PDF / lecture_6_1
.pdf(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
1 |
Лекция –6
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
В общем виде СЛАУ можно записать в следующем виде
a11 x1 + |
a12 x2 |
+ ....... |
+ a1m xm = |
b1 |
|
|
|
|
||||
.a21 x1 + |
a22 x2 |
+ ....... |
+ a2m xm = |
b2 |
|
|
|
|
||||
......... .......... ....... ........... |
|
.... |
|
|
|
|
||||||
an1 x1 + |
an2 x2 |
+ ....... |
+ anm xm |
= |
bn |
|
|
|
|
|||
Совокупность коэффициентов этой системы aij можно представить в виде матрицы. |
||||||||||||
= |
a |
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
1m |
|
|
|
|
|
||
A = [A] |
= a21 |
a22 |
a23 |
|
|
a2m |
, где . i=1,2,3,…,n; |
j=1,2,3,….,m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
an3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
anm |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
→ |
1 |
|
|
совокупность xj в виде вектора столбца неизвестных X |
= x |
= x2 |
|
, j=1,2,3,…,m , а совокупность |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
|
|
|
b |
|
|
_ → |
1 |
|
|
bi в виде и вектора столбца свободных членов (правых частей) B =b |
= b2 |
|
, i=1,2,3,…,n |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
bn |
|
|
Используя выше приведенные определения запишем СЛАУ в матричном виде.
= _ _ |
= → |
→ |
|
|
|
A X = B или A x |
= b |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
* |
|
|
|
|
_ |
→ * |
|
|
|
Решить СЛАУ значить найти такие значения вектора X * = x* = x 2 |
|
при подстановки которого |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
x*m |
|
в систему обращает каждое уравнение этой системы в тождество. Классификация СЛАУ
1.Если число уравнений больше чем число неизвестных, т.е. n>m СЛАУ называется переобусловленой
2.Если число уравнений меньше чем число неизвестных, т.е. n<m СЛАУ называется недообусловленой
3.Если число уравнений равно числу неизвестных т.е. n=m СЛАУ называется нормальной
→→
4.Если вектор свободных членов равен нулю b = 0 . СЛАУ называется однородной
→→
5.Если вектор свободных членов не равен нулю b ≠ 0 . СЛАУ называется неоднородной
6.Если система, имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система не имеющая решений, называется несовместной.
7.Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая бесчисленное множество решений, называется неопределенной.
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
2 |
→ →
Очевидно, что однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно решение x = 0 , которое называется тривиальным примеры графической интерпретации:
2x1 + x2 = 3 |
x2 = 3 -2x1 |
система совместная и определенная. |
|||
2x1+ 2x2 = 4 x2 = 2 - x1 |
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
-1 |
|
|
|
|
2x1 + x2 = 3 |
x2 = 3 - 2x1 |
|
система совместная и неопределенная. |
||
4x1+ 2x2 = 6 x2 = 3 - 2x1 |
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
-1 |
|
|
|
|
2x1 + x2 = 3 |
x2 = 3 - 2x1 |
|
система несовместная. |
||
4x1+ 2x2 = 4 x2 = 2 - 2x1 |
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
-1 |
|
|
|
|
Методы решения СЛАУ Все методы решения систем линейных алгебраических можно разделить на две группы: точные и итерационные.
Точные методы позволяют получить решение путем выполнения определенного и точного количества арифметических операций. При этом погрешность решения определяется лишь точностью представления исходных данных и точностью вычислительных операций.
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
3 |
Итерационные методы дают некоторую последовательность приближений к решению. Пределом этой последовательности является решение системы, которое возможно определить лишь с некоторой, как правило, заданной степенью точности ε. Количество итераций, для достижения требуемой точности решения, определяется величиной ε, выбором начального приближения и видом системы.
Точные методы
Метод обратной матрицы.
= → → |
= |
= → |
= |
|
→ |
= → |
= |
→ |
→ |
|
= |
→ |
|
|
||||||
A x |
= b A−1 |
A x = A−1 |
b E x = A−1 |
b x* = A−1 |
b |
|
|
|||||||||||||
|
= |
|
→ |
|
2.00 |
1.00 |
|
1.00 |
|
4.00 |
= |
|
0.50 |
0.20 |
−0.10 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
|
b |
= |
1.00 |
−1.50 |
|
−0.50 |
−1.00 |
A−1 |
= |
0.50 |
−0.60 |
−0.20 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.00 |
|
4.00 |
|
|
|
|
|
|
0.20 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2.00 |
|
|
8.00 |
|
−0.50 |
0.40 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−0.10 |
|
|
|
|
|||||||||
→ |
|
|
0.50 |
0.20 |
|
|
|
4.00 |
1.00 |
|
|
|
|
|||||||
x |
* |
|
|
0.50 |
−0.60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−0.20 |
* −1.00 |
= 1.00 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0.20 |
|
|
0.40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0.50 |
|
|
|
|
|
8.00 |
1.00 |
|
|
|
|
Метод Гаусса
= → |
→ |
Требуется решить систему n линейных уравнений с n неизвестными. A b |
= x |
Метод Гаусса состоит из двух этапов.
Первый этап (прямой ход) заключается в последовательном исключение неизвестных из уравнений, и состоит из n-1 шага.
На первом шаге, с помощью первого уравнения, исключается x1 из всех последующих уравнений начиная со второго, на втором с помощью второго уравнения исключается x2 из последующих начиная с третьего и так далее. Последним исключается xn-1 из последнего n-ого уравнения так, что последнее уравнение будет содержать только одно неизвестное xn. Это равносильно приведению матрицы коэффициентов к треугольному виду. Строка, с помощью которой исключаются неизвестные, называется ведущей строкой, а диагональный элемент в этой строке - ведущим элементом.
a11 |
* x1 |
+ |
a12 * x2 |
+ |
a13 |
* x3 |
+ .... |
+ |
a1n * xn |
= b1 |
|
|
||||||||||
a |
21 |
* x |
+ |
a |
22 |
* x |
2 |
+ |
a |
23 |
* x |
3 |
+ .... |
+ |
a |
2n |
* x |
n |
= b |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
* x1 |
+ |
a32 |
* x2 |
+ |
a33 |
* x3 |
+ .... |
+ |
a3n * xn |
= b3 |
|
B |
||||||||
a31 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
.... |
|
|
|
.... |
|
|
|
.... |
.... |
|
|
|
.... |
|
|
|
|
|
||
a |
n1 |
* x |
+ |
a |
n2 |
* x |
2 |
+ |
a |
n3 |
* x |
3 |
+ .... |
+ |
a |
nn |
* x |
n |
= b |
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
* x |
+ |
a |
* x |
|
+ |
a |
* x |
|
|
+ |
........ |
+ |
a |
|
* x |
|
|
= b |
|
||
|
11 |
1 |
+ |
12 |
(1) |
|
2 |
+ |
13 |
(1) |
3 |
|
+ |
........ |
+ |
1n |
(1) |
n |
|
1 |
(1) |
||
|
|
0 |
a22 |
|
* x2 |
a23 |
* x3 |
a2n |
* xn |
|
= b2 |
|
|||||||||||
|
|
0 |
+ |
0 |
|
|
+ |
a33 |
* x3 |
(2) |
+ |
........ |
+ |
a3n (2) * xn |
|
= b3 |
(2) |
||||||
........... |
|
............ |
|
............... |
|
........ .................................. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ |
0 |
|
|
+ |
0 |
|
|
+ |
........ |
+ |
a |
nn |
(n−1) * x |
n |
= b |
(n−1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
..
Второй этап (обратный ход) состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных и состоит из n шагов. Решая последнее уравнение, находим единственное неизвестное xn. Далее используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляем xn-1 и так далее. Последним найдем x1 из первого уравнения.
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
4 |
|||||||||||||||||||
Алгоритм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
||
Строим расширенную матрицу С размерностью n на n+1, приписав, справа к матрицы A |
||||||||||||||||||||
|
|
|
→ |
|
= |
|
= |
|
→ |
т.е. ci,j=ai,j , ci,n+1=bi , где i=1,2,3,…,n |
j=1,2,3,…,n |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
вектор b . С |
= A |
|
b |
||||||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
c |
|
c |
.... |
c |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
13 |
|
1n |
|
|
|
1,n+1 |
|
|
|
|
= |
= |
|
→ |
c21 |
c22 |
|
c23 |
.... |
c2n |
|
|
c2,n+1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
c31 |
c32 |
|
c33 |
.... |
c3n |
|
|
c3,n+1 |
|
. Задаем номер ведущей строки k = 1 |
|||||||||
С = A |
|
b = |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
.... .... |
.... .... .... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
c |
|
c |
|
|
c |
|
.... |
c |
|
|
|
c |
n,n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
n3 |
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Преобразуем все строки, расположенные ниже k-ой так, чтобы элементы cik=0, для этого вычисляем множитель β=-сi,k/ck,k и каждую i-ую строку заменяем суммой i–ой и k-ой
умноженной на β,т.е. ci,j=ci,j+β*ck,j |
где i = k+1,k+2,k+3,….,n и j = k,k+1,k+2,…,n+1 |
3.Проверяем k = n-1 если нет то выбираем новую ведущую строку k=k+1 и переходим на пункт 2, иначе выполняем пункт 4.
4.Обратный ход. из последнего n-ого уравнения определяем последнее n-ое неизвестное.
xn=cn,n+1/cn,n
5.Последовательно, из предыдущих уравнений начиная с i=n-1, вычисляем соответствующие неизвестные xi. Последним, определяется первое неизвестное из первого уравнение.
|
|
|
|
|
|
(ci,n−1 − ∑n |
ci, j * x j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xi |
= |
|
|
|
j=i+1 |
|
i = n-1, n-2, n-3,…,1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ci,i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
начало |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ввод n,[A],[B] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn=cn,n+1/cn,n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=n-1 шаг -1 до 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
формирование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы [C] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 шаг 1 до n-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s:=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[X] |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i= k+1 шаг 1 до n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi=(ci,n+1-s)/cii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конец |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
β:=-cik/ckk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
j=k шаг 1 до n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=i+1 шаг 1 до n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cij=cij+β*ckj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s:=s+ail*blj |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
5 |
Option Explicit
Option Base 1
Sub Gauss()
Dim n%, c!(), x!()
Dim i%, j%, k%, bet!, s!
n = Cells(1, 1): ReDim c(n, n + 1), x(n)
For i = 1 To n: For j = 1 To n + 1: c(i, j) = Cells(i + 1, j): Next j: Next i For k = 1 To n - 1
For i = k + 1 To n
bet = -c(i, k) / c(k, k) For j = k To n + 1
c(i, j) = c(i, j) + bet * c(k, j) Next j
Next i Next k
x(n) = c(n, n + 1) / c(n, n) For i = n - 1 To 1 Step -1
s = 0
For j = i + 1 To n
s = s + c(i, j) * x(j) Next j
x(i) = (c(i, n + 1) - s) / c(i, i) Next i
For j = 1 To n: Cells(n + 3, j) = x(j): Next j End Sub
Пример:
2 |
1 |
1 |
4 |
k=1 i=2,3 |
2 |
1 |
1 |
4 |
k=2 |
i=3 |
2 |
1 |
1 |
4 |
1 |
-1.5 |
-0.5 |
-1 |
-0.5 |
0 |
-2 |
-1 |
-3 |
|
|
0 |
-2 |
-1 |
-3 |
2 |
2 |
4 |
8 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
4 |
+0.5 |
|
0 |
0 |
2.5 |
2.5 |
|
x3= 1 |
|
x2= 1 |
|
x1= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Реально вычисления проводятся на ЭВМ с ограниченной разрядной сеткой, поэтому точность решения определяется суммарной погрешностью округления на промежуточных шагах вычисления. Погрешность результата, в основном, определяется значением ведущего элемента на каждом шаге прямого и обратного хода. Решить СЛАУ с учетом 4-х значащих цифр.
|
|
→ |
−1 |
|
||||
|
Точное решение x |
= |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
-1.000*10-2 6.000*100 |
|
6.010*100 |
|
β=-2.500*100/(-1.000*10-2)= 2.500*102 |
|||
|
|
|
||||||
|
2.500*100 |
5.000*100 |
|
2.500*100 |
|
|
|
|
|
c22=c22 + β*c12 |
|
|
|
|
|
0.005*103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
c22=5.000*100 + 2.500*102*6.000*100=5.000*100 + 1.500*103; |
1.500 *103 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−−−−−−−−− |
|
c23=c23 + β*c13 |
|
|
|
|
|
1.505*103 |
|
|
|
|
|
|
|
0.002 *103 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
c23=2.500*100 + 2.500*102*6.010*100=2.500*100 +1.5025*103 |
1.502 *103 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−−−−−−−−− |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.504 *103 |
|
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
6 |
|||||
|
-1.000*10-2 |
6.000*100 |
|
6.010*100 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
1.505*103 |
|
1.504*103 |
|
|
|
1.505*103*X2=1.504*103; X2=9.9933*10-1; ; X2=9.993*10-1 X1=(6.010*100-6.000*100*9.993*10-1)/(-1.000*102)=(6.010*100-5.9958*100)/(-1.000*10-2)= (6.010*100-5.995*100)/(-1.000*10-2)=1.5*10-2/(-1.000*10-2)=-1.5*100
|
|
|
|
→ |
= |
|
|
0 |
|
не является точным. |
|
|
Полученное решение системы x |
−1.500 *10 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
9.993*10−1 |
|
|
|
||
|
Переставим уравнения местами. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
β=-(-1.000*10-2/(2.500*100)= 4.000*10-3 |
||||||||
|
2.500*100 |
5.000*100 |
|
2.500*100 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
-1.000*10-2 |
6.000*100 |
|
6.010*100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.000 *100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
c22=6.000*100 + 4.000*10-3*5.000*100=6.000*100+2.000*10-2; |
0.020 *100 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−−−−−−−−− |
|
c23=c23 + β*c13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.020 *100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.010 *100 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
c23=6.010*100 + 4.000*10-3 2.500*100=6.010*100 + 1.000*10-2; |
0.010 *100 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−−−−−−−−− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.020 *100 |
|
2.500*100 |
5.000*100 |
|
2.500*100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0.000*100 |
6.020*100 |
|
6.020*100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.020*100*X2=6.020*100; X2=1.000*100; |
|
|
|
|
||||||
|
X1=(2.500*100-5.000*100*1.000*100)/ 2.500*100 = -1.000*100 |
|
|||||||||
|
|
|
|
→ |
= |
|
|
0 |
|
является точным. |
|
|
Полученное решение системы x |
−1.000 *10 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.000 *100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведенный пример показывает, что на каждом шаге преобразования следует подбирать ведущий элемент ckk. Для этого используются модификации метода Гаусса. В модификации с частичным выбором на k-ом шаге прямого хода в качестве ведущего выбирается наибольший по модулю элемент из неприведенной части k-ого столбца, т.е. ckk=maxi|cik|, i=k,k+1,k+2,…,n
И строка, содержащая этот элемент, переставляется с k-ой строкой расширенной матрицы. При полном выборе в качестве ведущего элемента выбирается максимальный по модулю элемент из всей неприведенной части матрицы коэффициентов системы, ckk=maxij|cij|, i,j=k,k+1,k+2,…,n Для этого осуществляется необходимая перестановка как строк, так и столбцов в расширенной матрице коэффициентов. При этом следует помнить, что перестановка столбцов равносильна переименованию неизвестных.
Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.
Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы и свободных членов или погрешность округления при расчетах могут сильно исказить решение.
|
|
|
|
|
= → |
→ |
|
|
|
→ |
|
Исходную систему уравнений A* x |
= b с учетом погрешности в векторе b можно записать в виде. |
||||||||||
= → |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
→ |
A* x* = b |
+ ∆b , где x* = x |
+ ∆ x - получаемое решение, отличающееся от точного x на величину |
|||||||||
|
|
→ |
|
→ |
|
= → → |
→ |
→ |
= → → |
= → |
→ |
ошибки ∆ x . Заменив x* получим A * ( x ∆ x ) = |
b + ∆ |
b |
или A* x −b |
+ A∆ x |
= ∆b и тогда |
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
||||||||||||
= → |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
= |
→ |
A∆ x |
= ∆b отсюда можно выразить абсолютную погрешность решения ∆ x |
= A−1 ∆b норма этой |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
= |
|
→ |
|
|
→ |
= |
|
→ |
|
погрешности определяется соотношением || ∆ x || =|| A−1 ∆b || или || ∆ x || ≤|| |
A−1 |
|| * || ∆b || |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
= |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|| ∆ x |
|| |
|
|
|| A |
−1 |
|| * || |
∆b |
|| |
|
|
|
= → → |
|||||
Определим относительную погрешность |
≤ |
|
|
из исходной системы A* x = b |
|||||||||||||||||
|| |
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x || |
|
|
|
|
|
|
|| x || |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
→ |
→ |
|
|
1 |
|
|
|
|| |
A || |
|
|
|
|
|
|
|
|||
получим || A || * || x ||≥|| b || далее определим |
|
|
=≤ |
и подставим в определение |
|||||||||||||||||
|
→ |
|
|
→ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|| x || |
|
|| |
b || |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
относительной погрешности получим |
|| ∆ x || |
→ |
|
|
|| x || |
= |
|
→ |
|
|
= |
|| ∆b || |
|
||
≤|| A |
−1 |
|| * || A || * |
. |
|
|
→ |
|| b ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= |
= |
|
|
|
|
Вводим понятие числа обусловленности Коб.=Cond( A )=|| A−1 |
|| * || A || и тогда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| ∆ x || |
≤ Kоб * |
|| ∆b || |
следует иметь ввиду, что мы определяем предельную относительную |
|||||||||||||||||||||||||||
|
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|| x || |
|
|
|
|
|
|
|| b || |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
погрешность, реальная может быть и меньше. Пример. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Определить обусловленность систем уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
− x |
|
+ |
2x |
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
− x |
+ |
|
2x |
2 |
=1 |
|
→ |
0.1 |
|
→ |
|
|||||||
1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
при ∆b = 0.0 , |
|| ∆b || =0.1 |
|||||||||||
2x |
|
− |
x |
2 |
|
=1 |
|
|
−10x |
+ 21x |
2 |
=11 |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
без учета погрешности точное решение одно и тоже для обеих систем |
→ |
1.00 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
−1 |
2 |
|
→ |
1 |
= |
|
= |
0.33 |
0.67 |
|
|
|
|
|
|||||
для 1-ой системы A = |
|
|
|
, b = |
, A−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0.67 |
0.33 |
|
|
|
|
|
||||
= |
(−1)2 + 22 + 22 |
+(−1)2 |
= 3.16 , |
|
|
|
= |
|
|
cond=3.33 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|| A ||= |
|
|
|| A−1 ||=1.05 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
→ |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|||
|| b ||= |
1 |
+1 |
=1.41, |
|| δ b ||= |
|
|
= 0.071, |
|
тогда|| δ x ||= 3.33* 0.071 |
= 0.24 |
|
||||||||||||||||||||
1.41 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
−1 2 |
|
→ |
= |
1 |
|
= |
−21 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
для 2-ой системы A = |
|
|
|
|
, b |
|
, A−1 |
= |
−10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 |
21 |
|
|
|
11 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
= |
(−1)2 + 22 +(−10)2 |
+ 212 |
|
= 23.37 , |
|
|
= |
|
|
cond=546.0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|| A ||= |
|
|
|| A−1 ||= 23.37 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
→ |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
||||
|| b ||= |
1 |
+11 |
|
|
|
=11.05 , |
|| δ b ||= |
|
|
= 0.0091, |
тогда|| δ x ||= 546 * 0.0091 = 4.94 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
11.05 |