Теория некоторых методов - 2003 / Теория погрешностей

Теория погрешностей.

Источники и классификация погрешностей результата.

Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно.

Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности:

1. Погрешность математической модели.

2. Погрешность в исходных данных.

3. Погрешность численного метода.

4. Погрешность округления или отбрасывания.

Погрешность математической модели определяется выбором модели.

Погрешность в исходных данных определяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получены.

Погрешность численного метода определяется точностью выбранного численно метода и вычислительного средства.

Абсолютной погрешностью приближенного значения а называется величина:

Относительной погрешностью приближенного значения а называется величина:

(а) =

так как точное значение а^*, как правило, неизвестно, чаще получают оценку погрешности вида:

Величины и (а) называют предельной абсолютной и относительной погрешностью соответственно. В вычислениях вместо абсолютной и относительной погрешностей используются предельные погрешности.

Приведем пример абсолютной погрешности:

Вычислим абсолютную и относительную погрешности приближенного числа ^*.

Приближенное число =3,1. более точное значение 3,14159

Абсолютная погрешность (предельная абсолютная погрешность)

. относительная погрешность (предельная относительная погрешность)

()=0.042/3.1=0.014

Значащие цифры.

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой. Например, в числах а = 0.04045, а = 0.0404500 значащими цифрами все цифры после запятой и нули, те в первом случае число значащих цифр равно 4, а во втором 6.

Значащую цифру называют верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре или верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Погрешности вычислений.

1. Абсолютная погрешность суммы или разности нескольких чисел не превосходит суммы абсолютных погрешностей этих чисел.

2) Относительная погрешность суммы (a+b)_max

3) Относительная погрешность разности , где

4) Относительная погрешность произведения и частного:

5. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных:

=(x₁, x₂, x_{3, …,} x_n )

Пример:

Для функции y=, определить y, y и (y), х₁=-1.5 х₂=1.0 х₃=2.0

Все цифры в данных верные для х₁ в широком смысле, а для х₂ и х₃ в узком смысле. Вычисляем значения функции.

Y= =1.625

Вычисляем погрешности:

(y)=0.242/1.625=0.149

Статистическая обработка результатов измерения одной величины.

Ошибки бывают систематическими, грубыми, случайными.

Ввиду их наличия точное значение измеряемой величины определить не удаётся. Поэтому при n повторных измерений одной и той же величины получают серию различных результатов и наиболее вероятной оценкой измеряемой величины будет являться среднее:

Для оценки качества измерений вводят понятие дисперсии:

,где f – число степеней свободы, f = n – 1.

Среднеквадратичным отклонением или стандартом называют величину:

.

Для определения, является ли измеренное значение грубой ошибкой, можно воспользоваться U критерием:

Если , то подозреваемое значение с вероятностью является грубой ошибкой. Грубая ошибка исключается из серии. Критерий - табличное значение при уровне значимости p = 1 - и числе степеней свободы f = n – 2.

В статистике доверительную ошибку вычисляют по формуле:

где - критерий Стьюдента.

Интервал, который с доверительной вероятностью накрывает точное значение определяется, значением и называется доверительным и определяется как:

.

Например:

Проведём отбраковку грубых измерений. Дана выборка объёмом n = 10, = 0,99

3. Расчёт U – критерия:

По табл. , причём f = n -2= 10 – 2 = 8

- грубое значение, исключаем его из выборки.

Дана новая выборка объёмом n= 9 , пока реши

ли ж

врв

3) Расчёт U-критерия

По табл. , причём f = n -2= 9 – 2 = 7

значение 10,82 было получено не при грубом измерении.

Среднее значение для полученной выборки n = 9 ,

Дисперсия

Стандарт

Дисперсия среднего Стандарт среднего

Построение доверительного интервала p = 0,01; f = n – 1 = 9 – 1 = 8

дать до осени, потому что у них на севере один раз в год только призыв (весной

33333333333333