Российский химико-технологический университет им. Д.И.Менделеева
Кафедра вычислительной математики
ОТЧЕТ
Методы Решения СЛАУ
Вариант 17
Выполнил: Павлов В.А. гр. И-24
Проверил: Епишкин А.П.
Москва 2006
Методы решения СЛАУ
-
Точные методы используют конечные алгоритмы. Их точность непредсказуема.
-
Метод с использованием обратной матрицы
; если - квадратная, совместная, определенная, то может существовать обратная матрица
т.к. , то
Метод полезен для многократного решения одного и того же СЛАУ с разными значениями свободных членов.
б) Метод Гаусса
Метод последовательного исключения неизвестных, состоящий из 2-х этапов:
прямого и обратного ходов
Во время первого этапа (прямой ход) метода Гаусса составляется расширенная матрица коэффициентов
; i =1, …, n
Алгоритм прямого хода состоит из R шагов. R=1,2,…, n-1. Каждый шаг – обнуление коэффициентов R-ого столбца, стоящих ниже элемента
, где i=R+1,…, n; j=R,…,n+1;
В итоге матрица представляет собой
Обратный ход
=>
Модификация методом Гаусса
На этапе прямого хода при делении на коэффициенты , которые называются ведущими, возможны ошибки при делении на малое число. Для уменьшения погрешностей рекомендуется в качестве ведущих коэффициентов использовать максимальные по модулю коэффициенты
Методы различают:
С частным выбором главного элемента С полным выбором главного элемента
Достоинство метода Гаусса – содержит минимальное количество операций.
2. Итерационные методы
Итерационные методы дают последовательность приближений к решению. Если метод сходится, то можно получить решения с заранее заданной точностью e.
Все итерационные методы дают последовательность приближений решений.
, где -какое-то начальное приближение
Если эта последовательность сходящаяся, то пределом этой последовательности является решение:
- условие окончания поиска решений
- решение с точностью
Метод простых итераций
Итерация – совокупность действий, которые позволяют из
приближения получить
- начальное приближение
- первая итерация
- вторая итерация
- R-ая итерация
- итерационная форма
-
Достаточное условие сходимости – проверка нормы матрицы
- достаточное условие сходимости, если одна из норм <1, то и все остальные <1
-
Выбор начального приближения(от него зависит количество итераций)
-
Итерация метода
-
Проверка условий окончания
Программа по методу Гаусса:
Sub slau()
Dim i, j, n, k As Byte, a(3, 4), b(3, 4), x(3), s, alf As Single
n = 3
For i = 1 To 3
For j = 1 To 4
a(i, j) = Cells(i + 1, j)
b(i, j) = a(i, j)
Next j
Next i
For k = 1 To 2
For i = k + 1 To n
For j = k To n + 1
alf = -a(i, k) / a(k, k)
b(i, j) = b(i, j) + alf * a(k, j)
Next j
Next i
For i = 1 To 3
For j = 1 To 4
a(i, j) = b(i, j)
Next j
Next i
Next k
s = 0
For i = 3 To 1 Step (-1)
x(i) = (a(i, 4) - s) / a(i, i)
s = s + a(i - 1, i) * x(i)
Cells(i + 1, 6) = "X" & i
Cells(i + 1, 7) = x(i)
Next i
End Sub