Documents / lecture_6
.pdf1
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
Для заданных на отрезке значениях независимой переменной xi и соответствующих им значениях зависимой переменной yi, (i=0,1,2,…,n), определить аналитическую зависимость y = f (x) .
Основные этапы при приближении функции.
•Выбор вида зависимости
•Выбор критерия
•Выбор узловых точек
•Оценка точности
Метод интерполяции многочленом Лагранжа
Пусть в n+1 узловой точке x0, x1, x2, …, xn определены значения y0, y1, y2, …, yn. Требуется построить многочлен L(x) степени не выше n, который принимает в узловых точках заданные значения, т.е. L(x0)=y0, L(x1)=y1, L(x2)=y2, …, L(xn)=yn. Рассмотрим многочлен вида:
li(x)=ci(x–x0)(x–x1)….. (x–xi–1)(x–xi+1)……. (x–xn–1)(x–xn), (1)
где i = 0,1,2,3,…….,n, который только в точке xi принимает значение yi , а в остальных равен нулю.
yi приi = j |
j = 0,1,2,...,n, |
|
li (x j) = |
приi ≠ j |
|
0 |
|
из этого условия можно определить ci:
li(xi)=ci(xi–x0)(xi–x1)….. (xi–xi–1)(xi–xi+1)……. (xi–xn–1)(xi–xn) = yi
|
|
|
сi |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi − x0 )(xi |
− x1)...(xi |
− xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn−1)(xi − xn ) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
и тогда многочлен (1) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
li (x) = yi |
|
(x − x0 )(x − x1)...(x − xi−1)(x − xi+1)...(x − xn−1)(x − xn ) |
|
|
(2) |
||||||||||||||||||||
(x |
i |
− x |
0 |
)(x |
i |
− x )...(x |
i |
− x |
i−1 |
)(x |
i |
− x |
i+1 |
)...(x |
i |
− x |
n−1 |
)(x |
i |
− x |
n |
) |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многочлен, который в n+1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).
n
L(x) = ∑li (x)
i=0
2
n |
(x − x0 )(x − x1)...(x − xi−1)(x |
− xi+1)...(x − xn−1)(x − xn ) |
|
|
|||||||||||||||||||
L(x) = ∑yi |
|
|
|
||||||||||||||||||||
(x |
i |
− x |
0 |
)(x |
i |
− x )...(x |
i |
− x |
i−1 |
)(x |
i |
− x |
i+1 |
)...(x |
i |
− x |
n−1 |
)(x |
i |
− x |
n |
) |
|
i=0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Функция y=f(x) определена таблицей
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
xi |
0.500 |
1.100 |
1.700 |
2.300 |
yi |
–0.7780 |
0.2108 |
–0.0244 |
–0.1876 |
Определить интерполяционный многочлен L(x) по четырём узловым точкам.
|
l0 |
(x) = |
(x − x1) (x − x2 ) (x − x3) |
y0 = |
||
|
(x0 − x1) (x0 − x2 ) (x0 − x3) |
|||||
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
(x −1.1) (x −1.7) (x −2.3) |
(−0.778) = |
||
|
(0.5 −1.1) (0.5 −1.7) (0.5 −2.3) |
|||||
|
|
|
|
=0.6003x3 −3.0616x2 + 4.9886x −2.5819
|
|
l (x) = |
|
(x − x0 ) (x − x2 ) (x − x3) |
|
|
y = |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
(x1 − x0 ) (x1 − x2 ) (x1 |
− x3) |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
(x −0.5) (x −1.7) (x −2.3) |
|
|
0.2108 = |
|||||||
|
|
|
(1.1−0.5) (1.1−1.7) (1.1−2.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
=0.4880x3 −2.1958x2 + 2.8839x −0.9540 |
||||||||||||
|
|
l2 |
(x) = |
|
(x − x0 ) (x − x1) (x − x3) |
y2 = |
||||||||
|
(x2 − x0 ) (x2 − x1) (x2 − x3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
|
|
(x −0.5) (x −1.1) (x −2.3) |
|
|
(−0.0244) = |
||||||
|
(1.7 −0.5) (1.7 −1.1) (1.7 −2.3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
=0.0565x3 −0.2203x2 +0.2389x −0.0714 |
||||||||||||
|
|
l3 |
(x) = |
|
(x − x0 ) (x − x1) (x − x2 ) |
|
y3 = |
|||||||
|
|
(x3 − x0 ) (x3 − x1) (x3 − x2 ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
|
(x −0.5) (x −1.1) (x −1.7) |
|
(−0.1876) = |
||||||||
|
|
(2.3 −0.5) (2.3 −1.1) (2.3 −1.7) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −0.1448x3 +0.4777x2 −0.4733x +0.1354
3
3
L(x) = ∑li (x) =1.0000x3 −5.0000x2 +7.6381x −3.4719
i=0
Аппроксимация.
Метод наименьших квадратов
Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений независимой переменной x и зависимой переменной y:
i |
xi |
yi |
0 |
x0 |
y0 |
1 |
x1 |
y1 |
2 |
x2 |
y2 |
M |
M |
M |
n |
xn |
yn |
Требуется отыскать аналитическую зависимость f(x,a0,a1,…,am), являющуюся функцией одной независимой переменной x и параметров a0,a1,a2,…,am, которая наилучшим образом описывала бы эти экспериментальные данные в смысле минимума квадратичного критерия рассогласования R(a0,a1,…,am):
R= ∑n [yi −f (xi ,a0 ,a1,L,am )]2
i=0
Функцию f(x,a0,a1,…,am)) определим как полином степени m вида:
→ m |
+a1x +a2x2 +L+amxm |
f (x, a ) = ∑a j x j =a0 |
|
j=0 |
|
Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования имел бы минимальное значение
R= ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 L+amxim )]2 → min
i=0
Вывод формулы для определения параметров в матричном виде рассмотрим на примере полинома второй степени (m=2).
_
f (x,a) = a0 +a1x +a2x2
Для заданных значений x0,x1,…,xn критерий R будет являться функцией трёх переменных a0,a1,a2 :
4
R= R(a0,a1,a2 ) = ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 )]2
i=0
Необходимые условия минимума критерия R имеют вид:
∂R = 2 ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 )](−1) = 0 |
|
∂a0 |
i=0 |
∂R = 2 ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 )](−xi ) = 0 |
|
∂a1 |
i=0 |
∂R |
= 2 ∑n [yi −(a0 +a1xi +a2xi2 )](−xi2 ) = 0 |
||||||||||
|
|||||||||||
∂a2 |
i=0 |
|
или |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
∑1 |
a0 |
+ |
∑xi a1 |
+ |
|
∑xi2 |
a2 |
= ∑yi |
||
|
i=0 |
|
i=0 |
|
|
i=0 |
|
i=0 |
|||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
∑xi a0 |
+ |
∑xi2 |
a1 |
+ |
|
∑xi3 |
a2 |
= ∑yixi |
|||
i=0 |
|
i=0 |
|
|
i=0 |
|
i=0 |
||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
∑xi2 |
a0 |
+ |
∑xi3 |
a1 |
+ |
|
∑xi4 |
a2 |
= ∑yixi2 |
||
i=0 |
|
i=0 |
|
|
i=0 |
|
i=0 |
Полученную линейную относительно искомых параметров a0,a1,a2, систему
= → →
уравнений запишем в матричном виде: N a = b
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∑1 |
∑xi |
∑xi2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
∑yi |
|
||
|
|
i=0 |
i=0 |
|
i=0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
i=0 |
|
|||
= |
|
n |
n |
2 |
n |
3 |
→ |
= |
|
|
|
→ |
= |
|
n |
|
|
N = |
|
∑xi |
∑xi |
∑xi |
|
a |
a1 |
|
b |
|
∑yixi |
|
|||||
|
i=0 |
i=0 |
|
i=0 |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
i=0 |
|
||
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
∑xi2 |
∑xi3 |
∑xi4 |
|
|
|
|
|
|
|
∑yixi2 |
||||||
|
i=0 |
i=0 |
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
=
Для удобства формирования матрицы коэффициентов N и столбца свободных
→ |
= |
членов b введем матрицу Фэлементы которой определяются через значения независимой переменной xi, i=0,1,2,…,n
|
|
x0 |
2 |
|
|
1 |
x0 |
|
|||
= 1 |
x |
x2 |
|||
Ф = |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
x2 |
|
1 |
n |
|
|||
|
|
|
n |
|
5
тогда
= = T = 1 1 |
|
1 |
1 |
x |
|
x2 |
|
1 1 |
|
1 |
y0 |
|
||||||||||
|
|
|
0 |
02 |
|
→ = T → |
|
|
|
|||||||||||||
N =Ф |
Ф = x |
0 |
x |
|
x |
n |
|
1 x1 |
x1 |
|
b =Ф y |
= x |
0 |
x |
|
x |
n |
|
y1 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
x |
0 |
x1 |
xn |
|
|
x |
|
x2 |
|
|
x |
0 |
x1 |
xn |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
При аппроксимации полиномами высших порядков матрица Фбудет иметь вид
|
1 |
x0 |
x02 L x0m |
|
|
||
= |
1 |
x1 |
2 |
m |
гдеэлемент φ |
= x j, i =0,1,2,...,n, j =0,1,2,...,m |
|
Ф = |
x1 L |
x1 |
|||||
L |
L LL L |
ij |
i |
||||
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
n |
x2 L xm |
|
|
|||
|
|
|
n |
n |
|
|
=
В общем случае количество строк в матрицы Ф равно количеству точек, а количество столбцов равно количеству параметров, где строка состоит из значений
→
частных производных от функции f (x, a ) по соответствующему параметру.
Пример. Определить параметры зависимости вида: y = a0 +a1 x
используя метод наименьших квадратов, по следующим экспериментальным данным:
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
xi |
-1 |
0 |
1 |
2 |
yi |
2 |
1 |
2 |
4 |
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
||
= |
1 |
0 |
|
= |
T |
|
|
1 1 1 |
1 |
|
= |
1 |
1 1 1 |
1 |
0 |
|
4 |
2 |
||
Ф = |
1 |
|
Ф |
= |
|
|
|
N = |
|
|
|
1 |
|
= |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 0 1 |
2 |
|
|
−1 |
0 1 2 |
1 |
|
2 |
6 |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
1 |
1 1 |
1 |
1 |
9 |
|
4a |
0 |
2a1 |
= |
9 |
_ |
1.9 |
|
|
|||||
b |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
6a1 |
= |
8 |
a |
= |
|
|
|
|
|
−1 |
0 1 2 |
|
2 |
|
8 |
|
2a0 |
|
0.7 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1.9 +0.7 x |
|
R = 2.3 |
|
|
|
|
|
6
Пример. Определить параметры зависимости вида: y = a0 +a1 x2
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 1 1 |
|
|
|
4 |
6 |
||
= |
1 |
0 |
|
= |
T |
|
= |
|
= |
1 |
0 |
|||||||||||
Ф = |
|
|
|
Ф |
= |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 |
4 |
|
|
|
|
1 |
0 1 4 |
|
1 |
|
6 |
18 |
||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
9 |
|
4a |
|
6a |
|
|
= |
9 |
|
|
|
1.67 |
||
→ |
|
1 |
|
0 |
1 |
|
|
_ |
||||||||||||||
b = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
a = |
|
||||||
0 |
|
1 |
|
|
18a |
|
= |
20 |
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
4 |
2 |
20 |
6a |
0 |
1 |
|
|
|
0.72 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =1.67 + 0.72 x 2 |
|
R =0.06 |
|
|
|
|
|