Калинкин.Лекции / 07-Численное интегрирование
.pdf51
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x) (рис. 1). Требуется определить значение определенного интеграла
b
I = ∫f (x)dx = F(b)–F(a),
a
которое числено равно площади S фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления площади, разобьем отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками:
x0=a, x1= a+h, x2=x1+h,…,xi=xi–1+h,…,xn=b, где h = b n−a – шаг разбиения.
Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi.
f(x)
yn
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi+1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y1 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · |
· |
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
||||||||
|
s0 |
|
s1 |
s2 |
|
|
|
|
si-1 |
si |
|
|
|
|
|
sn-1 |
|
||||||||
x0=a |
|
x1 |
x2 |
x3 · · |
· |
|
xi–1 |
xi |
|
xi+1 · · · |
xn–1 |
x |
|||||||||||||
|
|
|
xn |
Рис.1. График функции f(x)
Площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h:
S = s0+s1+s2+…si+…..+sn–1
Произвольную площадь si можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1] от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x):
xi+1
si = ∫ϕi (x)dx
xi
Вид функции φi(x) будет определять название метода.
Методы прямоугольников
Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1] принимается константой
Метод прямоугольников вперед. Для функции φi(x) = yi значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:
52
xi+1 |
|
xi+1 |
|
n−1 |
n−1 |
si = ∫yidx = yi x |
|
= yi (xi+1 −xi ) = yi h |
S = ∑si = h ∑yi |
||
|
|||||
|
xi |
||||
|
|||||
xi |
|
|
|
i=0 |
i=0 |
Метод прямоугольников назад. Для функции φi(x) = yi+1 значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:
|
|
xi+1 |
|
|
|
|
xi+1 |
|
|
|
|
n−1 |
|
n −1 |
|
||||
|
si = ∫yi+1dx = yi+1 x |
|
= yi+1 |
(xi+1 −xi ) = yi+1 h |
S = ∑si = h ∑yi+1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
xi |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
i=0 |
|
||
Метод прямоугольников в среднем. Определим точку: x |
i+ |
1 |
|
= xi + |
1 h и значе- |
||||||||||||||
|
|
|
yi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
ние функции |
2 |
в |
середине |
|
элементарного |
отрезка |
[xi;xi+1]. |
Принимаем |
|||||||||||
|
yi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φi(x) = |
. Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить |
||||||||||||||||||
как: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x xxi+1 = yi+1 |
|
|
|
|
n−1 |
|
n−1 |
|
|||||||
si |
= ∫yi+1 |
dx = yi+1 |
2 |
(xi+1 −xi ) = yi+1 |
h |
S = ∑si = h ∑yi+1 |
2 |
||||||||||||
|
xi |
|
2 |
|
2 |
|
|
i |
|
|
2 |
|
i=0 |
|
i=0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод трапеций
Функцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график
должен проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум
точкам (xi,yi) и (xi+1,yi+1):
φi(x) = Li(x) = yi |
(x −xi+1) |
+ yi+1 |
(x −xi ) |
|
(xi −xi+1) |
(xi+1 −xi ) |
|||
|
|
тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:
xi +1 |
xi +1 |
|
(x |
−xi+1) |
xi +1 |
|
(x −xi ) |
|
|
||||||
si = ∫Li (x)dx = |
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|||||||||
yi |
|
|
|
|
|
dx + |
yi+1 |
|
|
|
|
dx . |
|||
(x |
i |
−x |
i+1 |
) |
(x |
i+1 |
−x |
) |
|||||||
x1 |
xi |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
i |
|
|
Введем переменную t = x −hxi , тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. Значениям x, равным
xi, xi+1 соответствуют значения t, равные 0, 1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1). Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:
1
si = ∫yi
0
h(t −1) |
|
|
|
1 |
|
|
ht |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t2 |
|
|
1 |
|
|
|
t2 |
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
hdt |
+ ∫yi+1 |
hdt = h(∫yi (1 −t)dt + ∫yi+1tdt) = h(yi (t |
|
− |
|
|
|
|
) + yi+1 |
|
) = |
|||||||||||||||||||||||||
(−h) |
(h) |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= h ( yi (1 − |
1 |
) |
+ yi+1 |
1 |
) |
= h |
yi + yi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n−1 |
|
|
n −1 |
|
|
|
h |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S = ∑si = ∑ |
h |
(yi |
+ yi+1) = |
(y0 + y1 + y1 + y2 + y2 +... + yn−1 + yn−1 + yn ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
i=0 |
|
|
i=0 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
+ y |
n |
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
(y0 + |
2y1 +2y2 +2y3 |
+.... +2yn −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
+ yn ) = h |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
+ ∑yi |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
53
Метод Симпсона
Определим точку x |
i+ |
1 |
= xi + |
1 h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1] |
и зна- |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
чение функции в этой точке yi+1 |
2 |
. Функцию φi(x) будем определять как квадратичную |
||||
на отрезке [xi;xi+1], т.е. |
|
|
|
|
||
её график должен проходить через три смежные |
точки |
(xi,yi),(xi+1/2,yi+1/2) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам xi, xi+1/2 и xi+1:
|
φi(x) = Li(x) = yi |
|
(x −xi+1/ |
2 )(x −xi+1) |
+ |
|
|
|||
|
(xi −xi+1/ |
|
|
|
||||||
|
|
2 )(xi −xi+1) |
|
|
||||||
+ yi+1/ 2 |
(x −xi )(x −xi+1) |
|
+ yi+1 |
(x −xi )(x −xi+1/ 2 ) |
, |
|||||
(xi+1/ 2 −xi )(xi+1/ 2 −xi+1) |
(xi+1 −xi )(xi+1 |
−xi+1/ 2 ) |
||||||||
|
|
|
|
Тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
si |
= ∫ϕi (x)dx = |
|
|
|
∫Li (x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
xi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(x −xi+1/ 2 )(x −xi+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
−xi )(x −xi+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −xi )(x −xi+1/ 2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
(yi |
+ yi+1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ yi+1 |
|
|
|
|
|
)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
i |
−x |
i+1/ 2 |
)(x |
i |
−x |
i+1 |
) |
(x |
i+1/ 2 |
−x |
i |
)(x |
i+1/ 2 |
−x |
i+1 |
) |
(x |
i |
+1 |
−x |
)(x |
i+1 |
−x |
i |
+1/ 2 |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Введем переменную t = |
|
x −xi |
|
|
, тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. Значениям x, равным |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
h |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xi, xi+1/2, |
xi+1 соответствуют значения t, равные 0, |
|
|
, 1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значение (x-xi+1/2) = xi – xi+1/2 + h·t = h(t- |
1 ). Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t |
− |
1 |
)h(t −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hth(t |
|
− |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
hth(t −1) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
si = ∫ yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ yi+1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ yi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hdt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
− |
h |
)(−h) |
|
( |
h |
)(− |
h |
) |
|
|
|
|
|
(h)( |
h |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(t − |
1 )(t −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t(t −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t(t − 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ∫(yi |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
) + yi+1/ 2 |
|
+ yi+1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
)hdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −3t +1) −4yi+1/ 2 (t2 − t) + yi+1(2t2 − t))dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= h∫(yi (2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= h (y |
(2 |
t3 |
|
−3 |
t2 |
|
|
+ t |
|
) −4y |
i+1/ 2 |
( |
t3 |
|
|
|
− |
t2 |
|
|
|
) + y |
i+1 |
(2 |
t3 |
|
|
|
|
− |
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= h (yi (2 |
− 3 +1) − yi+1/ 2 |
4(1 |
− 1) + yi+1( 2 |
|
|
|
− |
1)) = h(yi |
|
1 + yi+1/ 2 |
4 |
+ yi+1 |
1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
h |
(y +4y |
|
|
|
|
|
|
+y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
i+1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда значения |
|
общей |
S |
площади |
можно вычислить как: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n−1 |
|
|
h |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
S = ∑si |
= |
∑(yi +4yi+1/ 2 + yi+1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S = h (y |
|
|
i=0 |
|
6 |
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
+4y |
+2y |
+4y |
3 / 2 |
+2y |
2 |
+... +2y |
n −1 |
+4y |
n−1/ 2 |
+ y |
n |
) |
|
|
||||||
6 |
1/ 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1 |
|
|
|
x2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Вычислить значение определенного интеграла |
I = ∫ (x +1)cos( |
|
) dx |
||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всеми численными методами на заданном отрезке [0.6; 1.1] при числе разбиений n=5.
Шаг интегрирования: h =1.6 −5 0.1 =0.1
Строим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка и в средних точках.
|
|
i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
xi |
|
|
|
|
0.6000 |
0.7000 |
|
|
0.80000.90001.00001.1000 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
yi |
|
|
|
|
1.5741 |
1.6492 |
|
|
1.70861.74631.75521.7273 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
xi+1 |
2 |
|
|
0.6500 |
0.7500 |
0.85000.95001.0500 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
yi+ |
1 |
2 |
|
|
1.6133 |
1.6812 |
1.73061.75481.7463 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Метод прямоугольников вперед. si |
= yi ; I = ∑si |
= h ∑yi−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I =0.1 (1.5741 +1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552) =0.8433 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Метод прямоугольников назад. si = h yi+1; |
|
I = ∑si = h ∑yi+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I =0.1 (1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552 +1.7273) =0.8587 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Метод прямоугольники в среднем. si |
= h yi+1 |
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
||||||||||||||||
; |
|
I = ∑si |
= h |
∑yi+1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i=0 |
|
|
|
|
i=0 |
|
2 |
|
|||
I =0.1 (1.6133 +1.6812 +1.7306 +1.7548 +1.7463) =0.8526 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
yi |
+ yi+1 |
|
|
|
n −1 |
|
|
|
y0 |
+ yn |
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Метод трапеций. si = h |
; |
I = ∑si |
= h ( |
+ ∑yi ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1.5741 |
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
1.7273 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I =0.1 |
( |
|
|
|
|
+1.6492 +1.7086 +1.7463 |
+1.7552 + |
|
|
|
|
) =0.8510 |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
Метод Симпсона. |
|
I = h n∑−1(yi +4 y |
i+ |
1 |
+ yi |
+1) = h |
(y0 + 4n∑−1y |
i+ |
1 |
|
+2n∑−1yi + yn ) |
||||||||||||||||||
|
|
6 i=0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
i=0 |
|
2 |
i=1 |
I= 06.1(1.5741 +4 (1.6133 +1.6812 +1.7306 +1.7548 +1.7463) +
+2 (1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552) +1.7278) =0.8521