЯ

 

 

 

 

n Свойства тригонометрических функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x) = −sin x ;

 

sin(x + 2πk) = sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

cos(x) = cos x ;

 

cos(x + 2πk) = cos x ;

 

 

 

 

 

 

 

tg (x) = −tg x ;

 

tg (x + πk) = tg x ;

 

 

 

 

 

 

 

ctg (x) = −ctg x ;

 

ctg (x + πk) = ctg x ,

 

 

 

 

где k — любое целое число.

 

 

 

 

 

 

 

 

n Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аргумент α

 

 

 

 

 

 

 

Функция

0

π

π

π

π

π

 

 

 

 

6

4

3

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin α

0

1

2

3

1

0

 

–1

 

 

 

2

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos α

1

3

2

1

0

–1

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg α

0

3

1

3

0

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg α

3

1

3

0

 

0

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание. Связь между градусной и радианной мерами измерении угла:

 

 

 

 

 

 

1° =

π рад.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

180

 

 

 

 

n Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента:

sin2 α + cos2 α = 1;

 

tg

α =

sin α

; ctg α =

cos α

;

 

cos α

sin α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + tg2 α =

 

1

 

;

1 + ctg2 α =

1

.

 

cos2 α

sin2 α

 

 

 

 

 

 

 

 

n Формулы двойного угла:

sin 2α = 2 sin αcos α =

 

2tg α

 

;

 

 

 

 

 

+ tg2

α

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

cos 2α = cos

2

α − sin

2

α = 1 − 2 sin

2

α =

1 − tg2

α

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + tg2

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 2α =

 

 

2 tg α

;

ctg 2α =

 

ctg2

α − 1

.

 

 

1 − tg2α

 

 

 

2 ctg α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n Формулы тройного угла:

sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α; cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α.

n Формулы понижения степени:

sin2 α =

1 − cos 2α

;

cos2 α =

1 + cos 2α

.

2

2

 

 

 

 

n Формулы сложения и вычитания аргументов:

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β ;

cos (α ± β) = cos αcos β m sin α sin β ;

tg (α ± β) =

tg α ± tg β

.

 

 

1 m tg α tg β

n Формулы сложения и вычитания тригонометрических функций:

sin α + sin β = 2 sin

α + β cos

α − β ;

 

 

 

2

 

 

2

 

sin α − sin β = 2 sin

α − β cos

α + β ;

 

 

 

2

 

 

2

 

cos α + cos β = 2 cos

α + β cos

 

α − β ;

 

 

2

 

 

2

 

cos α − cos β = −2 sin α + β sin

α − β

;

 

 

2

 

 

2

 

tg α m tg β =

sin (α ± β)

.

 

 

 

 

cos α cos β

 

 

 

n Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и разность:

 

 

sin α sin β =

1

 

(cos(α − β)− cos(α + β));

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos α cos β =

 

1

 

(cos(α − β)+ cos(α + β));

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin αcos β =

 

1

 

(sin(α − β)+ sin(α + β)).

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n Знаки тригонометрических функций по четвертям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

 

 

 

 

 

Четверть

 

 

 

 

I

 

 

 

 

II

III

 

IV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

+

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

n Формулы приведения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аргумент t

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

− α

 

π

+ α

π − α

π + α

 

− α

 

 

+ α

2π − α

 

 

 

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t

cos α

cos α

sin α

– sin α

– cos α

– cos α

– sin α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos t

 

sin α

– sin α

– cos α

– cos α

– sin α

 

sin α

cos α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg t

ctg α

– ctg α

– tg α

tg α

 

ctg α

– ctg α

– tg α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg t

 

tg α

– tg α

– ctg α

ctg α

 

tg α

 

– tg α

– ctg α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n Решение простейших тригонометрических уравнений:

sin x = a,

 

a

 

 

≤ 1,

x = (−1)n arcsin a + πn ;

 

 

cos x = a,

 

 

a

 

 

≤ 1,

x = ± arccos a + 2πn ;

 

 

 

tg x = a, x = arctg a + πn ;

ctg x = a, x = arcctg a + πn , n — целое число.

n Обратные тригонометрические функции:

π

 

≤ arcsin x

 

π

,

0 ≤ arccos x ≤ π ;

2

 

2

 

 

 

 

 

 

π

< arctg x <

π

 

,

0 < arcctg x < π ;

2

2

 

 

 

 

 

 

arcsin(x) = −arcsin x; arccos(x) = π − arccos x ;

arctg (x) = −arctg x; arcctg (x) = π − arcctg x .

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Обозначения: a, b, c — длины сторон ABC , h — высота, p = a+2b+c — полупериметр, S — площадь, R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей.

n Теорема синусов. В любом треугольнике

sinaα = sinb β = sinc γ .

n Теорема косинусов. В любом треугольнике

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α .

n Формулы площади любого треугольника:

S =

aha

=

bhb

=

chc

,

S =

1

ab sin γ,

S = pr , S =

abc ,

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

4R

S = p (p a)(p b)(p c) — формула Герона.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

d = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 — расстояние между точками M1 (x1 ; y1 ) и M2 (x2 ; y2 ).

x = x11++λλx2 , y = y11++λλy2 — координаты точки, делящей отрезок с концами M1 (x1 ; y1 ) и M2 (x2 ; y2 ) в

отношении λ = M1M : MM2 .

Ax + By + C = 0 — общее уравнение прямой ( A, B, C — любые вещественные числа, A2 + B2 ≠ 0) .

y = kx + b — уравнение прямой с угловым коэффициентом k (b — величина отрезка, отсекаемого

прямой по оси Oy ).

 

y y1

 

 

= k (x x1 )

— уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку M1 (x1 ; y1 ).

 

y y1

=

x x1

— уравнение прямой, проходящей через точки M1 (x1 ; y1 ) и M2 (x2 ; y2 ).

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

y

2

 

y

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

 

+

y

= 1

— уравнение прямой в отрезках (a, b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox

a

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и Oy ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

Ax0

+ Bx0

+ C

— расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By + C = 0 .

 

 

 

 

 

 

A2 + B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg ϕ =

 

 

k2

k1

 

— формула вычисления одного из углов между прямыми y = k1x + b1 и y = k2 x + b2 .

 

1 + k k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+

y

 

= 1 — каноническое уравнение эллипса (a , b — полуоси).

2

 

2

 

a

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 = 1 — каноническое уравнение гиперболы.

a2 b2

y2 = 2px, y2 = −2px — каноническое уравнение параболы с осью симметрии Ox ( p > 0 — параметр). АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

X = x2 x1 , Y = y2 y1 , Z = z2 z1 — выражение координат вектора AB через координаты точек A (x1 ; y1 ; z1 ) и

B (x2 ; y2 ; z2 ).

a = X2 +Y 2 + Z2 — выражение длины вектора a = {X ; Y ; Z} через его координаты.

d = (x2

x1 )2 + (y2

y1 )2

 

+ (z2 z1 )

— расстояние между точками M1 (x1 ; y1 ; z1 )

и M2 (x2 ; y2 ; z2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— определение

скалярного

произведения

векторов

 

 

 

 

и

 

 

(ϕ — угол

между

a

 

b

=

 

a

 

 

b

 

cos ϕ

a

b

векторами).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

— выражение

скалярного

произведения

векторов

 

= {X1 ; Y1 ;

Z1} и

 

= {X2 ; Y2 ; Z2 }

a

b

 

 

a

b

через их координаты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ϕ =

 

 

 

 

 

 

 

 

X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

 

— выражение угла между векторами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2 + Y 2 + Z2 X 2

+ Y 2

+ Z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax + By + Cz + D = 0

общее

уравнение плоскости

( A, B, C

любые

вещественные

числа,

A2 + B2 + C2 ≠ 0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

 

 

 

Ax0 + By0 + Cz0 + D

 

 

 

— расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ;

z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 + B2 + C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

=

y y0

=

z z0

 

 

— каноническое уравнение прямой с

направляющим

вектором

 

= {l ; m; n},

 

 

a

 

 

 

 

l

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проходящей через точку M0 (x0 ;

y0 ; z0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt — параметрические уравнения прямой.

x2 + y2 + z2 = 1 — каноническое уравнение эллипсоида (a, b, c — полуоси).

a2 b2 c2

x2 + y2 z2 = 1 — каноническое уравнение однополосного гиперболоида.

a2 b2 c2

x2 + y2 z2 = −1 — каноническое уравнение двуполосного гиперболоида.

a2 b2 c2

x2 + y2 = z — каноническое уравнение эллиптического параболоида (p>0, q>0 — параметры).

2p 2q

x2 y2 = z — каноническое уравнение гиперболического параболоида.

2p 2q

x2 + y2 z2 = 0 — каноническое уравнение конуса второго порядка

a2 b2 c2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

lim sin x = 1 — первый замечательный предел.

x→0 x

lim 1 + 1 x = e — второй замечательный предел.

→∞ xx

f (x0 ) =

lim

f (x0 + ∆x)f (x0 )

 

— определение производной функции y = f (x) в точке

x0 .

x

 

x→0

 

 

dy = f (x0 )dx — дифференциал функции f (x) в точке x0 .

Производные простейших элементарных функций:

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

 

 

± v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; 3)

u

uv uv

, v ≠ 0 .

1) (u ± v) = u

 

 

; 2) (uv) = u v + uv

 

 

=

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

Производная постоянной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (x)= C y′ = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Cu)

= Cu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная степенной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

−1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

) = nx

 

 

;

 

 

 

( x )

=

x

 

 

 

=

 

;

 

 

 

 

 

 

 

=

(x

 

) = −

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Производная показательной функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ax )= ax ln a ;

(ex )= ex .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная логарифмической функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(loga x)=

1

 

 

;

(ln x)=

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производные тригонометрических функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin x)= cos x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcsin x)=

 

 

 

 

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − x2

 

 

 

 

 

 

 

(cos x)= − sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

(arccos x)= −

 

 

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

x ;

 

 

 

 

 

 

(arctg x)=

 

 

1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(tg x)

=

 

 

 

 

 

 

= sec

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcctg x)= −

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

(ctg x)= −

 

 

 

1

 

= −cosec2x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(t0 )= f (x0 ) ϕ′(t0 ) — правило

дифференцирования сложной

 

функции

y = f[ϕ(t)] в точке t0 ; здесь

x0 = ϕ(t0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ′(y0 ) = (1 ) — правило дифференцирования обратной функции x = ϕ(y) в точке y0 = f (x0 ).

f x0