Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт менеджмента и информационных технологий (филиал СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mathcad - ЛР5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.02.2016

Размер:

326.45 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования Российской Федерации Санкт - Петербургский государственный политехнический университет

Институт менеджмента и информационных технологий

Кафедра ПО ВТ и АС

Лабораторный практикум по курсу вычислительной математики

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №5

Тема:

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Выполнил: ______________

Группа: _____

Вариант: 14

Проверил: Царев В.А.

Отметка о зачете __________________

" ___ " ______________ 2006 г.

Череповец

2006

Задача 5.1. Функция y = f (x) задана на отрезке [a,b] . Вычислить значение интеграла

òb	f (x)dx для различных значений количества отрезков разбиения n = 1,2,...,10 (или
a

соответственно с различным значением шага h = b -n a) , используя следующие формулы:

А) левых прямоугольников; В) центральных прямоугольников; С) правых прямоугольников;

D) трапеций.

Для каждого случая A)-D) построить график зависимости абсолютной погрешности

результата от n = 1,2,...,10 (или h ) и	график теоретической оценки абсолютной
погрешности в зависимости от n =1,2,...,10	(или h ). Сделать выводы.

Теоретический материал:

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Существует множество способов вычисления интеграла. Формулы четырех способов решения:

n−1

Формула левых прямоугольников: S= hå f (xi ) ;

M1 (b - a)2

i=0

оценка погрешности

R =

Формула правых прямоугольников: S= hå f (xi ) ;

M1 (b - a)2

i=1

оценка погрешности

R =

n−1

xi + xi+1

Формула центральных прямоугольников: S= hå f (

) ;

M 2 (b - a)3

i=0

оценка погрешности

R =

24n2

f (x

) + f (x

)

n−1

Формула трапеций:

S= hç

+ å f (xi

)÷ ;

i=1

оценка погрешности

R =

M 2 (b - a)3

12n2

Исходные данные:

Задана функция f(x) :=

на отрезке [2;2]

a := −2

b := 2

9 − x2

f(x)				2

4		2	0	2	4

Решение задачи:

Найдём определенный интеграл аналитически:

- 2

ò−2

× dx = arcsin

= arcsin

- arcsin

9 - x2

−2

true := asin

æ 2

- asin

æ -2 ö

= (1.45945531245393)

è 3

è 3 ø

A) Произведем вычисление определенного интеграла методом левых прямоугольников:

IntLeftRect(f , a, b , n) :=				h ¬	b - a
IntLeftRect(f , a, b , n) :=				h ¬	n
					n
				for	i Î 0 .. n
				xi ¬ a + h×i
				S ¬ 0
				for	i Î 0 .. n - 1
				S ¬ S + f(xi)
				S ¬ h×S
				S

E_Leftn :=		true - integraln

			0
	0		0.329399069545899
	1		0.10163854521265
	2		0.048514093223115
	3		0.028198397565906
E_Left =	4		0.01836817310573
	5		0.012890550963647
	6		9.53469699306364·10 -3
	7		7.33342390714387·10 -3
	8		5.81305177929425·10 -3
	9		4.71971170130225·10 -3

n := 0 .. 9

integraln := IntLeftRect(f , a, b, n + 1)

		0
	0	1.78885438199983
	1	1.56109385766658
	2	1.50796940567705
	3	1.48765371001984
integral =	4	1.47782348555966
	5	1.47234586341758
	6	1.468990009447
	7	1.46678873636108
	8	1.46526836423323
	9	1.46417502415523

df(x) := d f(x)
df(x) := d f(x)	absdf(x) :=	df(x)
dx
M1 := absdf(2)	n := 0 .. 9
M1 := absdf(2)	n := 0 .. 9
M1 = 0.178885			absdf(z) 0.1
			absdf(z) 0.1

	0

				2	0	2
				2	0	2
					z

R_Left(f , a, b , n) := (b - a)2 ×M1

2×n

R_Left(f , a, b, n)

E_Leftn

0

	0	2	4	6	8	10
				n

На вышепредставленном рисунке видно, что теоретически вычисленная погрешность значительно превышает практическую.

B) Произведем вычисление определенного интеграла методом центральных прямоугольников:

IntСentr(f , a , b, n) :=		h ¬	b - a					n := 0 .. 9
IntСentr(f , a , b, n) :=		h ¬	n
			n
		for	i Î 0 .. n					integraln := IntСentr(f , a, b, n + 1)
		xi ¬ a + h×i
		S ¬ 0
		S ¬ 0								0
		for	i Î 1 .. n						0	1.33333333333333
				æx			h	ö	1	1.41421356237309
		S ¬ S + f				+	h		2	1.43672232115811
		S ¬ S + f				+
				è	i−1	2 ø
		S ¬ h×S		è		2 ø			3	1.44592376270231
									3	1.44592376270231
								integral =	4	1.45052656275081
		S						integral =	4	1.45052656275081
									5	1.45314060011584
									5	1.45314060011584
									6	1.45476123518253
E_Centrn :=	true - integraln
E_Centrn :=	true - integraln								7	1.45583272997773

									8	1.45657688052445
									9	1.45711415927405

						0
			0		0.126121979120599
			1		0.045241750080838
			2		0.022732991295821
			3		0.013531549751618
E_Centr =			4		8.92874970312585·10 -3
			5		6.31471233809422·10 -3
			6		4.69407727139837·10 -3
			7		3.62258247620195·10 -3
			8		2.87843192948523·10 -3
			9		2.34115317988359·10 -3
		d2
df2(x) :=		d2		f(x) absdf2(x) :=					df2(x)
df2(x) :=		2		f(x) absdf2(x) :=					df2(x)
		2
		dx					0.4
		dx					0.4
M2 := absdf2(2)					n := 0 .. 9
M2 = 0.304105										absdf2(z) 0.2
										absdf2(z) 0.2

							0


											2	0		2
											2	0		2
													z
						(b - a)	3
R_Centr(f , a, b, n) :=								×M2
R_Centr(f , a, b, n) :=						2		×M2
						2
						24×n
						1
						1
	R_Centr(f , a, b, n)
	R_Centr(f , a, b, n)
						0.5
	E_Centrn

0
0	0	2	4	6	8	10
				n

C) Произведем вычисление определенного интеграла методом правых прямоугольников:

IntRightRect(f , a, b, n) :=				h ¬	b - a
IntRightRect(f , a, b, n) :=				h ¬	n
					n
				for	i Î 0 .. n
				xi ¬ a + h×i
				S ¬ 0
				for	i Î 1 .. n
				S ¬ S + f(xi)
				S ¬ h×S
				S

E_Rightn :=		true - integraln

			0
	0		0.329399069545899
	1		0.10163854521265
	2		0.048514093223115
	3		0.028198397565906
E_Right =	4		0.01836817310573
	5		0.012890550963647
	6		9.53469699306364·10 -3
	7		7.33342390714364·10 -3
	8		5.81305177929425·10 -3
	9		4.71971170130203·10 -3

n := 0 .. 9

integraln := IntRightRect(f , a, b, n + 1)

		0
	0	1.78885438199983
	1	1.56109385766658
	2	1.50796940567705
	3	1.48765371001984
integral =	4	1.47782348555966
	5	1.47234586341758
	6	1.468990009447
	7	1.46678873636108
	8	1.46526836423323
	9	1.46417502415523

df(x) := d f(x)
df(x) := d f(x)	absdf(x) :=	df(x)
dx
M1 := absdf(2)	n := 0 .. 9
M1 := absdf(2)	n := 0 .. 9
M1 = 0.178885			absdf(z) 0.1
			absdf(z) 0.1

	0

				2	0	2
				2	0	2
					z

R_Right(f , a, b , n) := (b - a)2 ×M1

2×n

2
R_Right(f , a, b, n)
1
E_Rightn
0 0	2	4	6	8	10
			n

D) Произведем вычисление определенного интеграла методом трапеций:

Trapeсia(f , a, b, n) :=	h ¬	b - a
Trapeсia(f , a, b, n) :=	h ¬		n
			n
	for	i Î 0 .. n
	xi ¬ a + h×i
	S ¬		f(x0) + f(xn)

		2
		2
	for	i Î 1 .. n - 1
	S ¬ S + f(xi)
	S ¬ h×S
	S

E_Trapecian := true - integraln

		0
	0	3.90710783354556
	1	0.10163854521265
	2	0.048514093223115
	3	0.028198397565906
E_Trapecia =	4	0.01836817310573
	5	0.012890550963647
	6	9.53469699306364·10 -3
	7	7.33342390714387·10 -3
	8	5.81305177929425·10 -3
	9	4.71971170130225·10 -3

n := 0 .. 9

integraln := Trapeсia(f , a, b, n + 1)

		0
	0	5.3665631459995
	1	1.56109385766658
	2	1.50796940567705
	3	1.48765371001984
integral =	4	1.47782348555966
	5	1.47234586341758
	6	1.468990009447
	7	1.46678873636108
	8	1.46526836423323
	9	1.46417502415523

df2(x) :=		d2	f(x)	absdf2(x) :=				df2(x)					0.4
df2(x) :=		d2	f(x)	absdf2(x) :=				df2(x)					0.4
		dx2
M2 := absdf2(2)				n := 0 .. 9									0.2
M2 = 0.304105											absdf2(z)
											absdf2(z)


													0


					(b - a)		3							2	0		2
														2	0		2
R_Trapecia(f , a, b, n) :=									×M2							z
R_Trapecia(f , a, b, n) :=					2				×M2
					12×n
	R_Trapecia(f , a, b, n)				4
					4

					2
	E_Trapecian

					0




						0	2			4	6				8		10
												n

На вышепредставленном рисунке видно, что теоретически вычисленная погрешность значительно превышает практическую для подавляющего большинства n.

Сравнение использованных методов по точности:

n := 9

(Vi)2

norma_1(V , n) := å

norma_2(V , n) := å

norma_c(V , n) :=

for i Î 0 .. n

i = 0

si ¬

max(s)

Функция нахождения максимальной из норм:

max_P(V , n) := s1 ¬ norma_1(V , n) s2 ¬ norma_2(V , n) s3 ¬ norma_c(V , n)

max(s)

Произведем сравнение точности использованных методов на основе сравнения норм векторов погрешностей, полученных практически:

max_P(E_Left , n) = 0.56640971399775	min(E_Left) = 4.71971170130225 ´ 10- 3
max_P(E_Centr , n) = 0.236407977147066	min(E_Centr) = 2.34115317988359 ´ 10- 3
max_P(E_Right, n) = 0.56640971399775	min(E_Right) = 4.71971170130203 ´ 10- 3
max_P(E_Trapecia , n) = 4.14411847799742	min(E_Trapecia) = 4.71971170130225 ´ 10- 3

Вывод: В ходе проведенного вычиcлительного эксперимента метод центральных

прямоугольников показал высокую стабильность при различных n и наивысшую точность среди всех использованных методов.

Задача 5.2. Для функции из задачи 5.1 вычислить значение интеграла òb f (x)dx методом

Симпсона для различных значений количества отрезков разбиения n = 2,4,...,20 (или соответственно с различным значением шага h = b -n a) . Построить график зависимости

абсолютной погрешности результата от n = 2,4,...,10 (или h ) и график теоретической оценки абсолютной погрешности в зависимости от n = 2,4,...,10 (или h ). Сделать выводы, сравнивая с результатами, полученными в задаче 5.1.

Решение задачи:

Simpson(f , a , b, n) :=	h ¬	b - a
Simpson(f , a , b, n) :=	h ¬			n
				n
	for	i Î 0			.. n
	xi ¬ a + h×i
	S ¬ f(x0) + f(xn)
	for	i Î 1			.. æ		n	ö
	for	i Î 1			.. æ			ö
					è 2 ø
	S ¬ S + 4×f(x2×
	for	i Î 1			..	n - 1
	for	i Î 1			..
					2
	S ¬ S + 2×f(x2×
	S ¬		h	×S
	S ¬			×S
		3
	S

i-1)

integral := 0
n := 2 , 4 .. 20			n1 := 0 .. 9
integralæ n		ö := Simpson(f , a, b , n)
ç	-1÷
ç	-1÷
è 2		ø

			0
	0		2.08145847688878
	1		1.46317366080426
	2		1.46047134933109
	3		1.45983374514149
integral =	4		1.45962553702043
	5		1.45954235454975
	6		1.45950415993736
	7		1.45948473210551
	8		1.45947404176071
	9		1.45946778090111

E_Simpsonn1 := true - integraln1

	d4
df4(x) :=		f(x) absdf4(x) :=	df4(x)
	4

	dx	3

M4 := absdf4(2)	n := 0 .. 9		2


M4 = 2.651082				absdf4(z)
M4 = 2.651082
					1
					1
		(b - a)5	0


						2	0		2
						2	0		2
R_Simpson(f , a, b, n) :=			×M4
R_Simpson(f , a, b, n) :=		4	×M4					z
		4						z
		180×n

R_Simpson(f , a, b, n)

E_Simpsonn 10

0
0	0	2	4	6	8	10
				n

Произведем сравнение точности использованных методов на основе сравнения норм векторов погрешностей:

max_P(E_Left , 9) = 0.56640971399775			min(E_Left) = 4.71971170130225 ´ 10− 3
max_P(E_Centr , 9) = 0.236407977147066			min(E_Centr) = 2.34115317988359 ´ 10− 3
max_P(E_Right, 9) = 0.56640971399775			min(E_Right) = 4.71971170130203 ´ 10− 3
max_P(E_Trapecia , 9) = 4.14411847799742			min(E_Trapecia) = 4.71971170130225 ´ 10− 3
max_P(E_Simpson , 9) = 0.627482713901151			min(E_Simpson) = 1.24684471785041 ´ 10− 5

		0
	0	0.622003164434844
	1	3.7183483503247·10 -3
	2	1.0160368771579·10 -3
	3	3.7843268755644·10 -4
E_Simpson =	4	1.7022456649296·10 -4
	5	8.70420958194451·10 -5
	6	4.88474834225983·10 -5
	7	2.94196515797651·10 -5
	8	1.87293067746008·10 -5
	9	1.24684471785041·10 -5

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.02.2016259.18 Кб170Mathcad - ЛР1.pdf
#
24.02.2016327.79 Кб81Mathcad - ЛР2.pdf
#
24.02.2016347.17 Кб116Mathcad - ЛР3.pdf
#
24.02.2016212.92 Кб63Mathcad - ЛР4-1.pdf
#
24.02.2016367.95 Кб96Mathcad - ЛР4-2.pdf
#
24.02.2016326.45 Кб69Mathcad - ЛР5.pdf
#
24.02.2016328.28 Кб115Mathcad - ЛР6.pdf
#
24.02.2016535.04 Кб10ME_shpory.doc
#
24.02.2016213.5 Кб55PRAKTIKA_Upravlenie_Zatratami.doc
#
24.02.2016368 Кб25Praktikum_po_psikhologii.pdf
#
24.02.2016386.05 Кб73preddiplomnaya_praktika_v_elektronnom_variante.doc