PDF / lecture_8

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич

1

Численное интегрирование.

Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x). Требуется определить

значение определенного интервала I = ∫b f (x)dx = F(b)-F(a), которое числено равно площади

a

S, фигуры ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления S, разобьем наш отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками x0=a, x1= a+h, x2=x1+h,…xi=xi-1+y,….,xn=b, где h =(b-a)/n – шаг разбиения.

Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi

					yi		yn
			y1	yi-1		yi+1
	y0			h		h
x0		x1		xi-1	xi	xi+1	xn
a							b

Тогда площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h.

S = s0+s1+s2+…si+…..+sn-1

Произвольную si площадь можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1]

xi +1

от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x), si = ∫ϕi (x)dx

xi

Вид функции φi(x) будут определять и название метода.

Методы прямоугольников.

Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1]. принимается константой Метод прямоугольников вперед

φi(x) = yi

значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi+1			n −1	n −1
si = ∫yidx = yi x xi			= yi (xi +1 − xi ) = yi h; S = ∑si = h ∑yi
	xi	+1	i =0	i =0
xi

Метод прямоугольников назад

φi(x) = yi+1

значения элементарной si и общей площади можно вычислить как:

xi +1			n−1	n−1
si = ∫yi+1dx = yi+1 x		xi	= yi+1 (xi − xi−1 ) = yi+1 h; S = ∑si = h ∑yi+1
		xi −1
xi			i=0	i=0

Метод прямоугольников в среднем.

Определим точку xi +12 = xi + 12 h и значение функции yi +12 в середине элементарного отрезка

[xi;xi+1].

Принимаем φi(x) = yi +1	.
	2

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич						2
xi+1	x xi			n −1	n −1
si = ∫yi +12dx = yi +12				= yi +12 (xi +1 − xi ) = yi +12 h; S = ∑si = h ∑yi +12
xi		xi	+1	i =0	i =0

Метод трапеций

Фукцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен

проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Ньютона, построенный по двум точкам xi и

	xi+1, φi(x) = Li(x) =	yi	( x − xi +1 )	+ yi +1	( x − xi )
			( xi − xi +1 )		( xi +1 − xi )

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi +1

xi +1

(x

− xi +1 )

xi +1

(x − xi )

si = ∫Li (x)dx = ∫

∫

yi

dx

+

yi +1

dx

(x

− x

)

(x

− x )

x

x

i

i

i +1

x

i

i +1

i

1

сделаем замену переменной

t =

x

− xi

x=xi

ti=0

x=xi+1

ti+1 = 1

h

x = xi + ht

dx=hdt

(x-xi) = ht

(x-xi+1) = ht −h = h(t −1)

1

h(t −1)

1

ht

1

1

1

t2

1

t2

1

∫yi

hdt + ∫yi +1

hdt = h(∫yi (1 −t)dt + ∫yi +1tdt) = h(yi (t

−

) + yi +1

) =

(−h)

(h)

0

2

2

0

0

0

0

0

0

si =

h( y (1

−

1

) + y

1

)

= h

yi + yi +1

i

2

i +1 2

2

а общая площадь на отрезке [a;b] будет равна

n −1

n −1

S = ∑si =

∑h ( yi + yi +1 ) = h

( y0 + y1 + y1 + y2 + y2 +... + yn −1 + yn −1 + yn ) =

i =0

i =0 2

2

y0 + y n

h

n−1

( y0 + 2 y1 + 2 y2

+ 2 y3

+.... + 2 yn−1

+ yn ) = h

(

+∑yi )

2

2

i=1

Метод Симпсона

1

Определим точку x

= x +

h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1]

и значение

2

i

+12

i

функции в этой течке yi +1

.

2

Функцию φi(x) будем определять как квадратичную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен

проходить через три смежные точки (xi,yi),(xi+1/2,yi+1/2) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трем

точкам xi, xi+1/2 и xi+1.

φi(x) = Li(x) =

y

(x − xi +1/ 2 )(x − xi +1)

+ y

(x − xi )(x − xi +1 )

+ y

(x − xi )(x

− xi +1/ 2 )

)

)

i (x

− x

)(x

− x

)

i +1/ 2

(x

− x )(x

− x

i +1 (x

− x )(x

− x

i

i +1/ 2

i

i +1

i +1/ 2

i i +1/ 2

i +1

i +1

i i +1

i +1/ 2

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

	xi+1			xi+1
si = ∫ϕi (x)dx =				∫Li (x)dx =
	xi			xi
xi+1		(x − xi +1/ 2 )(x − xi +1)
∫ ( yi							+ yi +1/ 2
		(x	− x	)(x	− x	)
xi		i	i +1/ 2	i	i +1

(x − xi )(x − xi +1)				+ yi +1	(x − xi )(x − xi +1/ 2 )				)dx
(x	− x )(x	− x	)		(x	− x )(x	− x	)
i +1/ 2	i i +1/ 2	i +1			i +1	i i +1	i +1/ 2

сделаем замену переменной t =	x − xi	x=xi ti=0 x=xi+1/2 ti+1/2=1/2 x=xi+1 ti+1 = 1
	h

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич																																																																3
x = xi + ht ; dx=hdt ; (x-xi) = ht ; (x-xi+1/2) = ht −																																																																1 h = h(t − 1 ) ; (x-xi+1) = ht −h = h(t −1)
																																																																2												2
										h(t −									1				)h(t −1)																																									hth(t −									1	)
			1																																							hth(t −1)
																				2																																																					2
si = ∫
					yi																													+ yi +1 / 2									h					h				+ yi +1																								hdt =
																(−				h			)(−h)																					)(−																				(h)(								h
			0																																					(									)																								)
																			2																								2					2																								2
								1																																														1
1				(t −								)(t −1)												)											t(t −1)							+ yi +1					t(t −											)		)hdt =
	( yi							2																			+ yi +1 / 2																													2
∫
									1																										(−			1												(		1
0								( 2 )																														4)														2 )
	1
h∫( yi (2t 2 −3t +1) − 4 yi +1 / 2 (t 2 −t) + yi +1 (2t 2 −t))dt =
	0
h ( y			(2			t3			−3							t 2				+t							) − 4 y									(		t3			−		t 2		) + y									(2				t3					−		t	2			) ) =
		i				3										2																	i +1/ 2					3					2							i +1								3						2
h ( y (					2		−		3				+1) − y																	4(			1		−	1			) + y						(	2		−			1		) ) = h( y															1			+ y						4	+ y	1	)
																																														3			2
	i				3 2																						i +1/ 2						3 2										i +1																						i 6								i +1/ 2 6					i +1 6
s =		h			(y +4y															+y									)
i	6						i								i+1/ 2												i+1
																		h
S = ∑n							si = ∑n															( yi−1 + 4 yi−1/ 2 + yi )
																		6
			i=1											i−1
S =			h		( y				0				+ 4 y												+ 2 y							+ 4 y					3 / 2				+ 2 y				2	+... + 2 y													n−1					+ 4 y							n−1/ 2				+ y		n	)
			6																1/ 2											1
примеры:
					f(x)=1/(1+x2)																														h=0,2																			(h/2)=																		0,1
																																								PRVP									PRNZ																PRSR												TRAP					SIMPS
													I						x													y								si=h*yi								si=h*yi+1																si=h*yi+1/2												si=h*(yi+yi+1)/2					si=(h/6)*(yi+4yi+1/2+yi+1)
													0						0													1								0,2								0,192308																0,19802												0,196153846						0,197397817
								1/2									0,1											0,990099
													1				0,2											0,961538										0,192308										0,172414																0,183486												0,182360743						0,183111073
						1+1/2											0,3											0,917431
													2				0,4											0,862069										0,172414										0,147059																		0,16										0,159736308						0,159912103
						2+1/2											0,5													0,8
													3				0,6											0,735294										0,147059										0,121951																0,134228												0,134505022						0,134320466
						3+1/2											0,7											0,671141
													4				0,8											0,609756										0,121951														0,1												0,110497												0,11097561						0,110656695
						4+1/2											0,9											0,552486
													5						1											0,5
																															S=							0,833732										0,733732																0,786231												0,783731528						0,785398153