Лекции Дудорова(Оптимизация.) / lection_dudarov / Лекция 4

6

Лекция 4

Методы решения уравнений с одним неизвестным

Уравнение вида f(x)=0 называется уравнением с одним неизвестным.

Всякое значение C, обращающее значение функции f(x) в ноль, т. е. f(C)=0, называется корнем уравнения.

Решить уравнение, значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Классификация методов решения уравнений

Графические методы:

1. Нахождение нулей функции;

2. Определение точек пересечения графиков функций.

Итерационные методы:

1. Метод половинного деления;

2. Метод простых итераций;

3. Метод хорд (пропорциональных частей);

4. Метод Ньютона (касательных);

5. Комбинированные методы и модификации.

Графические методы решения уравнений

Метод нахождения нулей функции рассмотрим на примере решения уравнения вида . Для данного уравнения построим функцию вида (рис. 1).

Рис. 1. График функции вида .

Для построения графика функции воспользуемся табл. 1.

Таблица 1

Расчёт точек для построения графика функции вида

x	lg(x)	1/x	f(x)
0,5	–0,30	2,00	–2,30
0,6	–0,22	1,67	–1,89
0,8	–0,10	1,25	–1,35
1,0	0	1,00	–1,00
1,5	0,18	0,67	–0,49
2,0	0,30	0,50	–0,20
3,0	0,48	0,33	0,14
5,0	0,70	0,20	0,5

Полученный график функции пересекается с осью абсцисс в точке x2,5. Именно это значение и является корнем уравнения.

Метод определения точек пересечения графиков функций рассмотрим на примере того же уравнения. Запишем его в виде . С использованием данных табл. 1 построим графики двух функций: и (рис. 2).

Рис. 2. Графики функций вида и .

Графики пересекаются в точке, абсцисса которой приближённо равна 2,5 (x2,5). Данное значение и есть корень решаемого уравнения.

Использование первого метода позволяет найти корень уравнения, построив лишь один график функции, тогда как для второго метода необходимо построить два графика, но более простых функциональных зависимостей.

Итерационные методы решения уравнений

Метод половинного деления.

Дано:

уравнение f(x)=0;

f(x) непрерывна на [a; b];

f(a)f(b)<0;

точность решения .

Найти:

x=C, при котором f(C)0.

Рис. 3. Иллюстрация работы метода половинного деления.

Алгоритм решения уравнения с одной неизвестной данным методом следующий:

1. делим отрезок [a_n–1; b_n–1] пополам и находим ;

2. если выполняется одно из условий или , заканчиваем расчёт, корень уравнения найден: ;

3. если выполняется условие , присваиваем , если выполняется условие , присваиваем ;

4. процедура повторяется с п. 1.

Число итераций (n) для данного метода зависит от заданной точности () и длины исходного отрезка [a; b] и не зависит от вида функции f(x):

Задание 1. Оценить число итераций, необходимое для решения уравнения методом половинного деления с точностью =0,01 на отрезке [–8,36; 12,2]. Ответ: 10 итераций.

При решении уравнений методом половинного деления необходимо учитывать следующие особенности:

1. при очень высокой заданной точности требуется большое количество итераций;

2. возможность существования двух и более корней на отрезке [a, b] в случае, если f(x) не монотонна на этом отрезке.

Задание 2. Методом деления отрезка пополам решить уравнение вида на интервале [–1; 7] с точностью 0,1.

Решение представлено в табл. 2:

Таблица 2

Решение уравнения методом половинного деления

a	b		f(a)	f(b)
–1	7	3	0,75	–1,25	–4,25	4
–1	3	1	0,75	–4,25	3,25	2
1	3	2	3,25	–4,25	0

Метод простых итераций.

Дано:

уравнение f(x)=0;

x₀ – начальное приближение корня уравнения;

 – точность решения.

Найти:

x=C, при котором f(C)0.

Алгоритм решения уравнения с одной неизвестной данным методом следующий:

1. исходное уравнение приводится к виду ;

2. строится последовательность приближений до тех пор, пока не будет выполнено условие

Для сходимости метода простых итераций необходимо выполнение следующего условия:

Достаточным условием сходимости метода является , выполняющееся в окрестности корня уравнения.

Задание 3. Методом простых итераций решить уравнение вида 2x–1=0 при начальном приближении x₀=1 с точностью =0,01.

2x–1=0

3x–x–1=0

3x=x+1

Таблица 3

Решение уравнения методом простых итераций

Итерация	x	(x)
1	1	0,67
2	0,67	0,56
3	0,56	0,52
4	0,52	0,51
5	0,51	0,50

Задание 4. Методом простых итераций решить уравнение вида с начальным приближением x₀=5 и точностью =0,01.

Метод хорд (пропорциональных частей).

Алгоритм решения уравнения с одной неизвестной данным методом следующий:

1. исходный отрезок [a_n–1; b_n–1] делится пропорционально значениям функции на его концах:

2. если выполняется одно из условий или , заканчиваем расчёт, корень уравнения найден: ;

3. если выполняется условие , присваиваем , если выполняется условие , присваиваем ;

4. процедура повторяется с п. 1.

Задание 5. Методом пропорциональных частей найти корень уравнения вида x³–0,2x²–0,2x–1,2=0 с точностью 0,01 на отрезке [1; 2].

Таблица 4

Решение уравнения методом пропорциональных частей

a	f(a)	hn	f(a+hn)
1	–0,600	0,097	–0,341
1,097	–0,341	0,052	–0,178
1,149	–0,178	0,026	–0,089
1,175	–0,089	0,013	–0,044
1,188	–0,044	0,006	–0,021

Таким образом, приближённое значение корня этого уравнения составляет 1,194.

Метод Ньютона (касательных).

Алгоритм работы метода Ньютона представлен на рис. 4.

Рис. 4. Иллюстрация работы метода Ньютона.

1. Из точки последнего приближения (x_n–1) делаем шаг h_n:

2. процедура с п. 1 повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие .

Сходимость данного метода зависит от сочетания таких двух факторов, как вид функции и выбранное начальное приближение.