PDF / lecture_3
.pdf(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
1 |
Лекция -3
Ошибки измерений Обработка результатов измерения одной величины.
Измерения, проводимые в опытах эксперимента, сопровождаются ошибками, ввиду конечной точности приборов и не идеальности условий эксперимента. Ошибки делятся на три типа.
1)Систематические
2)Грубые
3)Случайные
Ввиду наличия ошибок, точное значение измеряемой величина a установить не удается. Поэтому при n повторных измерений одной и той же величины a получают серию различных результатов x1, x2, x3, x4, . . ., xn и наиболее
вероятной оценкой измеряемой величины a будет являться среднее значение результатов серии.
|
|
x |
+ x |
|
+ x |
|
+.... + x |
|
|
∑n |
xi |
x = |
2 |
3 |
n |
= |
|
||||||
1 |
|
|
|
i=1 |
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена точного значения измеряемой величины a значением x влечёт ошибку, значение которой точно указать нельзя, а можно определить приближенно с необходимой доверительной вероятностью β. И нам надо определить величину
εβ в неравенстве a − x ≤εβ
Очевидно, εβ будет тем больше, чем с больше вероятностью β мы будем её
определять, чем грубее был проведен эксперимент и чем меньше n (количество опытов в серии измерений).
Для оценки качества измерений, вводят понятие дисперсии, которая вычисляется по формуле:
∑n (xi − x )
sx2 = |
i=1 |
|
, где f число степеней свободы f = n-1 |
|
f |
||
|
|
|
Среднеквадратичным отклонением или стандартом называют величину равную
2
sx = sx В статистике доверительную ошибку вычисляют по формуле:
εβ |
= t f , p |
s2 |
, где р =1-β уровень значимости f = n-1 |
||||
x |
|||||||
t f , p |
|
n |
|
|
|
|
|
- Критерий Стьюдента |
|
|
|
||||
|
|
f/p |
0.10 |
0.05 |
0.01 |
|
|
|
|
|
2 |
2.92 |
4.30 |
9.92 |
|
|
|
|
3 |
2.35 |
3.18 |
5.84 |
|
|
|
|
4 |
2.13 |
2.78 |
4.60 |
|
|
|
|
5 |
2.01 |
2.57 |
4.03 |
|
|
|
|
6 |
1.94 |
2.45 |
3.78 |
|
|
|
|
7 |
1.89 |
2.36 |
3.50 |
|
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
2 |
пример зависимость εβ |
от β и от n |
|
|
|
|
|
|
n=3 xi = 47.12; |
47.08; |
47.13 |
|
= 47.11 |
sx2 = 0.0007 |
||
x |
|||||||
β=0.95 p=0.05 |
t2, 0.05 = 4.30 |
|
εβ |
= 4.30* 0.0153=0.066 |
|||
β=0.90 p=0.10 |
t2, 0.1 = 2.92 |
|
εβ |
= 2.92* 0.0153=0.045 |
|||
добавим еще два опыта 47.09 и 47.13 |
|
|
|
=47.11 |
sx2 = 0.00055 |
||
|
|
x |
|||||
β=0.95 p=0.05 |
t4, 0.05 = 4.30 |
|
εβ |
= 2.78* 0.0105=0.029 |
|||
β=0.90 p=0.10 |
t4, 0.1 = 2.92 |
|
εβ |
= 2.13* 0.0105=0.022 |
Mожно сказать, что интервал который с доверительной вероятностью β накрывает точное значение a определяется, значением εβ и называется доверительным и определяется как:
x - εβ < a < x + εβ
так, для предыдущего примера, при n=5 и β=0.90 доверительный интервал можно записать как: 47.11-0.022 < a <47.11+0.022 т.е. 47.088a<47.132
Грубые ошибки
Для определения, является ли измеренное значение грубой ошибкой можно воспользоваться U критерием.
U расч. = |
|
xпод − |
x |
|
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sx2 |
n −1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где xпод - минимальное или максимальное значение из серии. |
|||||||||||
Из таблицы по заданным : p– уровню значимости f – числа степеней свободы |
|||||||||||
Определяют Uтаб. Если Uрасч > Uтаб , подозреваемое значение вероятностью β, |
|||||||||||
является грубой ошибкой. Грубая ошибка исключается из серии. |
|||||||||||
|
Uf,p |
f = n-2; |
p = 1-β |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
f\p |
0.05 |
0.01 |
|
|||||||
|
1 |
|
1.412 |
1.414 |
|
||||||
|
2 |
|
1.689 |
1.723 |
|
||||||
|
3 |
|
1.869 |
1.955 |
|
||||||
|
4 |
|
1.996 |
2.130 |
|
||||||
|
5 |
|
2.093 |
2.265 |
|
||||||
|
6 |
|
2.172 |
2.374 |
|
||||||
|
7 |
|
2.237 |
2.464 |
|
Пример: p = 0.05 β = 0.95 n = 6 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
i |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
xi |
|
6.28 |
|
6.47 |
|
6.54 |
7.02 |
6.45 |
6.40 |
|
|
|
= 39.16/6 = 6.527 |
S2x = 0.0659 |
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
||||||||
Uтаб |
для f = 6-2 = 4 |
p = 0.05 имеет значение 1.996 |
|
|
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Под. значение = 6.28 |
|
U расч. |
= |
|
|
|
|
|
6.28 −6.527 |
|
|
|
|
= 1.053 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0.0659 |
6 − |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
не является грубой ошибкой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Под. значение. = 7.02 |
|
U расч. |
= |
|
|
|
|
|
|
7.02 −6.527 |
|
|
|
|
|
|
|
= 2.105 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0.0659 |
6 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
является грубой ошибкой и удаляется из серии |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|||||||||
|
|
xi |
|
|
6.28 |
|
6.47 |
|
6.54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.45 |
|
6.40 |
|
||||||||||||||||||
_ |
|
|
|
|
S2x = 0.0094 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x = 32.14 / 5 = 6.428 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Uтаб для f = 5-2 = 3 |
p = 0.05 имеет значение 1.869 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Под.знач = |
6.28 U расч. = |
|
|
|
6.28 −6.428 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1.709 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0.0659 |
|
5 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Не является грубой ошибкой |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Под. Знач. = 6.54 |
U расч. = |
|
|
|
|
6.54 −6.428 |
|
|
|
|
= 1.294 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0.0659 |
5 −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Не является грубой ошибкой |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
для последней серии строим доверительный интервал |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tтаб0.05, 4 = 2.78 |
εβ = 2.78 |
0.0094 |
|
= 0.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.308 < a < 6.548
Сравнение двух серий измерений Одна и та же величина может измеряться несколькими сериями. Это
необходимо при сравнении надежности прибора, методики эксперимента. Сравнивать можно серии у которых дисперсии однородны.
1. Проверяем однородность двух дисперсий используя критерий Фишера
|
|
S 2 |
|
|
|
F |
= |
x(больш) |
. Если F |
< F |
, то дисперсии однородны. F(табл) |
|
|||||
( расч) |
|
|
( расч) |
(табл) |
|
|
|
S x2( меньош) |
|
|
является функцией P –уровня значимости, f(больш) - число степеней свободы большей дисперсии и f(ментш) - число степеней свободы меньшей дисперсии.
2. Вычисляем общую дисперсию по формуле
|
S 2 |
f |
(перв) |
+ S 2 |
f |
(втор) |
S x2(общ) = |
x(перв) |
|
x(втор) |
|
||
|
f(перв) + f(втор) |
|
|
|||
|
|
|
|
(С) ИиКМ РХТУ январь 2004г. Калинкин Владимир Николаевич |
4 |
3. Проверяем различие между оценками средних используя критерий
Стьюдента t( расч) = |
x |
(перв) − |
x |
(втор) |
|
. Если различие незначимо, |
||||
|
1 |
|
1 |
|||||||
S x2(общ) ( |
+ |
) |
||||||||
|
n(втор) |
|||||||||
|
|
|
n(перв) |
|
то эти серии сравнимы и мы можем их объединить.