Лекции Дудорова(Оптимизация.) / lection_dudarov / Лекция 9а

2

Лекция 9а

Решение систем дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений (СДУ) представляется в виде:

Иначе она может быть записана следующим образом:

или в векторной форме:

Так как сама по себе система дифференциальных уравнений имеет бесчисленное множество решений, для выделения конкретного решения необходимы дополнительные (начальные) условия. Если начальные условия для всех неизвестных заданы на одном конце интервала интегрирования, задача решения СДУ называется задачей Коши. Если начальные условия для различных неизвестных заданы в разных точках интервала интегрирования, данная задача называется краевой задачей.

Для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений используются те же методы, что и для решения одиночных дифференциальных уравнений. Например, для решения системы двух ДУ

(1)

могут быть использованы:

1) метод Эйлера с системой рекуррентных соотношений:

2) метод Рунге-Кутта 4-го порядка с системой рекуррентных соотношений:

где

Особенности решения краевой задачи

Для решения краевой задачи традиционными методами необходимо свести её к задаче Коши.

Предположим, дана система двух ДУ (1) с начальными условиями .

На первом этапе для второго уравнения системы происходит поиск начального условия в точке x₀, которое бы обеспечивало заданное значение в точке x^(k). Для этого задаётся начальное приближение значения функции y₂ в точке x⁽⁰⁾, которое итерационно корректируется в зависимости от величины и знака отклонения получаемого значения до достижения заданной точности.

На втором этапе решается задача Коши с имевшимся и найденным значениями .