PDF / lecture_2

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

1

Лекция- 2

Теория погрешностей

Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных.

Источники и классификация погрешностей результата

Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно. Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности:

1.Погрешность математической модели.

2.Погрешность в исходных данных.

3.Погрешность численного метода.

4.Погрешность округления или отбрасывания.

Погрешность математической модели определяется выбором математической модели. Так для описания падения тела с высоты h0 и имеющего скорость v0 используются уравнения.

h=h0-v0*t-g*t2/2; v=v0+g*t. Если учитывать силу сопротивления F(t), действующую на тело массой m. Тогда движение можно описать с помощью уравнений: m*(dv/dt)= m*g - F; (dh/dt) = -v. при t=0, v = v0, h = h0.

Погрешность в исходных данных оределяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получины.

Погрешность численного метода определяется точностью выбронного численог метода и вычислительного средства. Sin(x) = x - x**3/3 + x**5/5 + x**7/7 + ....

Правила округления: Известны. Обратить внимание, что: если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями , то последняя оставшаяся цифра остается неизменной, если она четная ( правило четной цифры), и увеличивается на единицу, если она нечетная. При этом погрешность не превышает пяти единиц отброшенного разряда.

Пример: 6.71 - 6.7 ; 6.77 - 6.8 ; 6.75 - 6.8; 6.65 - 6.6

В ЭВМ происходит отбрасывание или усекание. В некоторых языках работают правила округления.

Особенности машинной арифметики

Вещественные числа в ЭВМ представляются в нормализованном виде. Это

экспоненциальный виде D = ±m b±n , где m - мантисса ,b-основание системы

счисления n – порядок. Мантиссу можно представить, как m = 0.d1 d2 d3 d4 .. .. .. dk , где d1#0, а к – определяет количество цифр в мантиссе и называют разрядной сеткой.

Для десятичной системы счисления D = ±m 10 ±n Примеры записи чисел при k=3:

5	0.500*101
172	0.172*103
0.8157	0.815*10-2
521.45	0.521*103

В последних двух примерах цифры, выходящие за разрядную сетку отброшены. При этом погрешность округления не превышает единицы последнего оставленного разряда.

Выполнение операций над вещественными числами начинается и заканчивается выравниванием порядков. Если порядки различны - погрешность возрастает и может привести к потере точности.

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

2

По возможности надо избегать работать с числами , порядки которых отличаются на величину, близкую к длине разрядной сетки, а также вычитания близких по значению величин Сложить слева направо и наоборот следующие числа

0.522 * 100,

0.157 * 10-1,

0.186 * 10-1,

0.239 * 10-1

0.522 * 100

+0.015 * 100

0.537 * 100

+0.018 * 100

0.555 * 100

+0.023 * 100

0.578 * 100

0.239 * 10-1 + 0.186 * 10-1

0.425 * 10-1

+0.157 * 10-1

0.582 * 10-1

0.058 * 100

+0.522 * 100

0.580 * 100

Абсолютная и относительная погрешности.

Пусть a - точное (и никогда неизвестное) значение некоторой величины, а a* - приближенное значение этой же величины.

Абсолютной погрешностью приближенного значения a* называется величина

∆(a*)= |a-a*|

Относительная погрешность a* вычисляется как δ(a) =		a −a				и иногда выражается в
			a

процентах.

Так как, точное значение a как правило неизвестно, чаще получают оценки

						a −a
погрешностей вида	a −a	≤ ∆(a ) ;							≤δ (a )
							a

Величины ∆(a ) и δ(a ) называют предельной абсолютной и относительной погрешностью

соответственно. В вычислениях вместо абсолютной и относительной погрешностей будем использовать предельные погрешности.

Пример: Вычислить абсолютную и относительную погрешность приближенного числа π .

Приближенное число π = 3.1. Более точное значение 3.14159…..

Абсолютная погрешность (предельная абсолютная погрегность) ∆(π ) > | 3.14159 – 3.1 |, ∆(π ) = 0.042. Относительная погрешность (предельная относительная погрещность)

δ(π ) = 0.042 / 3.1 = 0.014

Погрешности вычислений

1.Абсолютная погрешность суммы или разности нескольких чисел не превосходит суммы

абсолютных погрешностей этих чисел.

∆(a ± b) ≤ ∆(a) + ∆(b)

2. Относительная погрешность суммы	δ(a + b) ≤δmax
3. Относительная погрешность разности	δ(a − b) ≤νδmax где ν =			a + b
				a − b

(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

3

Необходимо заметить, что при вычитании близких чисел происходит катастрофическое падение точности.

4. Относительные погрешности произведения и частного

δ(a b) ≈δ(a) +δ(b)

δ(a / b) ≈δ(a) +δ(b)

5. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных u = f ( x1 , x2 ,K, xn)

∂ f

∆u ≤ ∑n

∆ xi

∂ xi

i=1

Пример:

y=x^2 ; x=1.00; ∆ x=0.01;

δx = 0.01

1. y=f(x);

dy

y=1.00;

∆y =

∆x =

2 x

∆x = 2 0.01 = 0.02

δy = 0.02

dx

δx = 0.01

2. y=f(x);

y=x^20 ; x=1.00; ∆ x=0.01;

dy

y=1.00;

∆y =

∆x =

20 x19

∆x = 20 0.01 = 0.2 δy = 0.2

dx

3. y=f(x1,x2) = x12+x1*x22-x1/x2;

x1=1.0;

x2= -2.0;

∆x

= ∆x

2

= 0.1

1

∂y

∆y = ∑2

∆xi

= | 2*x1+x22-1/x2|*∆x1+| 2*x1*x2+x1/x22|*∆x2=0.925

∂xi

i=1

y=5.5 δy=0.168

Обусловленность будем определять как отношене δ( y) / δ(x) . Так пример 1 хорошо обусловленδ( y) / δ(x) =2, а пример 2 прлохо δ( y) / δ(x) =20. Задачи с большим отношением δ( y) / δ(x) называют плохо обусловленными, иначе - хорошо обусловленными. Плохо

обусловленные задачи лучше не решать ,а подумать над другим способом представления модели , выбрать иной метод или изменить алгоритм . Часто это возможно.

3. Влияние способа записи формулы на точность результата.

Пример: Пусть требуется отыскать наитеньший корень уравнения y2-140y+1=0 Вычисления проводить с 4 разрядами

y = 70 −	4899 ,	4899 = 69.992956.... после округления = 69.99
y ≈ 70 −69.99 =0.01000
избавимся от иррациональность в числители
y = (70 −	4899 ) * (70 + 4899 ) =		1	=	1	=0.007142857..=0.007143
	(70 +	4899 )	70 −69.99		140