PDF / lecture_7

(С) ИиКМ РХТУ март 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

1

Приближение функции.

Для заданных на отрезке значениях независимой переменной xi и соответствующих им значениях зависимой переменной yi, где i=0,1,2,…,n, определить аналитическую зависимость y = f (x) .

Основные этапы при приближение функции.

1.Выбор вида зависимости

2.Выбор критерия

3.Выбор узловых точек

4.Оценка точности

Интерполяция.

Пусть в n+1 точке x0, x1, x2, …., xn определены значения y0, y1, y2, …., yn. Требуется построить многочлен M(x) степени не выше n, который принимает в узловых точках заданные значения, т.е. M(x0)=y0, M(x1)=y1, M(x2)=y2, ……, M(xn)=yn. Интерполяция используется для замены реальной сложной функции более простой на небольшом интервале области определения функции, а также для вычислений промежуточных значений функции заданной таблично. Существует несколько методов.

Метод с использование многочлена Лагранжа.

Рассмотрим многочлен вида

li(x)=ci(x-x0)(x-x1)….. (x-xi-1)(x-xi+1)……. (x-xn-1)(x-xn) (1)

где i = 0,1,2,3,…….,n. Который только в точке xi принимает значение yi , а остальных равен

нулю. li (x j

y

i

при i = j

где j = 0,1,2,3,….,n. из этого условия можно определить ci

) =

при i ≠

j

0

li(xi)=ci(xi-x0)(xi-x1)….. (xi-xi-1)(xi-xi+1)……. (xi-xn-1)(xi-xn) = yi

сi =

yi

и тогда многочлен (1)

(xi − x0 )(xi − x1 )......(xi − xi−1 )(xi − xi+1 ).....(xi − xn−1 )(xi − xn )

примет вид

li (x) = yi

(x − x0 )(x − x1 )......(x − xi−1 )(x − xi+1 ).....(x − xn−1 )(x − xn )

(2)

(x

i

− x

0

)(x

i

− x )......(x

i

− x

i−1

)(x

i

− x

i+1

).....(x

i

− x

n−1

)(x

i

− x

n

)

1

А многочлен, который в n +1 узловой точке будет принимать заданные значения, можно представить как сумму многочленов вида (2).

n

n

(x − x0 )(x − x1 )......(x − xi−1 )(x − xi+1 ).....(x − xn−1 )(x − xn )

L(x) = ∑li (x) = ∑yi

(xi − x0 )(xi − x1 )......(xi − xi−1 )(xi

− xi+1 ).....(xi

− xn−1 )(xi − xn )

i=0

i=0

пример

i

xi

yi

0

1

1

1

2

2

l

(x) = y

(x − x1 )

=1

(x −2)

= 2 − x

l

(x) = y

(x − x0 )

= 2

(x −1)

= 2x −2

(2 −1)

0

0 (x

0

− x )

(1−2)

1

1 (x − x

0

)

1

1

L(x)=2 – x + 2x – 2 = x

i

xi

yi

0

-1

1

1

0

0

2

1

1

(С) ИиКМ РХТУ март 2004г. Калинкин Владимир Николаевич																				2
l		(x) = y		(x − x1 )(x − x2 )								=1	(x −0)(x −1)	=	1	x2	−	1	x
	0		0 (x		0	− x	)(x	0	− x	2	)		(−1 −0)(−1 −1)		2			2
						1

l1 (x) = y1

l2 (x) = y2

L(x)=x2

	(x − x0 )(x − x2 )												= 0	(x +1)(x −1)			= 0
(x			− x	0	)(x		− x		2	)					(0 +1)(0 −1)
1						1
	(x − x0 )(x − x1 )												=1		(x +1)(x −0)		=	1	x2	+	1	x
	(x	2	− x		0	)(x	2	− x			)				(1 +1)(1 −0)			2			2
									1

Аппроксимация.

Пусть в результате эксперимента для заданных значений независимой переменной x – x0, x1, x2 ,…..,xn были определены значения зависимой переменной y- y0, y1, y2 ,…..,yn. Требуется отыскать аналитическую зависимость между x и y в виде некоторой функции f(x), которая наилучшим образом (в смысле какого либо критерия рассогласования)

описывала эти экспериментальные данные. Чаще используют квадратичный критерий

рассогласования R = ∑n ( yiэ − yiр )2 . Функцию f(x) определим как линейную, т.е.

i =0

y=f(x)=a0+a1*x. Коэффициенты a0 и a1 будем называть параметрами. Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования

R = ∑n ( yiэ −(a0 + a1 xi ))2 имел бы минимальное значение. Критерий рассогласования R

i=0

является функцией двух переменных a0 и a1 т.е. R=R(a0,a1). Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных – это равенство 0 частных производных по параметрам.

∂R		э		∂R	э
		n			n
		= 2 ∑( yi	−(a0 + a1 xi )) (−1) = 0 и		= 2 ∑( yi −(a0 + a1 xi )) (−xi ) = 0
∂a	0			∂a
		i =0	1		i =0

Получаем систему уравнений для определения параметров.

∑n	( yiэ − (a0 +a1xi ) ) = 0
i =0
n
∑( yiэ −(a0 + a1xi )) xi = 0
i =0
∑n	a0 + ∑n	a1xi = ∑n	yiэ
i =0	i =0	i =0
n	n		n
∑a0 x −∑a1 xiэ =			∑yiэ
i =0	i =0		i =0

∑n	yiэ − ∑n			a0 − ∑n		a1 xi = 0
i =0		i =0			i =0
n			n			n
∑yiэxi −∑a0 xi −∑a1 xi2 = 0
i =0		i =0				i =0
	=				a			b
	N
∑n	1	∑n	xi		a0		∑n	yi
in=0		in=0		2	a	=	ni =0
∑xi		∑xi			1		∑yi xi
i =0		i =0					i =0

(С) ИиКМ РХТУ март 2004г. Калинкин Владимир Николаевич												3
				1	x
						1
= = Т =	= Т →	=		1	x2			= → → →			= −1 →
N =Ф Ф а	b =Ф y ,	где Ф =			x3			N a		= b a = N b
				1
					.
				.
				1	x	n
		i		x		y(эксп)				y( расч.инт)	y( расч.аппр)
				i			i			i	i
		0		1			1,5			1,5	1,214
		1		2			1,5			1,5	2,129
		2		3			3,5			3,5	3,043
		3		4			3,5			3,5	3,957
		4		5			5,5			5,5	4,871
		5		6			5,5			5,5	5,786

6,5

6

5,5

5

4,5

4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

	=
	Ф
1		1
1		2
1		3
1		4
1		5
1		6

= T

Ф

1		1	1	1		1	1
1		2	3	4		5	6
=			→		= −1		→
N			b	N			a
6		21	21	0,867		-0,2	0,3
21		91	89,5	-0,2		0,057	0,914