Калинкин.Лекции / 04-Матричные операции

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич

1

ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

Определение вектора

С упорядоченной последовательностью действительных чисел a1,a2,a3,…,an-1,an можно связать понятие связанного вектора в n-мерном пространстве и обозначить как:

	a	1
→ _	a2
a =a =[a]=
	.
	.
	an

или понятие точки A(a1,a2,a3,…,an). Числа a1,a2,a3,…,an называются координатами

→

точки A или элементами вектора a , а количество элементов в векторе называется размерностью этого вектора. Положение элемента ai определяется индексом i, где

i = 1,2,· ··,n. Компоненты вектора записываются в виде столбца.

Типы и характеристики векторов

Нулевой вектор – вектор, все компоненты которого равны нулю и обозначается

как:

0 → 0 0 = ..0

Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице:

→	0.6		+0.82	=1
a	=	; l = 0.62
	0.8

Транспонированный вектор – вектор, компоненты которого располагаются в виде строки:

→T

=[a

a

.... a

a

]

→

= 2

→

=[2 3]

a

2

n−1

n

Пример. a

aT

1

3

Два вектора с одинаковой размерностью равны тогда, когда равны их соответ-

ствующие компоненты.

→

→

a

= b

a1 = b1,a2 = b2,.....,an = bn , где i =1,2,3,...,n

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич

2

Определение матрицы

Совокупность чисел расположенных в прямоугольной таблице, состоящей из n строк и m столбцов, называется матрицей и обозначается как:

=	a	11	a	a	13			a	1m
			12
A =[A]= a21 a22				a23		a2m
			an2
	an1			an3 anm

Положение элемента aij в матрице определяется двумя индексами (i и j), где i определяет номер строки (1≤i ≤ n) , а j – номер столбца (1≤ j ≤ m) .

Типы матриц

Вектор строка – матрица, состоящая из одной строки n=1

Вектор столбец – матрица, состоящая из одного столбца m=1

Квадратная матрица – матрица, у которой n равно m

Верхне треугольная – матрица, у которой aij=0 при i>j

Нижне треугольная – матрица, у которой aij=0 при i<j

Диагональная – матрица, у которой aij =0 приi ≠ j

Единичная – матрица, у которой aij			1 приi = j
			=
			0 приi ≠ j
	=	=
Равенство матриц A = B т.е. aij=bij,				где i=1,2,3,…,n		j=1,2,3,…,m
		Характеристики и операции
Норма (длина) вектора
→	n	Пример.	→	2	→	+32 =3.61
a =	∑ai2		a	=	a = 22
	i=1			3

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич

3

Алгоритм и программа для вычисления нормы вектора

Блок-схема

Исполняемая процедура (main)

Начало

→

n, a

s:=0

i:=1 шаг 1 до n

s :=s +ai2

s := s

Option base 1

Sub NormaVectora()

Dim n As Integer, a() As Single Dim s As Single, i As Integer n = Cells(2, 1)

Redim a(n) For i= 1 to n

a(i) = Cells(i + 3, 1) Next i

s = 0

For i = 1 to n

s = s + a(i) * a(i) Next i

s = Sqr(s) Cells(2, 3) = s End Sub

s

Конец

Вызываемая функция	Вызов функции
Function NVec(Nrow%, a!()) As Single
Dim s As Single	В исполняемой процедуре
Dim i As Integer	NormaVectora заменяем под-
s = 0	черкнутые строки на строку:
For i = 1 to Nrow	Cells(2, 3) = NVec(n,a)
s = s + a(i) * a(i)
Next i
NVec = sqr(s)
End Function

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич

4

Норма матрицы (Эвклидова).

=	n m
A =	∑∑ai2, j
	i=1 j=1

Программа для вычисления нормы матрицы

Исполняемая процедура (main)		Вызываемая функция
Option base 1		Function NormM(Nrow%, Ncol%, A!())
Sub NormaMatrix()		Dim i As Integer, j As Integer
Dim n%, m%, a!()		Dim s As Single
Dim i As Integer, j As Integer, _		s = 0
s As Single		For i = 1 to Nrow
n=Cells(2, 1)		For j = 1 to Ncol
m= Cells(2, 2)		s = s + A(i, j)^2
Redim a(n,m)		Next j
For i = 1 to n		Next i
For j = 1 to m		NormM = sqr(s)
a(i, j) = Cells(3 + i, j)		End Function
Next j
Next i		Вызов функции
s = 0		в исполняемой процедуре
For i = 1 to n
For j = 1 to m		NormaMatrix заменяем подчеркну-
s = s + a(i,j)^2		тые строки на строку:
Next j		Cells(2, 3) = NormM (n,m,a)
Next i
Cells(2, 3) = Sqr(s)
End Sub

Сложение и вычитание векторов. Складывать или вычитать можно только вектора с одинаковой размерностью. Результатом операции сложения (вычитания) является вектор, компоненты которого равны сумме (разности) соответствующих компонент двух других векторов.

→ → →	→	3	→	2	→	5
c = a ± b	ci =ai ±bi , i =1,2,3,..,n Пример. a	=	b	=	c	=
		5		7		12

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич	5
свойство операции сложения (вычитания):

коммутативность

→→ → →

+b = b + aa

ассоциативность

→	→	→	→	→ →
a	+( b	+ c ) =	( a	+ b) + c
	Программа для вычисления суммы векторов
Исполняемая процедура (main)					Вызываемая процедура
Option base 1					Sub AddV(Nrow%, a!()), b!(), r())
Sub AddVector()					Dim i As Integer
Dim n%, a!(), b!(), c!()					For i = 1 to Nrow
Dim i As Integer					r(i) = a(i) + b(i)
n=Cells(2,1)					next i
Redim a(n), b(n), c(n)					End Sub
For i = 1 to n
a(i)=Cells(3 + i, 1)
b(i)=Cells(3 + i, 2)					Вызов процедуры
Next i
For i= 1 to n					Call AddV(n,a,b,c)
c(i) = a(i) + b(i)
Next i

For i= 1 to n

Cells(3 + i, 3)=c(i)

Next i

End Sub

Сложение и вычитание матриц. Складывать или вычитать можно только матрицы с одинаковой размерностью. Результатом операции сложения (вычитания) является матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов двух других матриц.

=	= =
C	= A ± B ; cij =aij ± bij, i =1,2,3,...,n; j =1,2,3,...,m

свойство операции сложения (вычитания):

коммутативность

=	=	= =
A+ B		= B+A ;
ассоциативность
=	=	=	= = =
A+(B+C) =			(A+B) +C

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич	6
Программа для вычисления суммы матриц

Вызываемая процедура

Sub AddM(Nrow As Integer, Ncol As Integer, _

A() As Single, B() As Single, C() As Single)

Dim i As Integer

Dim j As Integer

For i = 1 to Nrow

For j = 1 to Ncol

C(i, j) = A(i, j) + B(i, j)

Next j

Next i

End Sub

Умножение вектора на константу. Результатом умножения является вектор, компоненты которого равны произведению соответствующих компонент исходного вектора на константу.

→

→

c

=λ a

ci =λai , i =1,2,3,...,n

Пример.

→

2

→

= 2.3

2

4.6

λ = 2.3 a

=

c

=

3

3

6.9

Свойства операции:

→

→

→

→

λ ( a

+ b ) =λ a

+λ b

→

→

→

(λ +β) a

=λ a

+β a

→ →

λ(β a ) =(λβ) a

→→

a = 00

→ →

1 a = a

→ →

(−1) a = − a

Умножение матрицы на константу. Результатом умножения является матрица, элементы которой равны произведению соответствующих элементов исходной матрицы на константу.

= =

C =λ A; ci, j =λ ai, j , i =1,2,3,...,n; j =1,2,3,...,m

Свойства операции:

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич			7
= =	=	=
λ (A+B) =λ A+λ B
=	=	=
(λ +β) A =λ A+βA

==

λ(βA) =(λβ) A

=→

A = 00

= =
1 A = A
=	=
(−1) A	= −A

Транспонирование вектора – это изменения представления вектора. Представление в виде столбца на строку.

	a1
→	a2		→		=[a1 a2 .... an−1 an ]
a			a	T
	= .
	.
	an

→	2	→
Пример. a	=	aT =[2 3]
	3

Транспонирование матрицы – это замена строк матрицы соответствующими столбцами т.е. a'j,i =ai, j , гдеi =1,2,3,...,n; j =1,2,3,...,m

=T

a

11

a

12

a

a

T

a

11

a

21

a

31

a

n1

13

1m

A

=[A]T = a21 a22

a23

a2m

= a12

a22

a32

an2

an2

a2m

an1

an3 anm

a1m

a3m anm

Программа для вычисления транспонированной матрицы

Вызываемая процедура

Sub TranM(Nrow As Integer, Ncol As Integer, _

A() As Single, At() As Single)

Dim I As Integer, j As Integer

For i = 1 to Nrow

For j = 1 to Ncol

At(j,i)=A(i,j)

Next j

Next i

End Sub

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич
Скалярное произведение векторов – это значение суммы произведений со-8
ответствующих компонент двух векторов.
				→ →	→ →	n
			z =( a , b) =aT b =			∑ai bi , i =1,2,3,...,n
						i=1
→	2	→	4	z =[2	4	= 2 4 +3 5 = 23
Пример. a	=	b	=		3]
	3		5		5

Вызываемая функция

Function Scal(Nrow As Integer, a() As Single, b() As Single) Dim i As Integer, s As Single

s = 0

For i = 1 to Nrow s = s + a(i) * b(i)

Next i

Scal = s

End Function

			→		→
Угол между векторами. Косинус угла	cos(θ) =		aT		b
			→		→
			a		b

Вызываемая функция ( обращается к функциям Scal и NVect )

Function Cost(n As Integer, a() As Single, b() As Single)

Cost = Scal(n,a,b)/(NVec(n,a) * NVec(n,b))

End Function

→ →

Ортогональность векторов cos(θ) =0 т.е. aT b =0

Могут возникнуть две задачи:

Проверка ортогональности двух векторов даны вектора

→	−1			→	1		1		= −1 1 +3 3 −2 4 =0
a	=	3		b	= 3		z =[−1 3 −2] 3
	−2				4		4

Эти вектора ортогональны.

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич	9
Найти вектор ортогональный данному.

→	−1		b1
	= 3		[−1 3 −2] b			=(−1) b +3 b		+(−2) b =0
a				2			2
						1		3
	−2		b3

задаем b1 =3 b2 =5

→		3
	=
получаем (−3) +15 +(−2) b3 =0 12 −2 b3 =0 b3 =6 b		5
		6

Линейная зависимость векторов

→(i)

m

→(i)

→

Вектора a

называются линейно зависимыми, если соотношение ∑βi a

= 0

справедливо, хотя бы при одном множителе βi

i=1

отличным от нуля.

Пример:

→(1)

2

→(2)

1

→(1)

→(2)

→

2

1

0

a

= ; a

=

β1 a

+β2 a

= 0

β1 +β2

=

4

2

4

2

0

β1 2 +β2 1 =0 β2 = −2 β1

β1 4 +β2 2 =0 β1 4 −β1 4 =0 β1 0 =0 при любомβ1

→(1)

1

→(2)

+ 2

→(1)

→(2)

1

+ 2

0

a

= ; a

=

β1 a

+β2 a

=0

β1 +β2

=

2

−1

2

−1

0

β1 1+β2 2 =0 β1 = −2 β2

β1 2 −β2 1 =0

−β2 4 −β2 1 =0 β2 (−5) =0 толькоприβ2 =0

Если m>n, то вектора линейно зависимы, где m - количество векторов, а n – размерностью пространства.

Умножение матриц.

= = =	= = =	= =
C = A B ≠ B A Cnm = Ank Bkm
		=
Количество столбцов матрицы A должно равняться количеству строк матрицы
=		=
B . Элемент cij	вычисляется как скалярное произведение i-й строки матрицы A и j-
	=	k
го столбца матрицы B :		cij = ∑ail blj

l=1

(С) ИиКМ РХТУ январь 2007г. Калинкин Владимир Николаевич	10
Вызываемая процедура

Sub MultM((NrowA as Integer, NcolA As Integer, NcolB As Integer, _

A() As Single, B() As Single, C() As Single) Dim i As Integer, j As Integer, l as Single

Dim s As Single For i = 1 to NrowA

For j = 1 to NcolA s = 0

For l = 1 to NcolB: s = s + A(i, l) + B(l, j): Next l C(i, j)=s

Next j

Next i

End Sub

		=			=	=
Пример. Вычислить матрицу C =					A B.
	=	2	1		0		=	1	0	1	2
										0
	A =		2		1	;	B =	3 1			1
		1							2	1
								1			2
=	2 1 0			1		0	1	2	5 1		2 5
C = 1 2 1				3		1	0	1	= 8 4		2 6
						2	1
				1				2

Пример. Вычислить значение матричного выражения R. Сохраните промежуточные вычисления. Составите программу для вычисления R, используя язык программирования VBA. Проведите расчёт по программе и сравните результаты. Операция sled([матрица]) – произведение диагональных элементов матрицы.

						R =					=		= →		= →
											A B c			+A d
	=		2	1 1		= 1							2		→	2		→	3
	A		=		;	B	= 3						1 ;		c =	;		d =	1
			1	3 2												3
											4		1						2
			=	= =		2 1							1	1	2	9		6
			RM = A B = 1 3 2											3 1		= 18 7
														4	1
=	= →		9	6	2	36							=		= →		2	1 1				3		9
RV = RM c		= 18		7	3	= 57							RV1 = A d =				1	3		2		1		= 10
																						2
=	=	=		9	36		45						R =		2			452 +672					=80.709
RV1	= RV1+RV =			+		=									∑rv1i =
			10		57		67								i=1