Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Калинкин.Лекции / 07-Численное интегрирование

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
07.01.2014
Размер:
124.81 Кб
Скачать

51

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x) (рис. 1). Требуется определить значение определенного интеграла

b

I = f (x)dx = F(b)–F(a),

a

которое числено равно площади S фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления площади, разобьем отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками:

x0=a, x1= a+h, x2=x1+h,…,xi=xi–1+h,…,xn=b, где h = b na – шаг разбиения.

Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi.

f(x)

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn–1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi–1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· ·

·

 

 

 

 

 

· · ·

 

 

 

 

s0

 

s1

s2

 

 

 

 

si-1

si

 

 

 

 

 

sn-1

 

x0=a

 

x1

x2

x3 · ·

·

 

xi–1

xi

 

xi+1 · · ·

xn–1

x

 

 

 

xn

Рис.1. График функции f(x)

Площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h:

S = s0+s1+s2+…si+…..+sn–1

Произвольную площадь si можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1] от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x):

xi+1

si = ϕi (x)dx

xi

Вид функции φi(x) будет определять название метода.

Методы прямоугольников

Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1] принимается константой

Метод прямоугольников вперед. Для функции φi(x) = yi значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

52

xi+1

 

xi+1

 

n1

n1

si = yidx = yi x

 

= yi (xi+1 xi ) = yi h

S = si = h yi

 

 

xi

 

xi

 

 

 

i=0

i=0

Метод прямоугольников назад. Для функции φi(x) = yi+1 значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

 

 

xi+1

 

 

 

 

xi+1

 

 

 

 

n1

 

n 1

 

 

si = yi+1dx = yi+1 x

 

= yi+1

(xi+1 xi ) = yi+1 h

S = si = h yi+1

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=0

 

 

i=0

 

Метод прямоугольников в среднем. Определим точку: x

i+

1

 

= xi +

1 h и значе-

 

 

 

yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

ние функции

2

в

середине

 

элементарного

отрезка

[xi;xi+1].

Принимаем

 

yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φi(x) =

. Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить

как:

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x xxi+1 = yi+1

 

 

 

 

n1

 

n1

 

si

= yi+1

dx = yi+1

2

(xi+1 xi ) = yi+1

h

S = si = h yi+1

2

 

xi

 

2

 

2

 

 

i

 

 

2

 

i=0

 

i=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод трапеций

Функцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график

должен проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум

точкам (xi,yi) и (xi+1,yi+1):

φi(x) = Li(x) = yi

(x xi+1)

+ yi+1

(x xi )

(xi xi+1)

(xi+1 xi )

 

 

тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

xi +1

xi +1

 

(x

xi+1)

xi +1

 

(x xi )

 

 

si = Li (x)dx =

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

 

dx +

yi+1

 

 

 

 

dx .

(x

i

x

i+1

)

(x

i+1

x

)

x1

xi

 

 

 

 

 

xi

 

 

i

 

 

Введем переменную t = x hxi , тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. Значениям x, равным

xi, xi+1 соответствуют значения t, равные 0, 1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1). Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

1

si = yi

0

h(t 1)

 

 

 

1

 

 

ht

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

t2

 

 

1

 

 

 

t2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hdt

+ yi+1

hdt = h(yi (1 t)dt + yi+1tdt) = h(yi (t

 

 

 

 

 

) + yi+1

 

) =

(h)

(h)

 

0

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= h ( yi (1

1

)

+ yi+1

1

)

= h

yi + yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

n 1

 

 

 

h

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = si =

h

(yi

+ yi+1) =

(y0 + y1 + y1 + y2 + y2 +... + yn1 + yn1 + yn ) =

 

 

i=0

 

 

i=0 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

+ y

n

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

=

 

 

(y0 +

2y1 +2y2 +2y3

+.... +2yn 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ yn ) = h

 

 

2

 

 

 

 

 

 

+ yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

53

Метод Симпсона

Определим точку x

i+

1

= xi +

1 h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1]

и зна-

 

 

2

 

2

 

чение функции в этой точке yi+1

2

. Функцию φi(x) будем определять как квадратичную

на отрезке [xi;xi+1], т.е.

 

 

 

 

её график должен проходить через три смежные

точки

(xi,yi),(xi+1/2,yi+1/2) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам xi, xi+1/2 и xi+1:

 

φi(x) = Li(x) = yi

 

(x xi+1/

2 )(x xi+1)

+

 

 

 

(xi xi+1/

 

 

 

 

 

2 )(xi xi+1)

 

 

+ yi+1/ 2

(x xi )(x xi+1)

 

+ yi+1

(x xi )(x xi+1/ 2 )

,

(xi+1/ 2 xi )(xi+1/ 2 xi+1)

(xi+1 xi )(xi+1

xi+1/ 2 )

 

 

 

 

Тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

si

= ϕi (x)dx =

 

 

 

Li (x)dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x xi+1/ 2 )(x xi+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

xi )(x xi+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x xi )(x xi+1/ 2 )

 

 

(yi

+ yi+1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ yi+1

 

 

 

 

 

)dx

(x

i

x

i+1/ 2

)(x

i

x

i+1

)

(x

i+1/ 2

x

i

)(x

i+1/ 2

x

i+1

)

(x

i

+1

x

)(x

i+1

x

i

+1/ 2

)

xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

Введем переменную t =

 

x xi

 

 

, тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. Значениям x, равным

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi, xi+1/2,

xi+1 соответствуют значения t, равные 0,

 

 

, 1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение (x-xi+1/2) = xi – xi+1/2 + h·t = h(t-

1 ). Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h(t

1

)h(t 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hth(t

 

1

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

hth(t 1)

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

si = yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ yi+1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hdt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

h

)(h)

 

(

h

)(

h

)

 

 

 

 

 

(h)(

h

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

(t

1 )(t 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

t(t 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

t(t 1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (yi

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

) + yi+1/ 2

 

+ yi+1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

)hdt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3t +1) 4yi+1/ 2 (t2 t) + yi+1(2t2 t))dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= h(yi (2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= h (y

(2

t3

 

3

t2

 

 

+ t

 

) 4y

i+1/ 2

(

t3

 

 

 

t2

 

 

 

) + y

i+1

(2

t3

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= h (yi (2

3 +1) yi+1/ 2

4(1

1) + yi+1( 2

 

 

 

1)) = h(yi

 

1 + yi+1/ 2

4

+ yi+1

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

h

(y +4y

 

 

 

 

 

 

+y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

i

 

 

 

 

 

 

i+1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

i+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда значения

 

общей

S

площади

можно вычислить как:

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

h

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = si

=

(yi +4yi+1/ 2 + yi+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = h (y

 

 

i=0

 

6

i=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

+4y

+2y

+4y

3 / 2

+2y

2

+... +2y

n 1

+4y

n1/ 2

+ y

n

)

 

 

6

1/ 2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Вычислить значение определенного интеграла

I = (x +1)cos(

 

) dx

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

всеми численными методами на заданном отрезке [0.6; 1.1] при числе разбиений n=5.

Шаг интегрирования: h =1.6 5 0.1 =0.1

Строим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка и в средних точках.

 

 

i

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

4

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

xi

 

 

 

 

0.6000

0.7000

 

 

0.80000.90001.00001.1000

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

1.5741

1.6492

 

 

1.70861.74631.75521.7273

 

 

 

 

 

xi+1

2

 

 

0.6500

0.7500

0.85000.95001.0500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi+

1

2

 

 

1.6133

1.6812

1.73061.75481.7463

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод прямоугольников вперед. si

= yi ; I = si

= h yi1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=0

 

i=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =0.1 (1.5741 +1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552) =0.8433

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод прямоугольников назад. si = h yi+1;

 

I = si = h yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=0

 

 

i=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =0.1 (1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552 +1.7273) =0.8587

Метод прямоугольники в среднем. si

= h yi+1

 

 

 

n 1

 

 

 

 

n 1

 

 

 

;

 

I = si

= h

yi+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i=0

 

 

 

 

i=0

 

2

 

I =0.1 (1.6133 +1.6812 +1.7306 +1.7548 +1.7463) =0.8526

 

 

 

 

yi

+ yi+1

 

 

 

n 1

 

 

 

y0

+ yn

 

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод трапеций. si = h

;

I = si

= h (

+ yi )

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

1.5741

 

 

 

 

i=0

 

 

 

 

 

 

i=1

 

1.7273

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =0.1

(

 

 

 

 

+1.6492 +1.7086 +1.7463

+1.7552 +

 

 

 

 

) =0.8510

2

 

 

 

 

 

 

2

Метод Симпсона.

 

I = h n1(yi +4 y

i+

1

+ yi

+1) = h

(y0 + 4n1y

i+

1

 

+2n1yi + yn )

 

 

6 i=0

 

 

 

 

2

 

 

6

 

 

i=0

 

2

i=1

I= 06.1(1.5741 +4 (1.6133 +1.6812 +1.7306 +1.7548 +1.7463) +

+2 (1.6492 +1.7086 +1.7463 +1.7552) +1.7278) =0.8521