Теория некоторых методов - 2003 / теория

Уравнения с одним неизвестным

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида

F(x)=0

Встречается в различных областях научных исследований (здесь F(x) – некоторая непрерывная функция). Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгеброические и трансцендетные. Алгеброическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгеброические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгброической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечногосоотношения (формулы).

Встречающиеся на практике уравнения не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. В случае систем линейных уравнений, алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: a) отыскании приближенного значения корня (начального приближения); б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности. В некоторых методах отыскивается не начальноеприближение, а некоторый отрезок, содеожащий корень.